1r ciclo Principio de induccion

[nacho_loco]

Hola, haber si alguien me puede ayudar a demostrar esta igualdad por el principio de induccion, ya se que primero lo demuestro apra el primer termino, es decir, n=1, despues para n, y por ultimo para n+1, pero nose como operar con el sumatorio, donde pone i(i+1), es decir tengo duda, porque ahi la i solo se sustituye por 1?, como? y otra duda que tengo es que cuando se que se ha demostrado, porque realmente lo que hago es añadir n+1 en ambos miembros de la igualdad, y simplificar, pero realmente nose cuando se ha demostrado, creo que es evidente que tengo un gran lio en la cabeza con esto, espero que alguien me pueda ayudar, ahi pongo la igualdad a demostrar:

[pod]

Re: Principio de induccion

No adjuntes archivos sólo para poner una ecuación. Utiliza latex, lee este hilo para aprender cómo: http://forum.lawebdefisica.com/showthread.php?t=2945

Bueno, quieres demostrar

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i (i+1)} = \frac{n}{n+1}\ .$$

Lo primero que tienes que hacer es demostrar que se cumple para n = 1. Lo que tienes que hacer es escribir lo mismo poniendo n = 1, simplemente.

$$\sum_{i=1}^1 \frac{1}{i (i+1)} = \frac{1}{1+1}\ .$$

Este sumatorio sólo tiene un término, ya que i empieza en uno y termina en 1. O sea, operando tenemos que ambos lados de la igualdad dan 1/2. Por lo tanto, la igualdad se cumple, está bien.

El siguiente paso, es suponer que la proposición es válida para n. Una vez supuesto eso, tienes utilizarlo para demostrar que también es cierto para n+1. Por lo tanto, se trata de escribir lo mismo substituyendo n por n+1,

$$\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i (i+1)} = \frac{n+1}{n+2}\ .$$

Esto es lo que queremos demostrar. Si comparas esta ecuación con la original, la única diferencia es que el sumatorio tiene un término más: antes terminaba en n, y ahora termina en n+1. Lo que hacemos es separar ese término,

$$\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i (i+1)} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i (i+1)} +\left. \frac{1}{i(i+1)}\right|_{i=n+1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i (i+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}\ .$$

Como ves, lo único que he hecho es separar el último término, que es el que i = n+1, y por eso hago esa substitución al final. Ahora bien, el sumatorio hasta n ya sabemos cuanto vale, antes hemos hecho la suposición de que la ecuación original era válida, lo que nos permite substituir

$$\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i (i+1)} = \underbrace{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i (i+1)}}_{n/(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n}{n+1} + \frac1{(n+1)(n+2)}\ .$$

Ahora tienes que hacer esa suma de fracciones. Si todo va bien, verás que te da precisamente lo que queríamos demostrar que daba, y con eso habrás completado la demostración. Suerte.

[arreldepi]

Re: Principio de induccion

Hola!

Tienes que demostrar que:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} = \frac{n}{n+1}$

Pues bien,

1. Comprobamos que es cierto para n = 1:

$\displaystyle \frac{1}{1(1+1)} = \frac{1}{1+1} \;\; \Rightarrow\;\; \frac 12 = \frac 12$

Por tanto, para n = 1, se cumple.


2. Suponemos que es cierto para un determinado n.

$\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} = \frac{n}{n+1} \overbrace{\Rightarrow}^{?} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n+1}\frac{1}{i(i+1)} = \frac{n+1}{(n+1)+1}$

3. Demostrémoslo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Como ves, hacer el sumatorio hasta n+1 o hacerlo hasta n y sumarle lo que corresponde a uno más es lo mismo. Ahora, tienes que desarrollar la segunda parte de la igualdad:

$\displaystyle\frac{n(n+1)(n+2)+(n+1)}{(n+1)^2(n+2)} = \frac{n^3+3n^2+3n+1}{(n+1)^2(n+2)}=\frac{(n+1)^3}{(n+1)^2(n+1)} = \boxed{\frac{n+1}{n+2}}$

Con lo cual, por el principio de inducción, la proposición inicial se cumple $\forall n\in \mathbb{Z}^+$


Un saludo!

[arreldepi]

Re: Principio de induccion

Ostras, no me había dado cuenta de que pod ya había respondido, es que me ha llevado un buen rato resolver la última fracción xD. Lo siento!

[pod]

Re: Principio de induccion

Ostras, no me había dado cuenta de que pod ya había respondido, es que me ha llevado un buen rato resolver la última fracción xD. Lo siento!

Un truco es sacar factor común siempre que se pueda

$$\frac{1}{n+1} \left( n + \frac{1}{n+2} \right) = \frac1{n+1} \dfrac{n(n+2) + 1}{n+2}<br /> = \frac1{n+1} \frac{(n+1)^2}{n+2}\ .$$

[nacho_loco]

Re: Principio de induccion

Bueno de todas formas gracias a los dos!!ahora ya entiendo bien como funciona el principio de induccion, por resumirlo de alguna forma, se trata de añadirle al sumatorio una vez mas el elemento sumado y sumarlo tambien en el otro lado de la igualdad, y apartir de ahi desarrollar.
Graciass!!

[pod]

Re: Principio de induccion

Bueno de todas formas gracias a los dos!!ahora ya entiendo bien como funciona el principio de induccion, por resumirlo de alguna forma, se trata de añadirle al sumatorio una vez mas el elemento sumado y sumarlo tambien en el otro lado de la igualdad, y apartir de ahi desarrollar.
Graciass!!

Si la n solo aparece en el límite del sumatorio, sí es así.

Si la n aparece en más sitios, puede ser un poco más complicado (habrá que hacer algo más que simplemente separar el último término). En general, lo que tienes que hacer es substituir n por n+1 en todas partes.