1r ciclo Probelma de aplicación lineal

[idontknow]

Buenas.

Tengo un examen de álgebra el viernes y la verdad que no me entero de mucho cuando son cosas que no requieren números. Por ejemplo, he intentado hacer este problema pero no sé ni por donde empezar... ¿me echáis una mano?

Sea $d \in \mathbb{Z+}$ con $\sqrt{d} \notin \mathbb{Z}$:

Demostrar que:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es un Q espacio vectorial y hallar una base de este espacio.

Demostrar que:

$\mathbb{Q}[d]$ y $\mathbb{Q}[d']$ son isomorfos para cualquier d y d'

[alespa07]

Re: Probelma de aplicación lineal

Buenas.

Tengo un examen de álgebra el viernes y la verdad que no me entero de mucho cuando son cosas que no requieren números. Por ejemplo, he intentado hacer este problema pero no sé ni por donde empezar... ¿me echáis una mano?

Sea $d \in \mathbb{Z+}$ con $\sqrt{d} \notin \mathbb{Z}$:

Demostrar que:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es un Q espacio vectorial y hallar una base de este espacio.

Demostrar que:

$\mathbb{Q}[d]$ y $\mathbb{Q}[d']$ son isomorfos para cualquier d y d'

Hola.

Recuerdo este ejercicio ( formaba parte de la colección de problemas hace un par de años) y jamás entendí porque lo colocaron en el capítulo de aplicaciones lineales, cuando, en realidad, solo se necesita ( o casi) la teoría de espacios vectoriales para resolverlo. Creo que este problema es un buen ejercicio para entender lo que es un espacio vectorial. En efecto, hace hincapié de la diferencia entre los elementos del espacio vectorial, los escalares del cuerpo asociados y la leyes de composición interna y externa. Si has entendido bien todo esto, el problema se vuelve bastante fácil. Recuerda que cuando se considera un espacio vectorial ( conjunto de elementos llamados vectores que cumplen ciertas propiedades respecto de la ley de composición interna que, en general es la suma de elementos, y la ley de composición externaque, en general, es la multiplicación de un elemento por un escalar), se debe definir el cuerpo asociado. Es decir, ¿en qué conjunto iremos a buscar los escalares de la composición externa? Fíjate que se llama así (externa) porque tenemos que "salir" del espacio vectorial que consideramos, para escoger un elemento de un cuerpo y poder operar entre dicho elemento y el del espacio vectorial. Todo esto, en oposición con la ley de compsición interna que relaciona ( la suma) dos elementos del mismo espacio vectorial ( es pues interna, n hay necesida de "salir" y todo queda en casa jeje). Después de todo este rollo, que espero te sirva, podemos ver como se resuelve tu ejercicio.

Mostrar que $\mathbb{Q}[d]$ es un $\mathbb{Q}$-espacio vectorial no debería suponerte muchos problemas. Lo único que tienes que entender es que $\mathbb{Q}[d]$ es un subespacio de $\mathbb{R}^2=\{(x,y)|x,y\in\mathbb{R}\}$ que es un espacio vectorial (¿Sabes porqué?). Entonces, todas las propiedades de la suma y del procucto por un escalar vienen heredadas de dicho espacio vectorial. Lo único que tienes que hacer es mostrar que la suma y el producto por un escalar ( en este caso son elementos de $\mathbb{Q}$ ya que se trata de mostrar que es un $\mathbb{Q}$-espacio vectorial) son cerrados. Estos es:

$u,u'\in\mathbb{Q}[d]\quad,\quad\lambda\in\mathbb{Q}\Longrightarrow u+\lambda u' \in \mathbb{Q}[d]$

Lo único que tienes que recordar es que $\mathbb{Q}$ es un cuerpo, entonces si $a,a',\lambda\in\mathbb{Q}$ entonces $a+\lambda a'\in\mathbb{Q}$ (postea si no lo ves claro).

Para hallar una base del mismo, puedes ver facilmente que cualquier elemento de $\mathbb{Q}[d]$ se puede expresar como la siguiente combinación lineal:

$u=\alpha\times1+\beta\times\sqrt{d}$

entonces, los vectores $1$ y $\sqrt{d}$ pertencen al espacio vectorial y generan cualquier elemento del mismo. Sólo te bastará mostrar que son linealmente independientes para comprobar que forman una base del espacio vectorial. Es decir que:

$\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Q}\quad,\quad\alpha\cdot 1+\beta \sqrt{d}=0\Longrightarrow \alpha=\beta=0$

Y tratándose de dos vectores solo, esto es lo mismo que comprobar que no son proporcionales. Entonces podrías pensar que $1$ y $\sqrt{d}$ son proporcionales ya que puedo escoger multiplicar $1$ por $\sqrt{d}$ y obtener $\sqrt{d}$ pero, en tu caso ,NO ES ASÍ!!! En efecto, tu cuepo de escalares es el cuerpo de los racionales y $\sqrt{d}$ es irracional ( ya que el enunciado impide que d sea un cuadrado perfecto, ¿me sigues?..). Entonces, es imposible que pueda encontrar un racional tal que si lo multiplico por 1 me de un irracional. Por ello, los dos vectores son linealmente independientes, y $\{1,\sqrt{d}\}$ es una base de $\mathbb{Q}[d]$.

Para el segundo apartado, bastaría con decir que $\mathbb{Q}[d]$ y $\mathbb{Q}[d']$ tienen la misma dimensión, y, por lo tanto, son isomorfos. Ahí viene el porqué de colocar el problema en el capítulo de aplicaciones lineales. Supongo que lo que quieren los profes es que no uses el teorema de la dimensión. Tienes que saber que dos espacios vectoriales son isomorfos si, y sólo si, existe un isomorfismo entre ellos. Esto es, debe existir una aplicación lineal, que une a los dos espacios vectoriales, y que sea biyectiva ( inyectiva y exhaustiva). Entonces, si consigues encontrar una aplicación $f$ tal que:

$f:\quad\mathbb{Q}[d]\longrightarrow\mathbb{Q}[d']$

es biyectiva, habrás demostrado lo que quieres. Inténtalo y cuéntanos quetál. Si no te saliera o te haya quedado alguna duda sobre lo anterior, no dudes en postear.

Saludos.

P.D: Me he enrrollado un poco porqué me enteré de que estabas enfermo y espero que te haya podido ayudar. Ánimo.

[idontknow]

Re: Probelma de aplicación lineal

Gracias por el rollo Alespa

Pues sí... ir con la matemática de 2º e intentar entender todo este rollazo solito sin aparecer ni un dia por clase tiene tela...

Bueno yendo por tema. La verdad que el primer parrafote lo tengo claro. Ya me lo explicaron en bachiller y también estuve esos días en clase en la uni.

Posteriormente cuando dices que Q(d) es $\mathbb{R}^2$ me he puesto a pensarlo y primero me ha venido en mente porque un racional es f/g y se necesitan 2 variables pero luego he pensado mejor pues esto aunque sea así no es más que un racional y un racional pertenece a $\mathbb{R}$ y he pensado que tal vez es por la forma que tiene pues me recuerda a un número complejo... Bueno pensándolo mejor es subespacio porque se necesitan 2 variables aunque falta algo más a la explicación ¿no?

Respecto a la demostración de e.V ¿así tal cual? ¿zampo 4 letras que siempre es el mismo rollo? ¿Y ya está? Lo que no veo es porque no multiplicas también a u...
Debe ser que no estoy acostumbrado a hacer cosas sólo con letras...

Siguiendo con el ejercicio, empiezas a hablar de la base. ¿Por qué consideras a 1 como un vector y $\sqrt{d}$ como a otro? ¿No es en sí un pack? o sea un único número como si dijeras 2 + 3 pero lo que pasa que una raiz no la puedes juntar si es irracional.

Bueno como veo que estás conectado dejo eso ahí y mientras voy intentando el último apartado. Merci por la ayuda

Pd. No recuerdo si te pregunté si tuviste a Sala. ¿Se pica mucho en sus exámenes? Es que dice que será difícil...

[idontknow]

Re: Probelma de aplicación lineal

Veamos... Teniendo claro que cuanto más rara me parezca parezca la solución más correcta parece he pensado que para lo último:

$f(a,b,d) = a' + b' \sqrt{d'}$ Todo y que esto me choca porque es como si dijera:

$f(x) = x'^2 + 3$ cosa que no es...

[Juanma1976]

Re: Probelma de aplicación lineal

Hola idontknow, la idea es que $f$ transforma la pareja $(a,b)$ en la $(a',b')$ teniendo en cuenta que se tiene que cumplir que las dos representaciones de un número real son iguales

$a' + b' \sqrt{d'}=a + b \sqrt{d}$

Para esto es suficiente que $a'=a$ y $b'=\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{d'}}b=\lambda b$

Por lo tanto, la aplicación lineal es $f(a,b)=(a,\lambda b)$

y ya no continúo

Veamos... Teniendo claro que cuanto más rara me parezca parezca la solución más correcta parece he pensado que para lo último:

$f(a,b,d) = a' + b' \sqrt{d'}$ Todo y que esto me choca porque es como si dijera:

$f(x) = x'^2 + 3$ cosa que no es...

[alespa07]

Re: Probelma de aplicación lineal

Hola idontknow, la idea es que $f$ transforma la pareja $(a,b)$ en la $(a',b')$ teniendo en cuenta que se tiene que cumplir que las dos representaciones de un número real son iguales

$a' + b' \sqrt{d'}=a + b \sqrt{d}$

Para esto es suficiente que $a'=a$ y $b'=\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{d'}}b=\lambda b$

Por lo tanto, la aplicación lineal es $f(a,b)=(a,\lambda b)$

y ya no continúo

Hola idontknow y juanma. Juanma, tanto $a,a',b,b'$ han de ser racionales y en tu caso, lo que propones no es cierto ya que $b'$ será, en general un irracional. Creo que lo mejor para este caso es intuir que nos tienen que dar las imágenes de los vectores de base por f ( con lo que estaría completamente definida la aplicación lineal). En efecto, fíjate en que una base de $\mathbb{Q}[d']$ es $\{1,\sqrt{d'}\}$ entonces, considero la aplicación lineal tal que:


$f(1)=1\quad f(\sqrt{d})=\sqrt{d'}$


Comprueba que f es un aplicación lineal entre los dos subespacios vectoriales y prueba que es biyectiva.

No tengo tiempo de explicarte las dudas que te han quedado en el post anterior ( estoy en la biblioteca) pero lo intentaré esta noche si es que lo necesitas.

Saludos.

[Juanma1976]

Re: Probelma de aplicación lineal

Es verdad, tienes razón.
Más que intuir, hay que tener en cuenta que una aplicación lineal queda determinada por la imagen de los elementos de una base. Por lo que la aplicación ya está determinada:

$f(a+b\sqrt{d})=af(1)+bf(\sqrt{d})=a+b\sqrt{d'}$

Saludos.

Hola idontknow y juanma. Juanma, tanto $a,a',b,b'$ han de ser racionales y en tu caso, lo que propones no es cierto ya que $b'$ será, en general un irracional. Creo que lo mejor para este caso es intuir que nos tienen que dar las imágenes de los vectores de base por f ( con lo que estaría completamente definida la aplicación lineal). En efecto, fíjate en que una base de $\mathbb{Q}[d']$ es $\{1,\sqrt{d'}\}$ entonces, considero la aplicación lineal tal que:


$f(1)=1\quad f(\sqrt{d})=\sqrt{d'}$


Comprueba que f es un aplicación lineal entre los dos subespacios vectoriales y prueba que es biyectiva.

No tengo tiempo de explicarte las dudas que te han quedado en el post anterior ( estoy en la biblioteca) pero lo intentaré esta noche si es que lo necesitas.

Saludos.

[idontknow]

Re: Probelma de aplicación lineal

Vamos que al fin y al cabo estaba bien si hubiese quitado los ' de a y b ¿No?

Vaya cacao llevo encima...

Por cierto alespa si no tienes ganas de contestarlas no las contestes pero si lo hicieses me irá realmente bien porque mañana es el examen...

ufff me he tragado 5 semanas de álgebra en 5 días... Estoy de ella hasta los... (Hasta he soñado hoy que hacía el examen de álgebra...)

[Metaleer]

Re: Probelma de aplicación lineal

Por cierto alespa si no tienes ganas de contestarlas no las contestes pero si lo hicieses me irá realmente bien porque mañana es el examen...

Vamos a ver, esos no son maneras de contestar a alguien que está intentando ayudarte de forma gratuita. Si tienes prisa porque en breve tienes la evaluación, no sé, te hubieras puesto antes a repasar la materia. He leído por ahí que has tenido problemas de salud, bueno, pues cosas de la vida, esas cosas ocurren. Eso no es tu culpa, pero tampoco lo es del foro, ni de alespa07.

Recuerda: buen rollo ante todo.

[idontknow]

Re: Probelma de aplicación lineal


No, no metaleer quizás me mal expliqué. No quería decir que lo hiciera si o sí o con algún tono grosero. Quería decir que no se preocupara por si no podía osea que si no podía no pasaba nada que bastante había hecho ya.

Por cierto no sería muy correcto decir repasar porque la materia no me la han enseñado y tampoco es que te entren ganas de estudiar cuando estás malo

[Metaleer]

Re: Probelma de aplicación lineal

No, no metaleer quizás me mal expliqué. No quería decir que lo hiciera si o sí o con algún tono grosero. Quería decir que no se preocupara por si no podía osea que si no podía no pasaba nada que bastante había hecho ya.

No te preocupes, sólo intentaba prevenir algún malentendido.

Por cierto no sería muy correcto decir repasar porque la materia no me la han enseñado

Pues estudiar por primera vez. Eso es lo de menos; total, aprender lo que te tienes saber para el examen.

Saludos.

[alespa07]

Re: Probelma de aplicación lineal

Posteriormente cuando dices que Q(d) es $\mathbb{R}^2$ me he puesto a pensarlo y primero me ha venido en mente porque un racional es f/g y se necesitan 2 variables pero luego he pensado mejor pues esto aunque sea así no es más que un racional y un racional pertenece a $\mathbb{R}$ y he pensado que tal vez es por la forma que tiene pues me recuerda a un número complejo... Bueno pensándolo mejor es subespacio porque se necesitan 2 variables aunque falta algo más a la explicación ¿no?

Hola de nuevo idontknow. Primero y ante todo me has entendido mal. Nunca he dicho que $\mathbb{Q}[d]$ es $\mathbb{R}^2$ sino que el primero es un subconjunto del segundo ( cosa bastante distinta jeje) aunque creo que has pillado la diferencia. En efecto, esto se debe a que $1$ y $\sqrt d$ son dos vectores diferentes del $\mathbb{Q}$-espacio vectorial ( hasta hemos demostrado que son linealmente independientes. Entiendo que tu preocupación sea que, al fin y al cabo, obtenemos un número real pero, a su vez, te has dado cuenta de que si queremos respetar la condición del espacio vectorial, los vectores han de escribirse siempre como la parte racional más la parte irracional ( cada vez se hace más patente la analogía con los complejos que bien puntualizaste...). Por si no lo hubieras visto, o no estuvieras seguro de ti mismo, hubieras podido mostrar todas las propiedades de la suma y del producto por un escalar ( que tampoco es tan largo) y listo.

Respecto a la demostración de e.V ¿así tal cual? ¿zampo 4 letras que siempre es el mismo rollo? ¿Y ya está? Lo que no veo es porque no multiplicas también a u...
Debe ser que no estoy acostumbrado a hacer cosas sólo con letras...

Sería beneficioso para tí que intentaras ser riguroso con las palabras que uses ( sé que es complicado asimilar tantas cosas en 5 días pero mejor saber poco y bien que no mucho con poca calidad jejeje). A lo que te refieres entonces es a la demostración de que es un subespacio vectorialde $\mathbb{R}^2$ en este caso. Es lo que te expliqué en mi primer post. Si ya sabes que un espacio ( a secas ya que todavía no sabes si es vectorial) es un subconjunto de un espacio vectorial, entonces las propiedades de la suma y las del producto por un escalar están ya establecidas. Es como si el subespacio que consideras heredara dichas propiedades. No obstante, esto no es suficiente ya que debes de mostrar que todo se queda en casa!! Entonces, debes de comprobar que la suma de elemento del espacio sigue siendo un elemento del espacio, esto es: $\forall u,u'\in V\quad,\quad u+u'\in V$. Y también que el producto de un elemento por un escalar también pertenece al espacio, esto es: $\forall u \in V\lambda\in\mathbb {K}quad,\quad \lambda u \in V$. En general , estas dos proposiciones se demuestran por separado, pero amí me gusta hacerlo de manera condensada para ahorrar tiempo ( sólo funciona cuando los cálculos son fáciles y breves que es la mayoría de los casos que te encontrarás en clase). Por eso, no es necesario hacer el producto del escalar para los dos vectores. Haciendolo con uno sólo, tal y como lo hice, es suficiente ( si te apetece, puedes mostrar que las dos formas de hacerlo son equivalentes mostrando que la primera implica la segunda y que la segunda implica la primera).

IMPORTANTE Tén cuidado con un cosa. Se me olvidó decirte una cosa de suma importancia para mostrar que es un subespacio vectorial: El subespacio ha de contener el elemento neutro de la composición interna. Esto es, el vector nulo de la suma!!! Si no fuera así no serñia un subespacio vectorial a pesar de que se cumpliese lo anterior. Este es un buen criterio para descartar algunos espacios cuando te dan unos cuantos y te piden cuales son los que son subespacios vectoriales. Los que no contengan el vector nulo se irán al carajo sin necesidad de hacer ningún cálculo . Fíjate también de que no existe tal restricción para la ley de composición externa ya que se considera el cuerpo de escalares "entero", es decir que no se considera un subconjunto del mismo. Un espacio vectorial y sus subespacios vectoriales han de compartir necesariamente el mismo cuerpo de escalares con todos sus elemnetos.

Siguiendo con el ejercicio, empiezas a hablar de la base. ¿Por qué consideras a 1 como un vector y $\sqrt{d}$ como a otro? ¿No es en sí un pack? o sea un único número como si dijeras 2 + 3 pero lo que pasa que una raiz no la puedes juntar si es irracional.

Creo que esto ya lo has pillado ahora ¿verdad?

Pd. No recuerdo si te pregunté si tuviste a Sala. ¿Se pica mucho en sus exámenes? Es que dice que será difícil...

NO tuve a este profe ni me ha hablado de el ( o ella). Lo que sí te puedo decir (esperando no inducirte en un error) es que este problema no es para nada de los típicos y no creo que os vaya a caer uno de este estilo. En fin, este es un buen ejercicio para tener las cosas claras en cuanto a espacios vectoriales ya que se sale de los ejercicios tipos que se suelen resolver de forma mecánica y, por ende, solo sale si sabes de lo que estas hablando jejeje.

[alespa07]

Re: Probelma de aplicación lineal

Gracias por el rollo Alespa

Pues sí... ir con la matemática de 2º e intentar entender todo este rollazo solito sin aparecer ni un dia por clase tiene tela...

Bueno yendo por tema. La verdad que el primer parrafote lo tengo claro. Ya me lo explicaron en bachiller y también estuve esos días en clase en la uni.

Posteriormente cuando dices que Q(d) es $\mathbb{R}^2$ me he puesto a pensarlo y primero me ha venido en mente porque un racional es f/g y se necesitan 2 variables pero luego he pensado mejor pues esto aunque sea así no es más que un racional y un racional pertenece a $\mathbb{R}$ y he pensado que tal vez es por la forma que tiene pues me recuerda a un número complejo... Bueno pensándolo mejor es subespacio porque se necesitan 2 variables aunque falta algo más a la explicación ¿no?

Respecto a la demostración de e.V ¿así tal cual? ¿zampo 4 letras que siempre es el mismo rollo? ¿Y ya está? Lo que no veo es porque no multiplicas también a u...
Debe ser que no estoy acostumbrado a hacer cosas sólo con letras...

Siguiendo con el ejercicio, empiezas a hablar de la base. ¿Por qué consideras a 1 como un vector y $\sqrt{d}$ como a otro? ¿No es en sí un pack? o sea un único número como si dijeras 2 + 3 pero lo que pasa que una raiz no la puedes juntar si es irracional.

Bueno como veo que estás conectado dejo eso ahí y mientras voy intentando el último apartado. Merci por la ayuda

Pd. No recuerdo si te pregunté si tuviste a Sala. ¿Se pica mucho en sus exámenes? Es que dice que será difícil...

Veamos... Teniendo claro que cuanto más rara me parezca parezca la solución más correcta parece he pensado que para lo último:

$f(a,b,d) = a' + b' \sqrt{d'}$ Todo y que esto me choca porque es como si dijera:

$f(x) = x'^2 + 3$ cosa que no es...

Una cosita más. Lo que escribes no puede ser correcto sin necesidad de comprobar ningún cálculo. ¿Porqué? Pues sabes que tanto $\mathbb{Q}[d]$ com $\mathbb{Q}[d']$ tienen dimensión dos por tener dos vectores de base cada uno. Entonces, f se aplica a vectores de dos componentes y te devuelve vecores de dos componentes. El d y el d' son parámetros fijados por el espacio vectorial, no son variables!!!! El decir cual es son las imagenes de los vectores de base por la aplicación lineal epresados en los vectores de base del espacio de llegada es suficiente para describir completamente a tu aplicación lineal ( piensa que gracias a esto puedes estableber la matriz de la aplicación lineal en sendas bases...).


Una demostración alternativa de establecer que los dos espacios vectoriales son isomorfos es usar el hecho de que la relación "ser isomorfa a" es una relación de equivalencia (supongo que ya te habrá explicado lo que es). En este caso no interesa la propiedad transitiva de dicha relación. Deja que use la siguiente notación: $\approx$ denomina "es isomorfo a". La propiedad transitiva nos dice, pues, que:


$A\approx B\quad,\quad B\approx C\Longrightarrow A\approx C$


Entonces, es bastante directo mostrar que:


$\mathbb{Q}[d]\approx\mathbb{Q}^2\quad,\quad\mathbb{Q}[d']\approx\mathbb{Q}^2\Longrightarrow\mathbb{Q}[d]\approx\mathbb{Q}[d']$


Espero que te sirva.

Ánimo para mañana.

Saludos.

[Juanma1976]

Re: Probelma de aplicación lineal

Ahora que todo está aclarado, probar que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es bijectiva es muy sencillo.

La inyectividad la obtienes ya que el núcleo $Ker f=0$ claramente y la exhaustividad es directa de la definición (para cualquier $z=a+b\sqrt{d'}$, la antiimagen es $a+b\sqrt{d}$).

Saludos.

Vamos que al fin y al cabo estaba bien si hubiese quitado los ' de a y b ¿No?

Vaya cacao llevo encima...

Por cierto alespa si no tienes ganas de contestarlas no las contestes pero si lo hicieses me irá realmente bien porque mañana es el examen...

ufff me he tragado 5 semanas de álgebra en 5 días... Estoy de ella hasta los... (Hasta he soñado hoy que hacía el examen de álgebra...)

[idontknow]

Re: Probelma de aplicación lineal

¡La verdad muchas gracias a ambos!

A ver si mañana sale todo bien