1r ciclo Ayuda con una demostración de geometria lineal...

[gunbladecat]

Bueno pues la verdad estaba dándole a unos ejercicios de geometria lineal cuando me crucé con éste:

"Sea f una aplicación afín de un espacio afín euclidiano. Demostrar que el real ||Mf(M)|| es independiente del punto M si y solo si f es una tranlación."

La implicación de que si f es una translación entonces ||Mf(M)|| no depende de M ya la tengo hecha, solo que la otra implicación, es decir, que si ||Mf(M)|| no depende de M entonces f es una translación, ya he provado de unas cuantas maneras y no hay manera de solucionarlo... ¿alguien me puede dar alguna pista de como encararlo?

Gracias!

Nota: Mf(M) indica el vector que tiene origen en el punto M y final en el punto f(M) y || || indican la distancia (mòdulo de ese vector)

[gunbladecat]

Re: Ayuda con una demostración de geometria lineal...

vale era una chorrada... con darme cuenta de que la norma es la raiz del sumatorio de (f(M)i-Mi)^2 y que si no depende de M pues es que f(M)i=Mi+ki para algun ki. entonces ya eso es la forma de una translación... con vector de la tranlación (k1,...,kn).

gracias de todos modos!

[pod]

Re: Ayuda con una demostración de geometria lineal...

Si quieres hacerlo más general, donde el producto escalar no sea la matriz unidad, sino otra como $g_{ij}$, entonces tienes

$$g_{ij} \big(f(M)_i - M_i \big) \big(f(M)_j - M_j \big).$$

Un razonamiento similar te vale. Si esos pareńtesis no dependen de M, entonces son una constante,

$$f(M)_i - M_i = k_i .$$