1r ciclo Teorema Stokes

[woodyalex]

Hola debo hacer el siguiente problema pero no soy capaz:
Verificar el teorema de Stokes para el triangulo de vertices (3,0,0) (0,3,0) (0,0,6)
Yo empiezo por sacar la ecuacion del plano que lo contiene y me sale:
2x+2y+z=6, a partir de hay debo sacar una parametrizacion del plano para sacar el dS pero no estoy seguro de si lo hago bién prove haciendo:
x(u,v)=(u,v,6-2u-2v)
Hago el rotacional de mi campo vectorial que me da: (-1,-1,2y)
y por lo tanto me queda la siguientes integrales:
-dydz-dxdz-2y*dydx
Y ahora es donde tengo la mayor duda es en cuales serian los limites de integracion, a mi se me ocurrio poner por ejemplo para la primera integral
y varia de 0 a tres y z varia con respecto a la recta contenida en el plano YZ, es decir varia de 6-2y a 0 y asi con todos los limites, pero me da que eso no va a estar bién
Muchas Gracias

[pod]

Re: Teorema Stokes

El diferencial de superficie se encuentra con lo que se llama "producto vectorial fundamental de la superfície",

$$\dd \vec S = \frac{\dd \vec x}{\dd u} \times \frac{\dd \vec x}{\dd v} \ \dd v \dd u = (2 \hat\imath + 2 \hat\jmath + \hat k) \dd u \dd v.$$

Ahora bien, fíjate que tal y como has elegido la parametrización y = v. Así que la integral que te quedará será

$$I = \int_S (-4 + 2v) \dd u \dd v\ .$$

El dominio de integración en el plano (u, v), que no es más que (x, y), es un triángulo con vértices en (0, 0), (3, 0) y (0, 3). Sólo hay que quitar el valor de z de los límites (porque ya está parametrizado en función de u y v).

Si elegimos integrar primero la v, por ejemplo, irá de 0 hasta 3-u. Luego, v irá de 0 a 3.