Avanzado Ángulos especiales (conocido su coseno)

[electr0n]

Hola a todos.

Hace un rato he respondido en un post de Mecánica Newtoniana una pregunta sobre un curioso problema:

http://forum.lawebdefisica.com/showt...9347#post49347

El asunto viene por el resultado:

$\displaystyle cos\theta=\frac{2}{3}$

Con una calculadora es fácil ver que $\theta=48$º aproximadamente, pero yo llevo bastante tiempo dándole vueltas a la duda de si sería posible expresar el ángulo de una manera exacta. Pregunté a amigos matemáticos, en el IRC, etc. y nadie ha sabido responderme.

En principio puede que haya alguna forma de demostrar que la ecuación

$\displaystyle x=arccos\frac{2}{3}$

no tenga solución analítica. Pero, si la tiene, ¿cómo calcularla?

A ver si los cracks de las matemáticas pueden arrojar luz sobre el asunto!

Gracias!

PD: Espero haber colocado la pregunta en el lugar correcto

[pod]

Re: Ángulos especiales (conocido su coseno)

¿Qué quieres decir exactamente con "de una manera exacta" y "solución analítica?

Formalmente, uno puede escribir la solución exacta como el límite de una serie de Taylor.

[alespa07]

Re: Ángulos especiales (conocido su coseno)

Hola. Si me apuras, el escribir $\theta=\arccos\displaystyle\frac{2}{3}$ es el resultado exacto. Es como escribir $x=\pi$. Puede que sean números irracionales y no tengan un número finito de decimales pero son valores exactos de por sí.

Saludos.

[electr0n]

Re: Ángulos especiales (conocido su coseno)

Ya, ya sé que puesto como arcoseno o desarrollo en serie es exacto. Lo que quiero saber es si la ecuación que he puesto no es trascendente y se puede escribir la solución $\theta$ sin funciones trigonométricas ni desarrollos, simplemente como un cierto ángulo tipo $\displaystyle\theta=\frac{a}{b}\pi$

Por ejemplo, para conocer la tangente de 15º se usan las fórmulas de ángulo mitad y se deduce que vale $=2-\sqrt{3}$. Si nos preguntan ¿cuánto vale $arctg(2-\sqrt{3})$? habría que seguir algún procedimiento para hallar el resultado, que es $\pi/6$.

No sé si me explico...

[pod]

Re: Ángulos especiales (conocido su coseno)

Ya, ya sé que puesto como arcoseno o desarrollo en serie es exacto. Lo que quiero saber es si la ecuación que he puesto no es trascendente y se puede escribir la solución $\theta$ sin funciones trigonométricas ni desarrollos, simplemente como un cierto ángulo tipo $\displaystyle\theta=\frac{a}{b}\pi$

Por ejemplo, para conocer la tangente de 15º se usan las fórmulas de ángulo mitad y se deduce que vale $=2-\sqrt{3}$. Si nos preguntan ¿cuánto vale $arctg(2-\sqrt{3})$? habría que seguir algún procedimiento para hallar el resultado, que es $\pi/6$.

No sé si me explico...

Todos los valores exactos conocidos están tabulados en tablas. Antaño se usaban para interpolar el resto de valores, cuando no había calculadoras.

Supongo que quieres decir que a y b son enteros, por que si son reales, siempre se puede hacer eso

[Afisionado]

Re: Ángulos especiales (conocido su coseno)

La solución más directa es aplicar el "Teorema" del Huevo de Colón. Aplicado a este caso, consistiría en que, si ese ángulo es muy importante, se le pone un nombre, por ejemplo $\theta$ (zeta). A partir de entonces tendremos otro número de la categoría de "pi", o "e"; "zeta" será el ángulo cuyo coseno vale exactamente 2/3. Es interesante porque, por ejemplo, el seno es igual a $\frac{\sqrt{5}}{3}$ y la tangente es entonces $\frac{\sqrt{5}}{2}$ y... seguro que se pueden sacar más relaciones.

Espero que esta aportación no haya sido impertinente sino pertinente y que sirva para extraer alguna idea.

Un saludo.

[electr0n]

Re: Ángulos especiales (conocido su coseno)

Gracias por el apunte, afisionado, pero..... sigo sin encontrar el camino.

Lo único que se me ocurre es que cuando tenemos términos con $\sqrt{5}$ ya hay más ángulos conocidos en torno a los cuales buscar (incluso podría aparecer el número áureo por medio).

Si sabes cómo resolverlo...¿podrías darme alguna pista más?

Asias

[Afisionado]

Re: Ángulos especiales (conocido su coseno)

Pues con esas indicaciones acabo de visitar la página wiki del número aúreo y mira por dónde, precisamente el número aúreo es



o sea

$$\varphi = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \sin({\frac{\pi}{6})+\tan({nuestro\theta})}$$

Luego, tenemos que nuestro ángulo equivale a

$$nuestro\theta = \arctan{(\varphi - \sin{(\frac{\pi}{6})})}$$

Ni más, ni menos. Si Hermes Trimegisto levantara la cabeza...
Saludos.

[electr0n]

Re: Ángulos especiales (conocido su coseno)

Juas, vale, queda precioso con el número áureo.

¿Y ahora?

[pod]

Re: Ángulos especiales (conocido su coseno)

Pues con esas indicaciones acabo de visitar la página wiki del número aúreo y mira por dónde, precisamente el número aúreo es



o sea

$$\varphi = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \sin({\frac{\pi}{6})+\tan({nuestro\theta})}$$

Luego, tenemos que nuestro ángulo equivale a

$$nuestro\theta = \arctan{(\varphi - \sin{(\frac{\pi}{6})})}$$

Ni más, ni menos. Si Hermes Trimegisto levantara la cabeza...
Saludos.

Aficionado, tú solito has conseguido que me entren ganas de hacer una entrada en mi blog quejándome sobre cierta cosa que has hecho en esas fórmulas latex... A ver si mañana tengo tiempo/ganas...