1r ciclo Distancia entre dos planos

[gunbladecat]

Pues eso, que en una clase nos han mandado un problema de calcular la distancia entre dos planos (dadas sus ecuaciones) en R4. Pero nunca hemos hecho un ejemplo, ni siquiera en clase de teoria y no sé por donde cogerlo, además me resulta complicado imaginarme R4 con lo que utilizar argumentos geométricos que usaria en R3 me es complicado de hacer.

No quiero que me resuelvan el problema solo que me expliquen como hacerlo en general y ya lo aplicaré a los problemas que tenga.

Muchas gracias.

[[Beto]]

Re: Distancia entre dos planos

Hola, en general para calcular la distancia entre dos planos tienes que tomar dos puntos cualesquiera de cada uno de los planos y calcular la distancia entre ellos, luego minimizar esa expresión

[gunbladecat]

Re: Distancia entre dos planos

bueno eso es lo que estaba intentando

pero con estos dos planos

L: x=a, y=b, z=0, t=1-a
M: x=c, y=d, z=-1-c, t=1-c-d

al calcular su distancia me da la función:

$D(L,M)=\sqrt{a^2+3c^2-2ac+2b^2+2d^2-4bd+2c+2dc-2cb+1}$

y no sé como optimizar esta función con 4 variables... y pensaba que quizás había otra forma más fácil...

PD: bueno he pensado que si la distancia tiene que ser mínima la distancia al cuadrado también será mínima y así me ahorro de estar trabajando con raíces todo el rato, pero igual no sé hacerlo...

[electr0n]

Re: Distancia entre dos planos

Lo que necesitas hallar es la distancia entre 2 hiperplanos. No termino de entender la forma en que te dan las ecuaciones; realmente a,b,c y d tienen pinta de ser parámetros y lo que pones, ecuaciones paramétricas. Hace falta un punto y 3 vectores linealmente independientes para escribir las ecuaciones, así que yo diría que o falta algo... o no?

[gunbladecat]

Re: Distancia entre dos planos

Lo que necesitas hallar es la distancia entre 2 hiperplanos. No termino de entender la forma en que te dan las ecuaciones; realmente a,b,c y d tienen pinta de ser parámetros y lo que pones, ecuaciones paramétricas. Hace falta un punto y 3 vectores linealmente independientes para escribir las ecuaciones, así que yo diría que o falta algo... o no?

la verdad es que son 2 planos (de dimensión 2) no dos hiperplanos, pero en un espacio de dimension 4. y los planos vienen dados por esas ecuaciones, los valores a,b,c,d són parámetros.

[carroza]

Re: Distancia entre dos planos

al calcular su distancia me da la función:

$D(L,M)=\sqrt{a^2+3c^2-2ac+2b^2+2d^2-4bd+2c+2dc-2cb+1}$

y no sé como optimizar esta función con 4 variables... y pensaba que quizás había otra forma más fácil...

PD: bueno he pensado que si la distancia tiene que ser mínima la distancia al cuadrado también será mínima y así me ahorro de estar trabajando con raíces todo el rato, pero igual no sé hacerlo...

Hola. Efectivamente, es más comodo considerar D^2.

Para minimizar, considera las derivadas parciales con respecto a $a, b, c, d$ e iguala todas a cero.

Te queda, por ejemplo,

$d D^2/ d a = 2a - 2c = 0$

De ahi, a=c. y así sigues con las demas derivadas parciales.

[gunbladecat]

Re: Distancia entre dos planos

És cierto... llevo un poco oxidada la optimización ya ;P pues nada ese era el verdadero problema que tenia...

Muchas gracias a todos los que colaboraron.

[electr0n]

Re: Distancia entre dos planos

Creo que hay un pequeño fallo en la distancia D. Corregido y haciendo las derivadas parciales, obtengo:

a=-1
b=0
c=-1
d=0

con lo cual la distancia queda D=0.

Esto se debe a que los planos (dimensión 2) se cortan en un punto $P=(-1,0,-1,0)$, análogamente a 2 rectas en $\Re^3$. Si resolvemos directamente el sistema de dos ecuaciones, salen los mismos valores para los parámetros.

Sin embargo, me queda la duda de si se podría resolver cogiendo un vector $\vec{PQ}=(c-a,d-b,-1-c,a-c-d)$ y 4 vectores directores

$\vec u=(1,0,0,-1)$

$\vec v=(0,1,0,0)$

$\vec u'=(1,0,-1,-1)$

$\vec v'=(0,1,0,-1)$

y resolviendo el sistema

$\vec{PQ}\cdot\vec u=\vec{PQ}\cdot\vec v=\vec{PQ}\cdot\vec u'=\vec{PQ}\cdot\vec v'=0$

Con este método no me sale lo mismo... lo cual significa que seguramente no es válido por tener ambos planos un punto en común.

A ver si alguien elimina mi duda...

Saludos

[gunbladecat]

Re: Distancia entre dos planos

por cierto habia un error al copiar las ecuaciones, las verdaderas son:

L: x=a, y=b, z=0, t=1-b
M: x=c, y=d, z=-1-c, t=1-c-d

con lo cual al solucionar el sistema dado por las derivadas parciales igualando a 0 me da
a=c=-2/3
d=1/3+b
y b como parámetro libre

con lo cual la distancia mínima entre los dos planos es la distancia entre dos puntos de las siguientes rectas contenidas en los planos iniciales, que obtengo sustituyendo las valores de a,b,c,d en las ecuaciones de los planos

L': x'=-2/3 y'=b z'=0 t'=1-b
M': x'=-2/3 y'=1/3+b z'=-1/3 t'=4/3-b

por lo tanto

D(L,M)=D(L',M')=$\sqrt{(-2/3+(-2/3))^2+(b-(1/3+b))^2+(0-(-1/3))^2+(1-b-(4/3-b))^2}=\sqrt{(-1/3)^2+(1/3)^2+(-1/3)^2}=1/ \sqrt{3}$

[electr0n]

Re: Distancia entre dos planos

Aghhhhhhh, ¿¿para eso he estado yo repasando el ejercicio?? A ver si ponemos los datos con más cuidado!! (es broma )

Ahora parece que está bien. De todos modos, es interesante ver que en el otro la distancia era 0.

Un saludo

[gunbladecat]

Re: Distancia entre dos planos

la verdad es que es más interesante que en el examen lo copiara igual (de mal) que aquí y que cuando lo intenté hacer en casa lo volviera a copiar igual (de mal) en mi libreta, con lo que lo he copiado 3 veces mal y cometiendo el mismo error...

bueno, almenos conseguí llegar a la solución al fin...

[pod]

Re: Distancia entre dos planos

Lo que necesitas hallar es la distancia entre 2 hiperplanos. No termino de entender la forma en que te dan las ecuaciones; realmente a,b,c y d tienen pinta de ser parámetros y lo que pones, ecuaciones paramétricas. Hace falta un punto y 3 vectores linealmente independientes para escribir las ecuaciones, así que yo diría que o falta algo... o no?

Para ayudar a entender como dan los datos. Si te dan

L: x=a, y=b, z=0, t=1-b

Lo que tienes que hacer es poner todo esto en un 4-pla,

(x, y, z, t) = (a, b, 0, 1-b) = (0,0,1,0) + a (1,0,0,0) + b (0,1,0,-1) .

Es decir, el punto es (0,0,1,0) y los vectores (1,0,0,0) y (0,1,0,-1).

[electr0n]

Re: Distancia entre dos planos

Lo que tienes que hacer es poner todo esto en un 4-pla,

(x, y, z, t) = (a, b, 0, 1-b) = (0,0,1,0) + a (1,0,0,0) + b (0,1,0,-1) .

Es decir, el punto es (0,0,1,0) y los vectores (1,0,0,0) y (0,1,0,-1).

Exacto pod, eso es lo que yo hice. Sin embargo, para los planos que se pusieron al principio resulta que la distancia es 0 y no sale lo mismo con el sistema de 4 productos escalares...

¿Qué está fallando?

[pod]

Re: Distancia entre dos planos

Exacto pod, eso es lo que yo hice. Sin embargo, para los planos que se pusieron al principio resulta que la distancia es 0 y no sale lo mismo con el sistema de 4 productos escalares...

¿Qué está fallando?

Creo que lo que falla es que los planos no pasan por el origen.

[electr0n]

Re: Distancia entre dos planos

Bueno, ya encontré el error. Cometí un fallo tonto al resolver el sistema de ecuaciones. Efectivamente, también salió como resultado el vector nulo.

Para el caso con las ecuaciones corregidas, sale el mismo resultado tanto con las derivadas como con el sistema de ecuaciones por productos escalares cero.

Un saludo!