perímetro y área

[alefriz]

¿Qué condiciones deben cumplir los número positivos $S$ y $p$ para que exista un triángulo rectángulo con área $S$ y perímetro $p$?

[pod]

Re: perímetro y área

Pues llamando a y b a los catetos del triangulo rectángulo, tenemos:

$p = a + b + \sqrt{a^2+b^2}\ ,$
$S = \frac12 a b \ .$

Usamos la segunda para eliminar b,

$p = a + \frac{2S}{a} + \sqrt{ a^2 + \left( \frac{2S}{a} \right)^{\!\!2} }\ .$

Intentemos aislar a; para ello multiplicamos todo

$p a = a^2 + 2 S + \sqrt{a^4 + 4 S^2 } \ ,$

y nos deshacemos de la raíz cuadrada

$\Big( p a - a^2 + 2 S \Big)^{\!\!2} = a^4 + 4 S^2 \ .$

Se empieza a poner todo un poco engorroso... Desarrollando el cuadrado, tenemos

$p^2 a^2 + a^4 + 4 S^2 - 2 p a^3 + 4 p a S - 4 S a^2 = a^4 + 4 S^4 \ .$

Los términos a la derecha se cancelan con sus homónimos de la izquierda. Lo que queda tiene al menos una a, por lo que podemos cancelarla. Nos queda:

$p^2 a - 2 p a^2 + 4 p S - 4 S a = 0 \ ,$

o bien

$a^2 +\left( \frac{2S}{p} - \frac{p}{2} \right) a - 2 S = 0 \ .$

Ahora tenemos una ecuación de segundo grado:

$a = \left( \frac{S}{p}- \frac{p}{4} \right) \pm \sqrt{\left( S- \frac{p}{4} \right)^2 + 2 S} \ .$

Es obvio que la raíz cuadrada es mayor que el término que tiene delante, por lo que para quedarnos con a > 0, tenemos que quedarnos con el signo positivo y descartar el negativo. Para que esto sea real, el interior de la raíz no puede ser negativo,

$\left( \frac{S}{p} - \frac{p}{4} \right)^2 + 2 S \ge 0 \ ,$

que es la relación que nos piden. Uno puede simplificarla si quiere,

$p^4 + 16S^2 - 24 S p^2 \ge 0 \ .$