Calculo vs analisis matematico

[zhazzu]

Tengo una duda acerca de lo que es el calculo y el analisis matematico. ¿Es lo mismo?. Lo que yo pienso sobre ello es que sí es lo mismo, pero el calculo se ocupa de la parte 'práctica' y el analisis se encarga de las demostraciones, teoremas.... Estoy en lo cierto con esto ? Que alguien me aclare !!!!
Por cierto, el calculo que se ve en bachillerato, es calculo infinitesimal ?? Que mas contenidos abarca el calculo ?

Necesito entender como se estructura todo esto dentro de lo que es la matematica y tambien estructurar BIEN todas las ramas de las matematicas para empezar a estudiarlas. Por favor, que alguien me aclare !

Un saludo. ( No me reenvieis a la wikipedia. Dadme vuestro punto de vista ya que me será mas util)

[Weip]

Re: Calculo vs analisis matematico

Tengo una duda acerca de lo que es el calculo y el analisis matematico. ¿Es lo mismo?. Lo que yo pienso sobre ello es que sí es lo mismo, pero el calculo se ocupa de la parte 'práctica' y el analisis se encarga de las demostraciones, teoremas.... Estoy en lo cierto con esto ? Que alguien me aclare !!!!
Por cierto, el calculo que se ve en bachillerato, es calculo infinitesimal ?? Que mas contenidos abarca el calculo ?

Necesito entender como se estructura todo esto dentro de lo que es la matematica y tambien estructurar BIEN todas las ramas de las matematicas para empezar a estudiarlas. Por favor, que alguien me aclare !

Un saludo. ( No me reenvieis a la wikipedia. Dadme vuestro punto de vista ya que me será mas util)

Sí, el análisis y el cálculo son exactamente lo mismo. El cálculo, a pesar de su nombre, no se ocupa solo de la parte práctica, si no que tiene su formalismo riguroso (como toda rama de las matemáticas).

El cálculo de bachillerato sí, es cálculo infinitesimal. Es que estás preguntando por nombres que son lo mismo: da igual que le llames análisis, cálculo o cálculo infinitesimal. Todo se refiere a la misma rama de las matemáticas. Si me permites, lo de cálculo infinitesimal igual está un poco más en desuso.

El cálculo trata desde sucesiones y límites hasta espacios de funciones. Y mucho más que debe haber actualmente.

Respecto a lo de estructurar las ramas de las matemáticas, te daré mi punto de vista como estudiante de matemáticas y por lo que dicen los profesores. No es la primera vez que me introducen una asignatura con las siguiente filosofía: todas las ramas estudian una determinada estructura (conjuntos, grupos, espacios vectoriales, afines, proyectivos, topológicos...) y las relaciones entre ellas (aplicaciones lineales, afines, morfismos de grupos y anillos...).

Aunque si sólo quieres un esquema general para aclararte, todas las ramas se pueden meter (más o menos) en alguno de los siguientes temas: análisis, geometría, álgebra, teoría de números, probabilidad y estadística. Como bien digo esto es aproximado, en realidad todas las ramas de las matemáticas interactúan mucho entre ellas (el cómo lo hacen es una cosa que me parece fantástica y sorprendente) y me dejo muchos temas en el tintero.

Espero haberte ayudado.

[zhazzu]

Re: Calculo vs analisis matematico

Y otras dudas que me surgen:
1- Donde podemos clasificar las ecuaciones diferenciales ? (dentro del calculo?)
2- El analisis matematico o calculo, se centra en el analisis de funciones y en nada mas. No ?
3- Donde podemos clasificar la combinatoria ? Dentro de la estadistica, probabilidad o teoria de numeros ? O la combinatoria representa por si sola una rama aparte de todas las citadas y por tanto no se encuentra dentro de ninguna de ellas ?

4-Donde podemos clasificar las aplicaciones lineales ? En el algebra lineal, en teoria de conjuntos o en analisis matematico ?
5-Que significa exactamente que algo sea lineal o no lineal ? (Ejemplo: algebra lineal, sist.ecuaciones lineal...)
6. La geometria analitica es aquella geometria que estudia el plano y el espacio ?? Es este tipo de geometria la que se estudia en el bachillerato y la que esta relacionada con el algebra lineal ?
7. Es lo mismo geometria analitica, geometria afin y geometria euclidiana ? Que son y en que se diferencian ?

Gracias de antemano. Gracias Weip por la respuesta anterior. Espero poder resolver estas dudas y asi hacerme una mejor idea de la matematica.

[Weip]

Re: Calculo vs analisis matematico

Y otras dudas que me surgen:
1- Donde podemos clasificar las ecuaciones diferenciales ? (dentro del calculo?)
2- El analisis matematico o calculo, se centra en el analisis de funciones y en nada mas. No ?
3- Donde podemos clasificar la combinatoria ? Dentro de la estadistica, probabilidad o teoria de numeros ? O la combinatoria representa por si sola una rama aparte de todas las citadas y por tanto no se encuentra dentro de ninguna de ellas ?

4-Donde podemos clasificar las aplicaciones lineales ? En el algebra lineal, en teoria de conjuntos o en analisis matematico ?
5-Que significa exactamente que algo sea lineal o no lineal ? (Ejemplo: algebra lineal, sist.ecuaciones lineal...)
6. La geometria analitica es aquella geometria que estudia el plano y el espacio ?? Es este tipo de geometria la que se estudia en el bachillerato y la que esta relacionada con el algebra lineal ?
7. Es lo mismo geometria analitica, geometria afin y geometria euclidiana ? Que son y en que se diferencian ?

Gracias de antemano. Gracias Weip por la respuesta anterior. Espero poder resolver estas dudas y asi hacerme una mejor idea de la matematica.

Por partes:

1-Las ecuaciones diferenciales se mezclan análisis con álgebra y historias de estas. Digamos que no es una rama fundamental por sí sola si no que es derivada de otras.

2-Sí, el objeto central son las sucesiones, funciones y los espacios de funciones. No sé qué has visto exactamente de análisis pero también se necesitan nociones de topologia y de álgebra para seguir "escalando la montaña". En realidad todas las ramas de las matemáticas interaccionan mucho las unas con las otras.

3-La combinatoria es matemática discreta, que estudia los conjuntos discretos. Es de esas ramas que te he dicho que me he dejado en el tintero. Vendría a salir de la teoría de conjuntos.

4-Las aplicaciones lineales son álgebra lineal pura y dura. Aquí no se mezcla con nada más.

5-En matemáticas abusamos un poco del término "lineal" porque depende del contexto. Como sabrás, una aplicación lineal tiene su definición rigurosa que debes haber hecho en clase. A parte de este significado, llamamos ecuaciones lineales a aquellas que el grado de la incógnita es 1. Lo mismo para los sistemas.

6-No, la geometría analítica es aquella que usa coordenadas y sistemas de referencia. No sé muy bien que has hecho de geometría, pero todas tienen como caso particular el plano y el espacio (no necesariamente reales). Es justamente la que no tiene relación alguna con el álgebra lineal.

7-No, todas tienen sus definiciones:

Geometría analítica: la que usa coordenadas y sistemas de referencia. Todas las geometrías (que conozco) tienen esta parte en algún momento.

Geometría afín: la que estudia los espacios afines y las aplicaciones afines y afinidades entre ellos.

Geometría euclídea: la que estudia los espacios euclídeos (recuerda que un espacio es euclídeo si es un $\mathbb{R}$-espacio vectorial y tiene definido un producto escalar (forma bilineal, simétrica y definida positiva)).

Por poner un poco de orden, la geometría euclídea engloba la analítica y la afín engloba a las otras dos. Y la geometría proyectiva incluye a todas las otras. Sería algo así:

Proyectiva>Afín>Euclídea>Analítica

Siendo francos aún no he estudiado ni geometría diferencial, ni geometría algebraica... así que este esquema (nunca mejor dicho si hablamos de geometría algebraica) se puede ampliar y mucho.

[zhazzu]

Re: Calculo vs analisis matematico

Y cual es, o cuales son los tipos de geometria que tienen relacion con el algebra ?

Gracias por las respuestas. Empiezo a hacer una mejor estructura mental.

[Weip]

Re: Calculo vs analisis matematico

Y cual es, o cuales son los tipos de geometria que tienen relacion con el algebra ?

Gracias por las respuestas. Empiezo a hacer una mejor estructura mental.

Todas pero la analítica menos. Es que la analítica más que una geometría por sí misma es una herramienta para las otras. Es cierto que en la geometría analítica se habla de vectores linealmente independientes y bases, pero se trata a nivel tan básico que álgebra propiamente dicha pues...

[Newtoniano]

Re: Calculo vs analisis matematico

Un apunte si se me permite sobre el cálculo vs análisis:

Normalmente tenemos la idea metida en la cabeza de que el cálculo es lo aplicado mientras que el análisis es mas bien la rama que se encarga de las demostraciones. Yo también lo creía así.

Me he encontrado mucha bibliografía y muy distinta de esta asignatura y si que es cierto que he podido sacar un claro patrón y es que los libros de cálculo suelen carecer de ciertas demostraciones pero enfatizan mas en las matemáticas como instrumento mientras que en los libros de análisis se introducen ciertas nociones que no son necesarias para emplear las matemáticas como un instrumento.

Hay quien ve el "cálculo" para ingenieros y el análisis para físicos/matemáticos quienes necesitarán esas nociones extra de formalismo. No quita que un ingeniero necesite conocer muy muy bien las matemáticas. Depende de la universidad muchas veces.


PD:zhazzu ¿Tu estás en UCM? Yo empecé en el grupo D y me acabé cambiando a matemáticas.

[zhazzu]

Re: Calculo vs analisis matematico

Otra duda.
En la asignatura de analisis matematico de 1º curso, en los temas iniciales me consta que se tratan sobre todos temas de 'introduccion' al analisis. Digamos temas enfocados a coger la base para afrontar los temas centrales/finales de esa asignatura. Estos temas iniciales, por lo que he visto, suelen ser variados y segun la universidad cambian.

Que temas o que area de las matematicas (teoria conjuntos?,...) me recomendais preparame/mirarme bien antes de afrontar el analisis matematico ?
Gracias!

[Weip]

Re: Calculo vs analisis matematico

Otra duda.
En la asignatura de analisis matematico de 1º curso, en los temas iniciales me consta que se tratan sobre todos temas de 'introduccion' al analisis. Digamos temas enfocados a coger la base para afrontar los temas centrales/finales de esa asignatura. Estos temas iniciales, por lo que he visto, suelen ser variados y segun la universidad cambian.

Que temas o que area de las matematicas (teoria conjuntos?,...) me recomendais preparame/mirarme bien antes de afrontar el analisis matematico ?
Gracias!

Realmente no se necesita mucha cosa. Al principio con saber cuatro cosas de conjuntos (operaciones entre conjuntos, definición de aplicación y definición de función básicamente) y sobre los números reales (axiomas) basta. En el segundo o tercer curso sí suele haber una introducción sobre los conceptos topológicos necesarios. Pero vamos, que estando en física ya tienes el nivel mínimo para empezar el análisis de forma rigurosa.

[zhazzu]

Re: Calculo vs analisis matematico

Siendo el analisis el estudio de las funciones, existe el analisis real, el complejo... entre otros. Y dentro de estos los podemos enfocar desde una dimension y desde 2 o más. [(A.real, complejo...)>(A. en 1,2,...,n dimensiones)]

Entonces mi pregunta ahora es, donde colocamos el analisis vectorial ? Es lo mismo analisis vectorial que analisis en 2 o mas dimensiones ?

Clasificamos al analisis vectorial junto a analisis (real,complejo...) o junto a analisis (en 1 dimension, en 2 o mas dimensiones...) ??
Ando liado con este tema. Gracias de antemano.

[Weip]

Re: Calculo vs analisis matematico

Siendo el analisis el estudio de las funciones, existe el analisis real, el complejo... entre otros. Y dentro de estos los podemos enfocar desde una dimension y desde 2 o más. [(A.real, complejo...)>(A. en 1,2,...,n dimensiones)]

Entonces mi pregunta ahora es, donde colocamos el analisis vectorial ? Es lo mismo analisis vectorial que analisis en 2 o mas dimensiones ?

Clasificamos al analisis vectorial junto a analisis (real,complejo...) o junto a analisis (en 1 dimension, en 2 o mas dimensiones...) ??
Ando liado con este tema. Gracias de antemano.

Más que "análisis en 1, 2, 3... dimensiones" se prefiere decir "análisis en varias variables" ya que se trabaja directamente con $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$ (también puedes hacer análisis en otros conjuntos pero ese es otro tema) y la dimensión es la que sea. El análisis vectorial iría en el análisis en varias variables, sí.

[zhazzu]

Re: Calculo vs analisis matematico

Mas dudas. Donde incluiriais la teoria referente a:
-sumatoria/productoria...
-Desigualdades (toda la teoria diferente de las inecuaciones las cuales ya se que pertenecen al algebra)
- Numero factorial y toda la teoria relacionada.

Y aprovechando, me gustaria saber la principal diferencia entre porque a veces se escribe el valor absoluto asi |x| y otras asi ||x||. Hay alguna diferencia o explicacion ?

[Weip]

Re: Calculo vs analisis matematico

Mas dudas. Donde incluiriais la teoria referente a:
-sumatoria/productoria...
-Desigualdades (toda la teoria diferente de las inecuaciones las cuales ya se que pertenecen al algebra)
- Numero factorial y toda la teoria relacionada.

Y aprovechando, me gustaria saber la principal diferencia entre porque a veces se escribe el valor absoluto asi |x| y otras asi ||x||. Hay alguna diferencia o explicacion ?

Los sumatorios y productorios por sí solos suponen una abreviación de largas sumas y productos. Tampoco es que se encuadren en ninguna rama de las matemáticas. Ahora bien, si te refieres a las series ("sumatorios de infinitos términos" vendría a ser una definición de estar por casa), se estudian en análisis, en la primera asignatura que tengas de cálculo integral.

Las desigualdades pasan como en el caso anterior: no se encuadran necesariamente en ninguna rama aunque sí es cierto que la primera vez que se ven es en análisis. Desde un punto de vista teórico, las desigualdades tienen origen en la teoría de conjuntos aunque aquí no tienen demasiada importancia a parte de la definición de relación de orden.

El factorial surge como necesidad de la combinatoria y de la probabilidad. Pero pasa como en los puntos anteriores. Es una operación que aparece mucho en esas ramas pero no son el objeto central a estudiar.

Por último, $|x|$ es la función valor absoluto definida como $x$ si $x \geqslant 0$ o $-x$ si $x<0$. En cambio, $||x||$ denota la norma del vector $x$. La definición en $\mathbb{R}^n$ es $||x||=\sqrt{<x,x>}$ donde $<,>$ denota el producto escalar usual. En general, se define como una aplicación $||\cdot||: V \to \mathbb{R}$, con $V$ un $K$-espacio vectorial, cumpliendo la desigualdad triangular, que es definida positiva y que $||kx||=|k|||x||$ (nota la diferencia entre valor absoluto y norma).

En resumen: el valor absoluto es una función del tipo $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que si le das un número te lo devuelve con signo positivo mientras que la norma denota la "longitud" de un vector. De hecho la norma es lo mismo que el módulo, solo que esta última palabra se reserva para cuando trabajas en $\mathbb{R}^2$ o en $\mathbb{R}^3$.

[zhazzu]

Re: Calculo vs analisis matematico

Gracias por las respuestas tan completas weip. Aun asi tengo que decir que aun no dispongo de tanto nivel matematico. El valor absoluto lo entiendo perfectamente, la norma/longitud aun me cuesta. Eso en que asignatura se ve ?
-Por cierto, hay una propiedad del V.A: |x|=sqrt(x^2) la cual me suena mucho tambien a modulo/norma/longitud/distancia ? Se trata de lo mismo de lo que me hablabas en el anterior mensaje ? modulo=longitud=distancia=norma ?
-En definitiva, entiendo que v.a es para escalares y norma para vectores. Siendo asi, para numeros complejos que seria norma o V.A ?

Y finalmente me quedan unas dudas mas(espero no ser muy pesado pero tengo siempre estas dudas en mi cabeza y quiero deshacerme de ellas).
1. Quisiera saber porque hay veces que al resolver, por ejemplo, (x^2)-1=0, obtenemos como resultado +1,-1(generalmente para sacar raices) y luego hay otras veces que simplemente hacemos x=sqrt(1)=1. Cuando se usa una y cuando la otra ?

2. En el caso de sacar las raices a un polinomio, este tendra tantas raices como de grado sea (entre raices reales y complejas). Bien pues siendo así, en el caso de tener (x^2)-1=0 tenemos 2 soluciones reales pues su grado es 2. Entonces, si ahora tuvieramos (x^3)-1=0 creo que tendriamos como soluciones (x=1),(x=1) y una compleja. Entonces, si tenemos (x^n)-1=0, significa esto que si n es par, tenemos la mitad de las soluciones como (x=1) y la otra mitad como (x=-1) ? Y si n es impar, cuantas soluciones hay y de que tipo ? ANDO MUY LIADO CON ESTE TEMA Y ESTOY SEGURO QUE AL FINAL ES ALGO TRIVIAL.

3. Los conceptos de conmutatividad, distributividad, asociatividad (propiedad conmutativa, distributiva, asociativa) los he visto en diversos campos de la matematica. En que campo de las matematicas podriamos meter esto ? (me refiero como concepto general)

4. Dentro de lo que es aritmetica/teoria de numeros, que podriamos meter (aparte de el concepto de adicion,producto....) ? El concepto de logaritmo, raiz n-esima... tambien lo podriamos clasifica aqui ?

Gracias de antemano.

[Weip]

Re: Calculo vs analisis matematico

¡Hola!

Gracias por las respuestas tan completas weip. Aun asi tengo que decir que aun no dispongo de tanto nivel matematico. El valor absoluto lo entiendo perfectamente, la norma/longitud aun me cuesta. Eso en que asignatura se ve ?

¿Tu ahora estás haciendo el grado de física no? Se da también la norma en asignaturas de álgebra/geometría de primero de física. Sea como sea, por ahora quédate con lo que te voy a decir. ¿Te acuerdas del módulo de un vector? Pues la norma es una generalización del módulo pero la interpretación geométrica es la misma. Por ejemplo, la norma de $(1, 2)$ es $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$. Esto se ve en geometría afín, cuando hagas espacios euclídeos.

-Por cierto, hay una propiedad del V.A: |x|=sqrt(x^2) la cual me suena mucho tambien a modulo/norma/longitud/distancia ? Se trata de lo mismo de lo que me hablabas en el anterior mensaje ? modulo=longitud=distancia=norma ?

Es verdad me he olvidado de decirte que el módulo se nota de diferente forma que la norma a pesar de que son lo mismo. Son cosas de mera notación. $|x|$ puede ser el valor absoluto de $x$ con $x\in \mathbb{R}$ (es decir, $x$ es un escalar) y también puede ser el módulo (norma en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$) con $x$ un vector. El problema viene de que en matemáticas los vectores no se notan con flechas. Es por eso que hay que aclarar a qué conjunto pertenece cada elemento.

Respecto a lo de "modulo=longitud=distancia=norma", la cosa es más sutil. Cuando dije longitud fíjate que lo puse entre comillas. Lo que quería decir es que la "longitud de un vector" es su módulo. En este caso, la distancia es una función muy diferente a la norma aunque tienen relación importante que ya lo verás cuando toque.

Resumiendo, que ya me estoy enrollando mucho: Módulo=Norma usual (existen otras) en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$.

-En definitiva, entiendo que v.a es para escalares y norma para vectores. Siendo asi, para numeros complejos que seria norma o V.A ?

En los complejos pasa una cosa muy liosa. Lo que llaman "valor absoluto" es el módulo del número complejo interpretado como un vector, no la función valor absoluto. Se nota de la misma forma. Todo un lío, lo sé. No sé quién se encargó de poner los nombres.

Y finalmente me quedan unas dudas mas(espero no ser muy pesado pero tengo siempre estas dudas en mi cabeza y quiero deshacerme de ellas).

No es molestia, mejor preguntarlas ahora en el foro que no encontrarse en blanco delante de un examen.

1. Quisiera saber porque hay veces que al resolver, por ejemplo, (x^2)-1=0, obtenemos como resultado +1,-1(generalmente para sacar raices) y luego hay otras veces que simplemente hacemos x=sqrt(1)=1. Cuando se usa una y cuando la otra ?

La segunda nunca se usa, no sé dónde la has leído pero la raíz tiene dos signos y entonces te queda la primera opción que has puesto. Es posible que lo hayas malinterpretado y el texto que has leído separara las soluciones como $x=\sqrt{1}$ y $x=-\sqrt{1}$. O puede que si lo has leído en un libro de física, igual han obviado la solución negativa por no tener interpretación física.

2. En el caso de sacar las raices a un polinomio, este tendra tantas raices como de grado sea (entre raices reales y complejas). Bien pues siendo así, en el caso de tener (x^2)-1=0 tenemos 2 soluciones reales pues su grado es 2. Entonces, si ahora tuvieramos (x^3)-1=0 creo que tendriamos como soluciones (x=1),(x=1) y una compleja. Entonces, si tenemos (x^n)-1=0, significa esto que si n es par, tenemos la mitad de las soluciones como (x=1) y la otra mitad como (x=-1) ? Y si n es impar, cuantas soluciones hay y de que tipo ? ANDO MUY LIADO CON ESTE TEMA Y ESTOY SEGURO QUE AL FINAL ES ALGO TRIVIAL.

Un polinomio tiene tantas raíces como su grado en los complejos (en los reales no funciona siempre). Esto se conoce como "teorema fundamental del álgebra". Para $x^n=1$ con $x \in \mathbb{C}$, tendrías que hacer la raíz $n$-ésima de $1$. No sé qué has visto de números complejos, pero esto da $e^{2\pi i k/n}$ con $k=0,1,2,...,n-1$. Para cada $k$ tienes una solución.

3. Los conceptos de conmutatividad, distributividad, asociatividad (propiedad conmutativa, distributiva, asociativa) los he visto en diversos campos de la matematica. En que campo de las matematicas podriamos meter esto ? (me refiero como concepto general)

Álgebra. Se estudian en álgebra lineal, teoría de grupos, anillos, cuerpos... De hecho esas propiedades permiten definir las distintas estructuras algebraicas. El espacio vectorial es una de ellas.

4. Dentro de lo que es aritmetica/teoria de numeros, que podriamos meter (aparte de el concepto de adicion,producto....) ? El concepto de logaritmo, raiz n-esima... tambien lo podriamos clasifica aqui ?

Sí, y de hecho tienen mucha importancia. De todas formas podrías encuadrarlos también en el análisis. Como dije en anteriores mensajes, las ramas de las matemáticas se tocan en muchos puntos.

Los conceptos de adición y producto los debes encuadrar en el álgebra de forma general y en la teoría de conjuntos si hablamos de casos concretos como los números naturales, enteros y todos estos.

¡Saludos!