¿y el infinito?

[hennin]

Re: ¿y el infinito?

Minombre, gran error acabas de cometer diciendo que el infinito de los enteros es el doble que los naturales. Entre Z y N puedes hacer una funcion biyectiva, entonces su cardinal será el mismo. Y por si te sigues preguntando qué sucederá con Q, pues de nuevo el cardinal es el mismo.
Esto lo demostró Gregor Cantor. La funcion biyectiva en Q es más difícil de visualizar, pero si tu pones todas las filas siguientes:
1/1, 2/1, 3/1 .....
1/2, 2/2, 3/2 ....
1/3, 2/3, 3/3 ....
.... .... .... .....

"Tacha con flechas diagonales y completadas todo Q+ asignando a cada número natural un número racional". De este modo consigues una función biyectiva. Entonces Q+ es numerable. Con Q- haces lo mismo, y entonces Q es numerables pues Q= Q- U Q+ U {0}.
Resumiendo, N,Z y Q tienen el mismo cardinal aunque intuitivamente puede parecer que no.

[hennin]

Re: ¿y el infinito?

Por cierto, para terminar con lo que dije, entre N y R no puedes aplicar una función biyectiva, principalmente porque R no es enumerable. Por tanto su cardinal no será alef0.

[Kuiper]

Re: ¿y el infinito?

Hablando del infinito,
os recomiendo un documental llamado "Dangerous Knowledge". En él se cuenta la vida de Georg Cantor, uno de los primeros que se atrevió a tratar el tema del infinito, y cómo le afectó a su vida.
No aparecen conceptos matemáticos, pero sí hace referencia a cómo afectó en el paradigma matemático de su tiempo.

[xXminombreXx]

Re: ¿y el infinito?

Minombre, gran error acabas de cometer diciendo que el infinito de los enteros es el doble que los naturales. Entre Z y N puedes hacer una funcion biyectiva, entonces su cardinal será el mismo. Y por si te sigues preguntando qué sucederá con Q, pues de nuevo el cardinal es el mismo.
Esto lo demostró Gregor Cantor. La funcion biyectiva en Q es más difícil de visualizar, pero si tu pones todas las filas siguientes:
1/1, 2/1, 3/1 .....
1/2, 2/2, 3/2 ....
1/3, 2/3, 3/3 ....
.... .... .... .....

"Tacha con flechas diagonales y completadas todo Q+ asignando a cada número natural un número racional". De este modo consigues una función biyectiva. Entonces Q+ es numerable. Con Q- haces lo mismo, y entonces Q es numerables pues Q= Q- U Q+ U {0}.
Resumiendo, N,Z y Q tienen el mismo cardinal aunque intuitivamente puede parecer que no.

No ha sido un error. He dicho que siguiendo sus razonamientos sería fácil decir que los enteros tienen un infinito del doble, pero que puesto que podemos hacer una biyección entre ambos, el cardinal de ambos es el mismo. Relee mi post con cuidado y te darás cuenta.

He diho que lo mismo pasa con Z, o con NxN, es decir que tanto Z como NxN, o como tu dices Q, o D tienen un cardinal de $\aleph_0$ porque podemos encontrar biyecciones.

Por ejemplo la que tú has dicho de Cantor para los Q. Para NxN tenemos la siguiente biyección:

$$f(m,n) = \frac{(n+m)(n+m+1)}{2}+m$$

Así repaso un poquito. xD

Por cierto, para terminar con lo que dije, entre N y R no puedes aplicar una función biyectiva, principalmente porque R no es enumerable. Por tanto su cardinal no será alef0.

Error aquí, por tanto su cardinal será $\aleph_1$, no $\aleph_0$. Será una errata.

[fernando arroyo reyes]

Re: ¿y el infinito?

el infinito es una realidad aunque es una realidad fuera de nuestra imaginacion, esto es porque no sabemos que hay mas alla de lo que nos podamos imaginar, me explico? quiero decir que pensar en el infinito es como pensar en algun numero que dicte el final de una cifra, una cifra compuesta de una infinidad de numeros, verdad que no es posible imagnar el infinito?

[Breogan]

Re: ¿y el infinito?

Hola:

Mi duda especifica es en relación con el concepto de infinito en los números reales cuando estos están asociados a trayectorias físicas. Puede ser una tontería pero todavía no logro compatibilizar los conceptos.

Un segmento matemáticamente tiene infinitos puntos, tal es así que como dijeron en otro post, entre dos puntos cualesquiera siempre se puede encontrar otra cantidad infinita de puntos dejando esto invalidado el concepto de contigüidad o vecindad entre puntos.

Mi duda cociste en si es posible el concepto de movimiento sin el concepto de contigüidad, creo que no se trata de la parábola de Zenon (ese es el nombre? no me acuerdo), no hablo de la suma de infinitos movimientos con bla bla bla,,
Mi duda se puede resumir en: si tengo una partícula en un punto del espacio a que punto se puede mover si no hay ningún punto que sea contiguo al punto en el que ella esta.

Espero se entienda mi duda. Gracias

Suerte

[guibix]

Re: ¿y el infinito?

si tengo una partícula en un punto del espacio a que punto se puede mover si no hay ningún punto que sea contiguo al punto en el que ella esta.

Creo que ese problema y otros parecidos son la base del nacimiento del cálculo infinitesimal.

Mi humilde opinión al respecto es que el punto "contiguo" de un punto dado $x$ es $x+\dd x$ cuando $\dd x\to 0.$ A la práctica son el mismo punto, pero no lo son en el límite y se entiende la continuidad como una suma infinita de $\dd x$.

Por otra parte, respecto al tema del hilo, yo siempre he pensado que el infinito es aquello a lo que te puedes acercar tanto como quieras, pero no es un punto al que puedas llegar. Pero un día vi una forma de poner un punto concreto en el infinito. La cosa es simple: se toma un círculo de radio infinito y te sitúas en un punto en su perímetro. Eso es lo mismo que si tenemos una recta. La diferencia está en que el mismo punto está a una distancia infinita de sí mismo por el "otro lado" del perímetro. Asimismo cualquier par de puntos tienen dos distancias: la distancia euclidiana (la de toda la vida) y una distancia infinita por el "otro lado" de la circunferencia.

¿Que os parece esto?

La verdad es que me lo propuso una persona que no tiene muchos estudios pero sí una gran capacidad de abstracción. Yo no supe que contestarle, pues parece ser un buen razonamiento para situar un punto en el "infinito lejano"*, cosa que parece imposible por la misma definición de infinito. Aquí lo dejo para ver si alguien puede verificar o contradecir el razonamiento.

*El término se refiere al infinito hacia lo grande, no hacia lo pequeño, pues en este último sí se puede situar puntos en el infinito

[Breogan]

Re: ¿y el infinito?

Hola:

Gracias por tu respuesta guibix, muy interesante lo de situar una persona en el infinito usando una circunferencia de radio infinito. Pero no debemos limitar los infinitos al tema de las distancias. En realidad dos personas en el espacio están separados por un infinito, el numero de puntos entre ellos. O parados sobre una circunferencia están separados por infinitos sectores de circunferencia, etc.

En cuanto a la contigüidad de los puntos $x$ y $x+dx$ cuando $dx\to 0$, creo que en realidad el diferencial sale por definición como:

$\dst dx\ =\ \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x$

y me parece que el dominio del limite excluye explicitamente el punto $\Delta x=0$ por lo cual $x$ y $x+dx$ son puntos distintos, por lo cual siguen estando separados por infinitos puntos y por lo tanto no son contiguos.

Yo por lo menos sigo con la duda. Gracias

Suerte

[carroza]

Re: ¿y el infinito?

Hola

Creo que la duda de Breogan la resuelve más la física que las matemáticas.

Si consideramos la trayectoria de una partícula real, que medimos con instrumentos reales, entonces tendremos que la posición se mide, no mediante un conjunto continuo e infinito ($\aleph_1$) de números reales, sino mediante un número discreto y finito de números enteros, los que nos permite la regla que tengamos. Igualmente, el tiempo se mide mediante un conjunto discreto y finito de números enteros, los que nos permita el cronómetro.

En este caso está clara la noción de continuidad: Si un objeto pasa de la posición dada por el milímetro 23 al milímetro 25, tiene necesariamente que pasar por el milímetro 24.

Ahora uno empieza a desarrollar la física. Si queremos hablar de velocidad, esta sería
$v = \Delta x / \Delta t$, donde tanto $\Delta x$ como $\Delta t$ son número enteros, medidos con nuestra regla o cronómetro.

Evidentemente, este número dependerá de la divisiones que tenga la regla o el cronómetro, pero ahí aparece ese magnífico invento que es el cálculo diferencial. Si las divisiones son suficientemente pequeñas, el cociente $v = \Delta x / \Delta t$, resulta aproximadamente independiente de las reglas que utilicemos, y por tanto de los números enteros concretos que nos dan $\Delta x$ y $\Delta t$, y por tanto, los podemos expresar en términos de los números reales $d x$ y $d t$, arbitrariamente pequeños, e independientes del aparato de medida.

Saludos