Problema del coseno ([ajotatxe])

[Machinegun]

Probar que dados 6 números reales, existen dos de ellos x ,y tales que cos(x-y)>=1/2. Nota: Se necesitan conocimientos matemáticos simples para resolver este acertijo.

[pod]

Re: Problema del coseno ([ajotatxe])

De una forma más o menos heurística, debido a la periodicidad del coseno, siempre podemos tomar esos seis números reales "módulo $2\pi$". Es decir, siempre podemos sumar o restar $2\pi$ las veces que haga falta a cada número para quedarnos con otra cifra equivalente en el intervalo $[0,\ 2\pi)$.

En este intervalo, el valor del coseno es igual o superior a 1/2 en dos regiones, $[0,\ \pi/3]$ y $[5\pi/3,\ 2\pi)$. Es decir, para que la afirmación original resulte incorrecta, entonces $|x-y|$ debe quedar siempre en el intervalo $(\pi/3,\ 5\pi/3)$. En particular, esto implica que para cualquier par de esos seis números reales se debe cumplir

$$|x-y| \ge \frac{\pi}{3} .$$

Es decir, la separación mínima entre los diferentes números reales debe ser $\pi/3$. En el intervalo $[0,\ 2\pi)$ no caben seis números con esa separación mínima. El caso más desfavorable sería tomar los seis números equidistantes, $x_k = \frac{\pi}{3} k$, con $k = 0, \cdots, \ 5$, pero está claro que este caso cumple con el enunciado perfectamente.

No ha sido muy formal, pero creo que se entiende la idea.

[Machinegun]

Re: Problema del coseno ([ajotatxe])

Perfecto, Pod, la idea ha sido clarísima, y por lo de la informalidad no te preocupes, que estamos en un foro de ingenio. Yo sería todavía más informal y diría que cualquier número real puede considerarse una medida en grados. Para que el coseno valga menos de 0.5 el ángulo mínimo tendría que ser mayor de 60 grados. En un círculo no podemos colocar 6 radios que estén separados por ángulos mayores a 60 grados. Como bien dices, lo más desfavorable sería que todos fueran ángulos de 60 grados, pero entonces todos los cosenos serían de 0.5. En cambio, sí podríamos meter 5 radios de 72 grados, por ejemplo.