Cercados por un diámetro

[Machinegun]

Dentro de un círculo se determinan cuatro puntos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que exista al menos un diámetro que incluya los 4 puntos en una misma mitad del círculo? ¿Y si fueran 5 puntos?

[Machinegun]

Re: Cercados por un diámetro

Creo que este es un bonito problema. Lamentablemente cuando quise resolverlo me precipité y al mirar la solución, según yo para comprobar mi resultado, me topé con una desagradable y al mismo tiempo agradable sorpresa: mi respuesta era errónea, pero la solución me gustó mucho. No es tan fácil, pero tampoco tan difícil. Creo que vale la pena intentarlo. Voy a dar más días para ver si alguien se anima.

Saludos

[Stormkalt]

Re: Cercados por un diámetro

Para 4 puntos la probabilidad me dio 1/16
Para 5 me dio 1/25

Aunque tengo ciertas dudas, pues en el enunciado dice ...exista al menos un diámetro... ¿Sería esto como decir: cuál es la probabilidad de que los puntos estén todos en un semicírculo?

Saludos

[Machinegun]

Re: Cercados por un diámetro

Para 4 puntos la probabilidad me dio 1/16
Para 5 me dio 1/25

Aunque tengo ciertas dudas, pues en el enunciado dice ...exista al menos un diámetro... ¿Sería esto como decir: cuál es la probabilidad de que los puntos estén todos en un semicírculo?

Saludos

Hola, es verdad que el enunciado no es todo lo claro que fuera deseable. Efectivamente, con “existe al menos un diámetro” quiero decir que todos los puntos estén en un semicírculo, sólo que ese semicírculo no está determinado de antemano. Es decir, si la pregunta fuera: “se colocan al azar cuatro puntos en un círculo ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro estén en la mitad derecha?”, entonces la respuesta sería la que tú das, pero no es esa la pregunta. Tampoco la pregunta es “¿cuál es la probabilidad de que los cuatro puntos estén todos ya sea en la mitad izquierda o en la derecha?”, en cuyo caso la respuesta sería el doble de la que propones. Pero, la pregunta es ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro puntos estén en una misma mitad del círculo (sin especificar si es la derecha, la izquierda , la de arriba, la de abajo, etc., es decir, cualquier mitad, por lo que debe haber algún diámetro que divida el círculo en una mitad vacía y la otra con los cuatro puntos). Espero haber podido aclarar el enunciado.

Saludos

[Stormkalt]

Re: Cercados por un diámetro

Ahora entiendo. Voy a intentarlo.

Salute

[Machinegun]

Re: Cercados por un diámetro

Tómate tu tiempo, yo creo que el problema lo vale. No diré nada en muchos días, o tal ve semanas. Ojalá tengas el tiempo disponible para abordar este bonito problema.

Saludos

[Machinegun]

Re: Cercados por un diámetro

Viendo que nadie se anima, doy una pista a ver si de repente:

La probabilidad solicitada es igual a un medio, pero la de que los cinco puntos caigan del mismo lado, es menor, por supuesto.

Lo interesante es el desarrollo, no el resultado.

Saludos

[carroza]

Re: Cercados por un diámetro

Hola.

El problema es bonito, y la solución (al menos la que yo he encontrado) es muy curiosa.

Me sale P(2)=1 (dos puntos siempre están al mismo lado de un diámetro)

P(3) = 3/4

P(4) = 1/2 (Como dice machinegun)

P(5) = 3/8

P(6) = 9/40 etc

Yo lo he resuelto obteniendo una función $P_n(\alpha)$ que me da la probabilidad de que n puntos estén formando un angulo menor que $\alpha$,
y una ecuación de recurrencia que me da $P_{n+1}(\alpha)$ en función de
$P_n(\alpha)$.

Luego, basta hacer $\alpha = \pi$

[Machinegun]

Re: Cercados por un diámetro

Hola carroza, qué gusto verte por estos lares. A decir verdad, no entiendo bien tu solución; sin embargo, coincido en las probabilidades P(2), P(3) y P(4), pero no en las otras dos. No estoy completamente seguro de estar en lo correcto, por eso te pediría que revisaras la tuya (solución) a ver si hay algún error. Según yo sería P(5) = 5/16 y P(6) = 3/16. Más tarde pongo el desarrollo.

Saludos

[carroza]

Re: Cercados por un diámetro

Correcto. Me habia equivocado.
Las probabilidades son
P(2)=1, P(3)=3/4, P(4)=1/2, P(5)= 5/16 y P(6)= 3/16.

Añado las probabilidades de que n puntos estén en un cuadrante de 90 grados:

P(2)=1/2, P(3)=3/16, p(4)= 1/16, p(5)= 5/256, p(6)=3/512

[Machinegun]

Re: Cercados por un diámetro

Totalmente de acuerdo.

[Machinegun]

Re: Cercados por un diámetro

Y acaso lo podemos generalizar para el ángulo θ y $n$ puntos así:

$n$(θ/2π)^($n$-1), 0 ≤ θ ≤ π

pero no estoy seguro si esto es cierto. A ver si alguien me orienta al respecto.

Saludos

[carroza]

Re: Cercados por un diámetro

Efectivamente, esa es la solución que me sale a mí también.

En la demostración, se encuentra que
$P_n(\theta) = P_{n-1}(\theta) (\theta/2 \pi) + \int_0^{\theta} P_{n-1}(\beta) d\beta/2 \pi$

Esta expresión se encuentra porque, para que n particulas cubran un ángulo $\theta$, o bien las (n-1) primeras cubren un ángulo $\theta$, en cuyo caso la particula n debe estar entre 0 y $\theta$ (primer término), o bien la
partícula n forma un ángulo $\theta$, y las (n-1) anteriores describen cualquier ángulo $\beta \le \theta$ (segundo término).