cos 36º

[ajotatxe]

Propongo el siguiente problema geométrico. Calcular exactamente el valor de cos 36º (es decir, dar una expresión de cos 36º donde sólo aparezcan sumas, restas, productos, cocientes y raíces cuadradas).
Una pista (si no, es muy difícil): Considera el triángulo isósceles ABC donde A=36º y B=C=72º. Traza la bisectriz del ángulo B.

[pod]

Re: cos 36º

eh, ¿no vale esto?

$\displaystyle \cos 36^o = \sum_{n=0} (-1)^n \frac{1}{(2n)!} \left( \frac{36\pi}{180}\right)^{\!\!2n} \ .$

Son sumas y multiplicaciones (la potencia a un natural es una multiplicacion repetida).

[[Beto]]

Re: cos 36º

eh, ¿no vale esto?

$\displaystyle \cos 36^o = \sum_{n=0} (-1)^n \frac{1}{(2n)!} \left( \frac{36\pi}{180}\right)^{\!\!2n} \ .$

Son sumas y multiplicaciones (la potencia a un natural es una multiplicacion repetida).

Mmmm ... me atrevería a decir que no , supongo que en este caso para hacerlo geométricamente habría que recordar algo de polígonos regulares.

¿Tal vez si piensan en un pentágono regular?

[ajotatxe]

Re: cos 36º

No lo he dicho, pero debe ser una expresión cerrada, no valen series ni límites.

[deneb]

Re: cos 36º

a mi una serie convergente me parece muy cerrada

[Dramey]

Re: cos 36º

Creo que con cerrada se refiere a términos finitos...esperemos que nos lo aclare!

[[Beto]]

Re: cos 36º

Creo que con cerrada se refiere a términos finitos...esperemos que nos lo aclare!

Insisto esto sale dibujando un pentágono regular .

[alefriz]

Re: cos 36º

Propongo el siguiente problema geométrico. Calcular exactamente el valor de cos 36º (es decir, dar una expresión de cos 36º donde sólo aparezcan sumas, restas, productos, cocientes y raíces cuadradas).
Una pista (si no, es muy difícil): Considera el triángulo isósceles ABC donde A=36º y B=C=72º. Traza la bisectriz del ángulo B.

$\func cos {36} = \frac {1}{2} \Phi = \frac {1}{2} \frac{1+\sqrt {5}}{2} = \frac{1+\sqrt {5}}{4}$

Siendo $\Phi$ el número áureo.

[[Beto]]

Re: cos 36º

Veamos como se hace teniendo en cuenta un pentágono regular:

Donde:

$L=\dfrac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}}$

$a_p=\dfrac{R}{4}(\sqrt{5}+1)$

Luego del triángulo sombreado se puede obtener el $\cos36^0$

[Jordiel]

Re: cos 36º

Hola. Otra forma de calcular el cos36 basándome en la pista de ajotatxe (la cual agradezco), que recuerdo en forma de esquema, sería:


$$\displaystyle \overline{AB}sen\alpha=(\overline{AC}-c')sen2\alpha$$
$<br /> $\overline{AB}=\overline{AC}$<br />$
$$\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{BC}}{c'}\Rightarrow c'=\frac{\overline{BC}^2}{\overline{AB}}$

$sen2\alpha=2sen\alpha cos\alpha$$

Tª Seno: $$\displaystyle \frac{\overline{BC}}{sen\alpha}=\frac{\overline{AB}}{sen2\alpha}\Rightarrow \overline{AB}=2\overline{BC}cos\alpha$$

De todo esto se deduce que $$2cos^2\alpha-cos\alpha-\frac{1}{2}=0$$
Como el cos de un ángulo entre 0 y 90 grados es siempre positivo, de las dos soluciones de la ecuación la positiva es:

$<br /> $cos\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{4}=cos36^{o}$<br />$

[^Cuervo^]

Re: cos 36º

Yo para desentonar propongo una solución un tanto peculiar. Tenemos que 36º=pi/5 radianes, si aplicamos la fórmula de Moivre tenemos que:

(cos(pi/5)+sin(pi/5)*i)^5 = cos(pi)+sin(pi)* i= -1

Si desarrollamos la primera parte de la igualdad, e igualamos la parte imaginaria resultante a 0, nos da que efectivamente :

cos(pi/5)=(1+5^(1/2))/4=phi/2

Es otra opción distinta a considerar los triángulos aureos del pentágono regular.