Un poco de probabilidad condicional

[Machinegun]

Elimínense todas las cartas excepto los ases y los reyes de una baraja, de tal forma que sólo queden 8 cartas: 4 ases y 4 reyes. De este macizo reducido, hay que dar 2 cartas a un amigo. Si ve las cartas que tiene en su mano y dice, con veracidad, que tiene un as, a) ¿cuál es la probabilidad de que las 2 cartas sean ases? Si dice que una de sus cartas es el as de espadas, b) ¿cuál es la probabilidad de que las 2 cartas sean ases? c) ¿Son iguales estas probabilidades?

[pod]

Re: Un poco de probabilidad condicional

Bueno, se puede hacer con la definición de probabilidad condicionada directamente. (A significa as, R significa rey, x significa cualquier carta):

$$p(AA | Ax)= \dfrac{p(AA \cap Ax)}{p(Ax)}= \dfrac{p(AA)}{p(Ax)} .$$

En el segundo paso simplemente si hay dos ases, entonces seguro que hay uno. Para calcular estas probabilidades podemos recurrir a la combinatoria, pero quizá es más fácil hacerlo "pensando". En la elección de la primera carta, tenemos una probabilidad del 4/8 que sea as. En la segunda, si ha salido as en la primera, la probabilidad es de 3/7. Por lo tanto, debe ser p(AA) = (4/8)(3/7) = 3/14.

Para la posibilidad Ax (recordemos que no nos importa el orden, xA valdría lo mismo), tenemos dos posibilidades; que el primero sea as (probabilidad 1/2, con lo cual no nos importa la segunda) o que no lo sea (probabilidad 1/2, con lo cual la probabilidad de que la segunda si lo será de 4/7). Por lo tanto, la probabilidad es p(Ax) = 1/2 + (1/2)(4/7) = 11/14. Otra forma de verlo es que p(Ax) = 1 - p(RR), y por la simetría del problema debe cumplirse p(RR) = p(AA).

De todo esto, tenemos que la probabilidad condicionada es p(AA|Ax) = 3/11.

Para el segundo tenemos un poco más de información: que el as asegurado es el de espadas:

$$p(A_eA | Ax)= \dfrac{p(A_eA \cap A_ex)}{p(A_ex)}= \dfrac{p(A_eA)}{p(A_ex)} .$$

Usando los mismos razonamientos (o los de combinatoria) puedes hacerlo de forma sencilla. Inténtalo

[Machinegun]

Re: Un poco de probabilidad condicional

Si te entendí bien, respondes que el inciso a) es 3/11 y estoy de acuerdo. Para el inciso b) propones una fórmula que me da flojera resolver, pero por simple sentido común yo concluyo que la respuesta es 3/7. ¿Estás de acuerdo?

[pod]

Re: Un poco de probabilidad condicional

En realidad es muy sencillo resolvera, incluso con flojera. El proceso es el mismo de siempre, considerar la posibilidad de que el as de espadas salga primero o segundo,

$$\begin{aligned}<br /> p(A_e A) & = \frac18 \cdot \frac37 + \frac38 \cdot \frac17 = \frac3{4\cdot 7} , \\<br /> p(A_e x) & = \frac18 \cdot 1 + \frac78\cdot\frac17 = \frac14.<br /> \end{aligned}$$

Si los divides, en efecto da 3/7.

[Machinegun]

Re: Un poco de probabilidad condicional

Sé que incluso con flojera era fácil resolverlo, pero necesitaba que tú dieras el resultado final para que un examigo mío considerara válida la prueba. Perdona si te hice trabajar un poquito, pero a cambio te lo he agradecido formalmente.

[Machinegun]

Re: Un poco de probabilidad condicional

También se puede resolver sin fórmulas de probabilidad, sólo con sentido común. Por ejemplo: para encontrar la probabilidad de que sea un par de ases sabiendo que una de las cartas es as, contamos primero cuántos pares diferentes son posibles con las 8 cartas. Como no vamos a usar la fórmula de las combinaciones, simplemente sumamos de acuerdo con el siguiente razonamiento: tomo una de las 8 cartas y formo un par con cualquiera de las 7 restantes, por lo que tengo 7 pares posibles con esa primera carta; descarto esa carta y repito el procedimiento con la segunda carta, es decir que voy atener 6 pares posibles (la segunda carta con cada una de las 6 restantes); repito sucesivamente el procedimiento y al final voy a tener la siguiente suma: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28. De estos 28 pares posibles hay algunos que serían imposibles si sabemos que una carta es as, es decir, los pares de reyes. ¿Cuántos pares de reyes son posibles con 4 reyes? Procedemos igual que arriba y obtenemos la suma 3 + 2 + 1 = 6. Entonces, restando los 6 posibles pares de reyes al total de pares posibles, nos quedan 22 pares. Por simetría sabemos que también hay 6 pares de ases posibles, entonces la probabilidad de que tengamos un par de ases equivale a las posibilidades de que salga uno de los 6 pares de ases entre los 22 pares posibles que contienen al menos un as, es decir, la probabilidad es de 6/22, o sea, 3/11. Para el inciso b, el razonamiento es mucho más sencillo. Sabemos que una de las dos cartas es el as de espadas, la otra carta puede ser una de las 7 restantes, entre ellas, 3 ases. Por lo tanto la probabilidad de que sea un par de ases es la misma de que la otra carta sea cualquiera de los 3 ases que hay en las 7 cartas restantes, es decir, 3/7.

Lo curioso de este problema es que da la impresión de que si el amigo nos dice que una de las cartas es un as, lógicamente tiene que ser un as de uno de los cuatro palos y a nosotros nos debería importar un rábano de cuál de esos palos se trata. Eso confunde a algunas personas.