1r ciclo Faltan i

[relojdepared]

Hola amigos esta mañana me he encontrado este interesante problema:


$1 = \frac{i}{i} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}} . \sqrt{\frac{1}{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{1} . \frac{\sqrt{-1}}{1} = \sqrt{-1} . \sqrt{-1} = -1$

Suerte con el, pero no os presentara el mayor problema

[davinci]

Re: Faltan i

Hola relojdepared

Después de leer el desarrollo creo (bueno, en realidad no creo, lo sé porque lo he leído llevado por la duda ) que al final la multiplicación de raíces sería el menos uno por el menos uno, con lo que nos quedaría raíz de uno que es uno.

Edito curiosidad: Un caso análogo a éste tiene que ver con la unidad imaginaria. Conocí a una persona que decía haber hallado un error en los imaginarios. Yo le pregunté cual era, y me dijo que: Siendo $\dst i=\sqrt{-1}$ entonces, normalmente se dice que: $\dst i^2=-1$ Sin embargo, él me dijo que en realidad también se podía: $\dst i^2= i . i = \sqrt{-1} . \sqrt{-1} = \sqrt{1}$. Al final resultó que por convenio se tomaba el primer caso.

Un saludo

[Vialonb]

Re: Faltan i

Hola davinci. ¿Y entonces porqué i^2 es -1?

Saludos

[davinci]

Re: Faltan i

¡Lo acabo de comentar justo cuando escribías el mensaje!

[carroza]

Re: Faltan i

Hola.

Interesante problema. Creo que la cuestion surge del significado de la raiz cuadrada. Cualquier número complejo tiene dos raices cuadradas. Una está (por ejemplo) en el semiplano complejo positivo ($a+bi$, con b positivo) y la otra está en el semiplano negativo $(-a - bi)$.

Así, implícitamente, cuando decimos $\sqrt{-1} = i$ estamos eligiendo la solución para la raiz cuadrada del semiplano positivo.

Con el mismo criterio, $\sqrt{1} \over \sqrt{-1}$ sería ${1\over i }= -i$, y estaría en el semiplano complejo negativo.

Por tanto, el paso erróneo esta cuando se sustituye $\sqrt{1} \over \sqrt{-1}$ por $\sqrt{-1} \over \sqrt{1}$ .


En resumen, que si definimos $\sqrt{a}$ como la raiz que está en el semiplano positivo de los complejos, se comple que

${\sqrt{a} \over \sqrt{b}} \ne \sqrt{a/b}$.

¿Curioso, no?

Saludos

[pod]

Re: Faltan i

Por tanto, el paso erróneo esta cuando se sustituye $\sqrt{1} \over \sqrt{-1}$ por $\sqrt{-1} \over \sqrt{1}$ .

Hay una forma puramente mecánica (i.e, aplicando las reglas sin pensar) de ver por qué este paso está mal. Cuando se racionaliza una raíz en el denominador, se debe multiplicar arriba y abajo por dicha raíz,

$$\frac{\sqrt 1}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt1 \cdot \sqrt{-1}}{\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{-1} .$$

Obviamente es mejor una explicación razonada, pero también está bien saber qué reglas de manipulación se deben respetar.

[relojdepared]

Re: Faltan i

Muy buena respuesta pero todavia no consigo explicarme el porque de:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \neq \sqrt{\frac{a}{b}}$

[davinci]

Re: Faltan i

Carroza, no entiendo el paso de $\dst \frac{1}{i}=-i$

[Rodri]

Re: Faltan i

La cuestión es que, dado que la raíz cuadrada de un número complejo siempre es doble, en realidad $\sqrt{a}$ no es un número complejo bien definido porque puede representar dos complejos diferentes. La regla aritmética que tenemos interiorizada de forma mecánica es que "el cociente de las raíces es igual a la raíz del cociente". Y funciona perfectamente para números reales. Sin embargo, al usarlo con números complejos hay que tener cuidado. Así, tenemos que $\frac{i}{i}$ es un número complejo bien definido (=1), pero $\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{-1}}$ no es un número complejo bien definido. Entonces, no podemos aplicarle la regla anterior de forma consistente. Si lo hacemos, el resultado está afectado por la ambigüedad.
Una forma más sencilla de ver esto es ver que
$\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=1$

pero si hacemos primero las raíces:

$\sqrt{-1}\sqrt{-1}=i \cdot i=-1$

En realidad en el último paso he elegido "tendenciosamente" las dos raíces de -1 con signo +, pero podría haber elegido una de ellas con signo - y entonces tendría:

$\sqrt{-1}\sqrt{-1}=(-i) \cdot i=1$

En definitiva, si partiendo de una expresión "bien definida" pasamos a otra con ambigüedad y desarrollamos ésta abusando de dicha ambigüedad, no podemos esperar obtener de nuevo un resultado bien definido porque habremos perdido algo por el camino. Es un poco parecido a lo que hacen los ilusionistas con la chistera y el conejo.

Saludos
Rodri

[Turing]

Re: Faltan i

Carroza, no entiendo el paso de $\dst \frac{1}{i}=-i$

Multiplicando por el conjugado:

$\dst \frac{1}{i}\frac{(-i)}{(-i)}=\frac{-i}{-(i^2)}=-i$

(También se puede pensar como la inversa de i, siendo el argumento $\dst \frac{-\pi}{2}$)

Un saludo.

[carroza]

Re: Faltan i

Muy buena respuesta pero todavia no consigo explicarme el porque de:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \neq \sqrt{\frac{a}{b}}$

A ver: Definamos $\sqrt{a}$ como el número complejo x, con parte imaginaria positiva, tal que $x^2 = a$. Igualmente, $\sqrt{b}$ es el número complejo y, con parte imaginaria positiva, tal que $y^2 = b$. Por lo mismo $\sqrt{a/b}$ es el número complejo z, con parte imaginaria positiva, tal que $z^2 = a/b$.

Como no tiene que cumplirse que $x/y$ tenga su parte imaginaria positiva, entonces en general, $x/y \ne z$ .

[relojdepared]

Re: Faltan i

cierto, son cosas insignificantes que te provocan la duda, gracias.