Hallar el radio de la circunferencia.

[Mossy]

Hola,

os dejo un acertijo que me propuso una amiga. Se trata de hallar el radio de la circunferencia sabiendo esos dos datos.

[abuelillo]

Re: Hallar el radio de la circunferencia.

Si el 100 no fuese 2 veces el 50 seria mas interesante y el dibujo tendria sentido.

[Mossy]

Re: Hallar el radio de la circunferencia.

Sí, la verdad es que el dibujo no está muy a escala. Pero sería interesante resolverlo matemáticamente.

Los que den con la solución entenderán por qué está así dibujado.

[arivasm]

Re: Hallar el radio de la circunferencia.

$\dst \frac{100^2+4\cdot 50^2}{8\cdot 50}$

[oscarmuinhos]

Re: Hallar el radio de la circunferencia.

Si se pone en texto en lugar de en dibujo tal vez resulte más gracioso:
"Calcula sin operar cuanto mide el radio de una circunferencia que tiene una cuerda de 100 m cuyo punto medio está a una distancia de la circunferencia igual a la mitad de la cuerda"

Yo obtuve la siguiente solución que, al substituír, me da el mismo resultado de arisvam:

$\displaystyle \int_0^5^0 R.dR$

[Mossy]

Re: Hallar el radio de la circunferencia.

Arivasm, cómo llegaste a ese resultado?

Es que a mí sólo se me ocurrió hacerlo por trigonometría, sacando hipotenusas y ángulos y usando finalmente la identidad fundamental de la trigonometría. No sabía ni que se podía hacer por integrales.

[xurxo]

Re: Hallar el radio de la circunferencia.

La ecuación de arisvam?

Puede que con una figura así:


Pero yo añado otra ecuación a la de oscarmuinhos y a la de arisvam:

$R=\displaystyle \frac{150^2+9\times 50^2}{18\times 50}$

Puede valer?

[arivasm]

Re: Hallar el radio de la circunferencia.

Si llamamos H=100 y V=50

$\dst \frac H 2 = R \sin\theta$

$R-V=R\cos\theta$

Elevamos al cuadrado y sumamos miembro a miembro: $\dst \frac {H^2}{4}+R^2-2RV+V^2=R^2$. El resto es despejar.

Yo también tengo curiosidad por la solución de Óscar. Respecto de la de Xurxo, francamente no la veo.

[abuelillo]

Re: Hallar el radio de la circunferencia.

Si se pone en texto en lugar de en dibujo tal vez resulte más gracioso:
"Calcula sin operar cuanto mide el radio de una circunferencia que tiene una cuerda de 100 m cuyo punto medio está a una distancia de la circunferencia igual a la mitad de la cuerda"

Siendo que el dibujo no esta correctamente dibujado, ya que se ve que la cuerda horizontal no pasa por el centro de la circunferencia, ¿ seria valido enunciar que el punto medio esta a una distancia de 50 de de la circunferencia ? Quizas no deberia ser valido suponer que el segmento vertical cruza por el punto medio de la cuerda horizontal (el dibujo hace pensar esto pero no nos podemos fiar, tambien hace pensar que el segmento horizotal no pasa por el centro).

Si suponemos esto no hace falta operar, sabiendo que por definicion existe un unico punto llamado centro del que equidistan todos los puntos de la circunferencia, si la longitud de la mitad de la cuerda horizontal es 50, y la cuerda vertical tambien tiene longitud 50, el punto en el que se cruzan la linea horizontal y vertical no puede ser mas que el centro de la circunferencia, ya que vemos que la distancia de ese punto a 3 puntos conocidos de la circunferencia es la misma: 50 (umm aunque parece que este razonamiento tiene un fallo).

Otra forma de resolverlo, sustituir y despejar r en:

x²+y²=r² / x=50 / y=r-50

[inakigarber]

Re: Hallar el radio de la circunferencia.

Descubrí ayer este hilo.
Me propuse resolverlo sin mirar las respuestas pero me dio una solución que me parecía incongruente, ya que me coincidía la posición del central de la cuerda de la circunferencia (el dibujo me engañó). Estuve un tiempo dándole vueltas hasta que mendrugo de mi me di cuenta de que el centro de la circunferencia equidista de los puntos del perímetro, con ello la solución resulto congruente.
Un saludo.