sistema binario, 1

[Lemuel]

Lo hemos visto en muchas pelis de Hollywood. Un tipo le entrega a otro un bonito maletín con resaltes plateados. El segundo tipo abre el maletín, mira y manosea bajo la tapa, y, por lo que se lee en su cara, se diría que no acaba de gustarle del todo ni lo que ve ni lo que toca allí dentro. De modo que saca un arma de fuego de no se sabe dónde y, sin más averiguaciones, ¡pum, pum!, coloca dos certeros disparos en la sesera del primer tipo, que en consecuencia ya nunca volverá a transportar ningún otro bonito maletín ni cosa que se le parezca. Es lo que comúnmente se llama un “ajuste de cuentas”.

A fin de ajustar cuentas, y para realizar la propia operación de contar, las gentes de paz hacemos uso de unos entes inofensivos, simbólicos y que no hacen ¡pum, pum!. Se llaman números, organizados normalmente en el sistema decimal de numeración. El cual sistema se llama así porque consta de solo diez cifras árabes (con perdón) o dígitos y se estructura sobre la base del número diez. Son estos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Bien es verdad que con este precario material simbólico solo podemos enumerar hasta nueve objetos; o bien, con el 0, indicar la ausencia de objetos. Además, únicamente podremos hacer operaciones de sumar y multiplicar si el correspondiente resultado es igual o inferior a 9. Así, estaremos en disposición de averiguar y escribir que 3 + 6 = 9 y que 2*4 = 8, pero, aun sabiendo que 3*4 son doce, no sabremos cómo figurar el número ‘doce’.

Quiere decirse entonces que, en la vida práctica, a la hora de ajustar cuentas o de que nos las ajusten a nosotros (aunque, ya digo, sin que sea imprescindible ningún ¡pum, pum! ni efusión de sangre la mayor parte de las veces), requeriremos unos símbolos adicionales y distintos a los ut supra relacionados. Tras pensárnoslo un poco, llegaremos a la conclusión de que el potencial simbólico de esos signos no se agota en su singularidad, que puede ir mucho más allá del 9, y nuestra ocurrencia consistirá en volver a utilizarlos agrupándolos en conjuntos de dos, de tres y así sucesivamente.

Con este astuto truco formaremos grupos con dos cifras y luego con tres o más cifras, de la manera siguiente:

10, 11, 12, …, 19// 20, 21, 22, …, 29//…//90, 91, 92, …, 99
100, 101, …, 199//200, 201, …, 299// … //900, 901, …, 999
1000, … 1999//…//9000, …, 9999//, &c.

Este sistema numérico se llama posicional debido a que el valor de cada dígito en él integrado depende del lugar que ocupe tal dígito en el número completo. Así, verbi gratia, en el número 155, el primero de los dos 5 tiene un valor diez veces superior al del segundo 5, como es fácil colegir.

Pero ya seguiremos con esto otro día. Que, como decía Gracián, “lo bueno, si breve...”

[Lemuel]

sistema binario, 2

Para aclarar la posicionalidad y el correspondiente valor relativo de los dígitos en el sistema numérico decimal, y no solo en el decimal, veamos las diversas formas que tenemos de nombrar un número cualquiera. Por ejemplo, el 4787.

4787 = cuatro mil setecientos ochenta y siete = cuatro miles + siete cientos + ocho dieces + siete unidades =

4*10^3 + 7*10^2 + 8*10 + 7,

donde, evidentemente, el primer 7 vale cien veces más que el otro, ya que es 700 y el otro solo es 7.

En general, un número cualquiera, compuesto de una cantidad arbitraria n de cifras árabes o dígitos, a, b, c, …, h, k, se escribiría

abc…hk = a*10^(n-1) + b*10^(n-2) + … + h*10 + k,

donde es evidente que hay también n sumandos.

De manera completamente análoga es posible construir y operar con sistemas numéricos de bases distintas a diez: bases 7, 8, 12, 20 …

El uso efectivo de esos sistemas es rastreable en diversos idiomas europeos: en inglés y alemán, las palabras para 11 y 12 no están, por así decir, construidas según el principio decimal; en francés, el quatre-vingt sugiere con toda claridad la utilización de una base 20; en danés, el término (con el que a nadie pretendo ofender) halvfirsindstyve para 70 indica “a medio camino (entre la tercera, 60, y la cuarta vez, 80) de cuatro veces veinte”, &c.

Por otro lado, se sabe que los astrónomos de Babilonia (con cuyos tataranietos iraquíes pretenden hoy los yankis acabar a bombazo limpio por la cosa del petróleo) hacían uso de un sistema que en parte era sexagesimal, es decir, de base 60, de donde procedería la división de la hora y del grado angular en minutos, la división del minuto en segundos, &c. Pero no voy a detenerme ahora en nada de esto.

Pasemos ya directamente al sistema binario. Pero eso ya en otro capitulito, por no cansar.

[Lemuel]

sistema binario, 3

La base numérica más pequeña utilizable es 2, y el correspondiente sistema de numeración, llamado diádico o binario, se construye a partir de solo dos dígitos, llamados bits: el 0 y el 1. Un número cualquiera en binario sería, digamos, el

1001110001,

que, pasado a decimal, se convertiría en

1*2^9 + 0*2^8 + 0*2^7 + 1*2^6 + 1*2^5 + 1*2^4 + 0*2^3 + 0*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 512 + 64 + 32 + 16 + 1 = 625.

Y, al revés, para ir de decimal binario, dividiríamos una y otra vez por 2 y tomaríamos el último cociente y los restos sucesivos, del último al primero, para formar el resultado. Por ejemplo,

625:2 = 312 con resto 1
312:2 = 156 con resto 0
156:2 = 78 con resto 0
78:2 = 39 con resto 0
39:2 = 19 con resto 1
19:2 = 9 con resto 1
9:2 = 4 con resto 1
4:2 = 2 con resto 0
2:2 = 1 con resto 0

Tomando el último cociente, que es 1, y los restos del último al primero (señalados todos en negrita), tenemos otra vez el número binario dado:

1001110001.

Como se ve, el inconveniente mayor de este sistema es la tremenda longitud de los números que resultan en cuanto te descuidas un poco. Y así como 625 = 1001110001, ni te cuento la brutalidad que resultaría si intentásemos expresar en binario los no menos brutales beneficios obtenidos por la Santa Madre Iglesia o la Banca españolas en el pasado ejercicio.

Las reglas fundamentales de la adición y la multiplicación son en binario ridículamente sencillas, a saber:

1 + 1 = 10, 1*1 = 1.

Así, por ejemplo, habida cuenta de que 7 = 111, 5 = 101 y 7*5 = 35, multiplicando 111*101 nos saldría
1*111 = 111
0*111 = 000
1*111 = 111,

y haciendo la suma escalonada de derecha a izquierda como se hace en las multiplicaciones (y es lástima que aquí yo sea incapaz de escribir así los números), tendríamos 11 a la derecha, luego 1 + 1 = 10, del que dejamos el 0 y cuyo 1 sumamos al siguiente 1 obteniendo de nuevo 10, del que volvería a llevarme 1 y finalmente resultaría un último 10, no sé si me explico. O sea

100011 = 2^5 + 2^1 + 2^0 = 32 + 2 + 1 = 35,

tal como era de esperar.

El gran Leibniz (1646-1716) fue un apasionado partidario del sistema binario, como queda claro leyendo un célebre artículo que, como tantas otras cosas suyas, escribió en francés: "Explication de l'Arithmétique Binaire". A tal respecto, el agnóstico Laplace dejó dicho: «Leibniz veía en el sistema diádico la imagen de la Creación. Consideraba que el 1 representaba a Dios, y el 0, la nada; que el Ser Supremo creaba todos los seres de la nada, del mismo modo que el 1 y el 0 expresan todos los números de este sistema de numeración.»

¡La matemática infectada de misticismo religioso!

El actual desarrollo, digamos, “laico” del sistema binario, llevado a cabo con el concurso del poderoso instrumental lógico aportado por el álgebra de Boole, está enfocado fundamentalmente a su aplicación en informática.

Lo cual es ya, desde luego, otra historia.