100 saludos

[jogares]

En una fiesta coinciden 100 personas. Si los ordenamos numerándolos consecutivamente del 1 al 100 se da la circunstancia de que, con excepción del número 100, todos se han saludado con un número de personas igual a su número de orden. El 1 con 1, el 2 con 2,....el 99 con 99.
¿Con cuántos se ha saludado el 100?

[Machinegun]

Re: 100 saludos

Primero creí que serían 99, luego pensé que no se podía resolver, más tarde deduje que debería ser 1, finalmente, hasta ahora, me di cuenta de que había deducido mal y concluí que la única solución posible sería 50. Espero que esta vez sí sea la correcta.

Saludos

[pod]

Re: 100 saludos

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Yo también creo que son 50. Razonamiento:

La persona 99 se debe haber saludado con todos los demás (el único que no puede saludar es a si mismo). Eso quiere decir que la persona 1 no puede haberse saludado con nadie más.

Al considerar la persona 98, este se tiene que haber saludado con todos menos con él mismo y con el 1. Junto con el anterior, estos son las dos únicas personas con quien se ha saludado el 2.

Y así, sucesivamente, si vamos considerando parejas $(n,\ 100-n)$, con n < 50, vemos que la persona 100-n se ha saludado siempre con todos las personas excepto las (n-1) primeras de la fila. Y, viceversa, la persona n siempre se ha saludado sólo con las n últimas de la fila excepto la 100 (n=1, se saluda sólo con la 99; n=2 se saluda con 98 y 99 y así sucesivamente).

Con esto, vemos que sólo la segunda mitad de la fila se saluda con la persona 100. Eso son 50 saludos.

Alguien podría albergar duda de deberían ser 49 o 51, según como interpretemos la mitad de la fila, según si contamos al 100 en ella o no. Es fácil ver que 49 o 51 no son valores posibles: si sumamos la cantidad de saludos en que participa cada persona debe salir un número par, por eso de que estamos contando cada saludo dos veces (una por cada integrante). Hacer la suma de la 99 primeras personas es sencilla, la serie aritmética que todos estudiamos y da 4950, que es par. A este número hay que sumar el número de saludos que dé la persona 100, para que resultado sea par, el número de saludos de 100 debe ser par.

[angel relativamente]

Re: 100 saludos

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La solución es 50. Lo he intentado resolver por inducción pero me atasco un poco en la demostración. No obstante de forma intuitiva se ve lo siguiente: el 99 se ha tenido que saludar con el 100 porque solo quedan 98 personas numeradas. El 98 también se ha tenido que saludar con el 100 porque el 1 ya no se puede saludar con nadie más y solo quedarían 97 numeradas. Así claramente para n=2k par el 100 se saludaría con k. Si no me he equivocado para n=2k+1 impar también se saludaría con k siguiendo el mismo argumento.

Se me ha adelantado pod con el mismo razonamiento, aunque me gusta su apunte final de paridad

[jogares]

Re: 100 saludos

Se agradece a Pod la inclusión de la pestaña de solución oculta. Creo que convendría que publicaras un hilo sobre la forma de utilizarla.
Saludos