Sumas y productos

[Niaar]

Tenemos la tabla de multiplicar del 1 al 10:



¿Cuál es la suma de los cien productos que hay en la tabla completa?

[angel relativamente]

Re: Sumas y productos

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Pues si consideramos que cada fila es una sucesión aritmética, tenemos que la suma de los elementos de la fila i-ésima será (en notación matricial) $F_i=\dfrac n2 (a_1^i + a_n^i)$ . Sumando el resultado de todas las filas tenemos $\sum_i F_i = \dfrac n2 \sum_i (a_1^i + a_n^i)$. La sucesión que tiene por término i-ésimo $a_1^i + a_n^i$ es claramente una progresión aritmética de diferencia 11 (sería la progresión: 11,22,33,...,110). Por tanto la suma final buscada será $S= \dfrac n2 \cdot \dfrac n2 (11+110) = 121\cdot \dfrac{n^2}4 =3025$ si no me he equivocado en nada.

[Niaar]

Re: Sumas y productos

Pues sí Ángel, así es.

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De todas formas la primera vez que yo lo resolví, utilicé otro método, quizás menos matemático pero igual de válido supongo:
Sabiendo que la suma de los factores de la primera columna (la tabla del 1) era igual a 55. Hice: $55+2\cdot55+3\cdot55+4\cdot55+5\cdot55+6\cdot55+7\cdot55+8\cdot55+9\cdot55+10\cdot55$ $= 55(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) = 55\cdot55$ Ya que aún no llego hasta tus saberes matemáticos:'). Enhorabuena de todas formas

[Weip]

Re: Sumas y productos

¡Hola! Voy a presentar dos soluciones porque creo que la primera no es legal.

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Intento de solución 1: Divido la tabla por filas y escribo las sumas:
FILA 1: $\dst\sum^{10}_{i=1} i$
FILA 2: $\dst\sum^{10}_{i=1} 2i$
.
.
.
FILA 10: $\dst\sum^{10}_{i=1} 10i$
La suma de todos los elementos es $\dst\sum^{10}_{i=1} i+\dst\sum^{10}_{i=1} 2i+...+\dst\sum^{10}_{i=1} 10i=(1+2+...+10)\dst\sum^{10}_{i=1} i=55 \cdot 55=3025$. En el último paso he tenido que sumar, no sé si está permitido, pero no se me ocurría otra forma de evitar sumar usando este método. Por eso he pensado este otro intento de solución.

Intento de solución 2: Divido la tabla por filas de forma que los elementos de una fila forman una sucesión finita. He interpretado que la fila cero (la de los productos) me dice la distancia entre los elementos de la primera sucesión. Es decir, la distancia entre 1 y 2 es uno, la distancia entre dos y tres es dos etc. Así pues la tabla bien ordenada queda desfasada. También he interpretado la tabla como que cada elemento es un cuadrado de área el número que toque (también se puede hacer eligiendo otros paralelogramos de forma adecuada). De esta forma si denotamos la distancia entre elementos de la sucesión como $d$, podemos calcular la distancia de la primera sucesión de cuadrados que es $d (1, 10)=1+2+...+10=55$. Esto lo usaré más adelante. Ahora denotamos por $S$ el conjunto de las sucesiones y definimos la aplicación $f:S\to \mathbb{N}$ de forma que a cada sucesión le asignamos un número natural. Si dibujamos la situación como la tabla queda desfasada nos queda un trapecio. La base menor es la distancia entre $1$ y $10$ (la que hemos calculado antes, $55$), la base mayor es la distancia entre $10$ y $100$ (como $d(1, 10)=55$ entonces $d(10, 100)=10 d(1, 10)=550$)y la altura corresponde a $10$ (la altura está contenida en los naturales de forma que la distancia es la usual, que no es la misma distancia que la de las sucesiones). Así pues la suma de todos los elementos de la tabla es el área del trapecio: $\dst\frac{(550+55)\cdot 10}{2}=3025$.

[Niaar]

Re: Sumas y productos

¡Hola Weip!

Si no me equivoco tu primera solución es la mía reescrita, pero como no tenia copyright... La verdad es que el enunciado lo saqué tal cual de las "proves cangur", y no especificaba que nada fuera ilegal (puedes, si quieres, sumar uno a uno todos los números de las tablas de multiplicar). Lo único que diría que no te dejan, es usar calculadora, pero 55x55 es algo que se puede hacer usando el coco:') Igualmente me ha sorprendido la 2ª solución: un trapecio?¿ajaj creo que he pillado menos de la mitad, pero enhorabuena.

[angel relativamente]

Re: Sumas y productos

Bonitas soluciones Weip (la asignatura de topología te está dejando trastornado). Aun así, creo que la más bonita y lícita para el concurso es la 1ª, que en efecto es la que proponía Niaar. La reformularé en términos de progresiones aritméticas para que no se cometa la trampa de "hacer muchas sumas":

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Sabemos que la suma de los k primeros términos de una sucesión aritmética es $S_k=\displaystyle \sum_{i=1}^k x_i = \dfrac k2 (a_1 + a_k)$. Si tomamos la primera sucesión (1,2,3,...,10) tenemos $S_{10}=5\cdot 11 = 55$ (solo he hecho una suma :-)) Por tanto en este caso, usando vuestros argumentos se llega a que la suma de toda la tabla será equivalente a $S=S_{10}^2 = 3025$. Lo bonito es que se puede generalizar para una tabla del k. Si tenemos por ejemplo una tabla con las k=20 primeras tablas de multiplicar, la suma de todos los elementos será $S=S_{20}^2 = \dfrac {k^2}4 (a_1+a_{20})^2 = \dfrac{20^2}4 \cdot (1+20)^2 =44100$ si no me he equivocado. Y de nuevo solo he hecho una suma

[Weip]

Re: Sumas y productos

Si no me equivoco tu primera solución es la mía reescrita, pero como no tenia copyright...

Ah pues sí, es exactamente la misma.

Aun así, creo que la más bonita y lícita para el concurso es la 1ª, que en efecto es la que proponía Niaar.

No sé el nivel de las pruebas pero estoy de acuerdo, creo que es la más natural. Solo tenía la duda de si se podía sumar una fila o no. En cuanto a esta última solución que has puesto, resolver un problema y luego generalizar el proceso es doble victoria, muy buena.