Secundaria Problema interesante

[Visitante]

Me he tropezado con este problema y lo he visto bastante curioso, es el siguiente:

Demuestra que $arctg 1 +arctg 2 +arctg 3 = \pi$

A ver si lo podéis resolver.

[arivasm]

Re: Problema interesante

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Partamos de que es cierto:

$$arctg\ 1+arctg\ 2 =\pi-arctg\ 3$$

Ahora apliquemos al lado izquierdo la expresión para la tangente de la suma

$\dst\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$

y al derecho la de la resta

$\dst\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}$

teniendo en cuenta que $\tan\pi=0$

De esa manera tenemos que 1 equivale a

$$\frac{1+2}{1-1\cdot 2}=\frac{0-3}{1+0\cdot 3}$$

es decir $-3=-3$

Para hacer la demostración debemos ir marcha atrás, aunque teniendo cuidado con el hecho de que la función arco tangente no es univaluada, de manera que en realidad tendremos una familia de soluciones, una de las cuales es la propuesta. Otra sería, por ejemplo, $arctg\ 1+arctg\ 2+arctg\ 3=0$ si bien en este caso uno de los arcos tangente habría que tomarlo en el rango $(-\pi,0)$ mientras que los otros dos deberían tomarse en el rango $(0,\pi)$

[carroza]

Re: Problema interesante

Arivasm, para no destripar los problemas bonitos demasiado pronto, tenemos el entorno solucion, puesto entre corchetes, Voy a dar una solucion más geométrica.

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Imaginad que dibujamos un circulo de radio 1 en el origen de coordenadas O. Tomamos un punto A en (1,0), un punto B en (1,3), un punto C en (-1,2) y un punto D en (-1,0).

Es obvio que el angulo AOB mide atan(3). Es obvio que el angulo COD mide atan (2).

Y no es tan obvio, pero puede demostrarse, que el ángulo COD mide atan(1), o sea, Pi/4 o 45 grados.

Para ello, fijadse que el segmento CO mide $\sqrt{10}$, el segmento OD mide $\sqrt{5}$ y el segmento CD mide $\sqrt{5}$, que son las dimensiones de un triangulo rectangulo isosceles.


Como es obvio que AOD mide Pi, tenemos que


$AOD = AOB + BOC + COD \quad; \quad \pi = \arctan(3) + \arctan(1) + \arctan(2)$

Saludos.

Llevamos esto mejor a Problemas de Ingenio?

[Weip]

Re: Problema interesante

Yo creo arivasm que para que la demostración quede más limpia sería bueno razonar por reducción al absurdo. Así pues suponemos que $arctg 1 +arctg 2 +arctg 3 \neq \pi$ y llegamos a que $-3 \neq -3$, que es un absurdo. Más que nada por no tener que razonar al revés y luego escribirlo todo que queda un poco extraño.

[Visitante]

Re: Problema interesante

Yo creo arivasm que para que la demostración quede más limpia sería bueno razonar por reducción al absurdo. Así pues suponemos que $arctg 1 +arctg 2 +arctg 3 \neq \pi$ y llegamos a que $-3 \neq -3$, que es un absurdo. Más que nada por no tener que razonar al revés y luego escribirlo todo que queda un poco extraño.

Es bastante elegante de esa forma y también la demostración de jabato.
Si quieren lo movemos a problemas de ingenio.

Pd: Son bastante curiosos estos patrones