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arcotangentes

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  • Olimpiada arcotangentes

    Hola.

    Una generalización del problema de Malevolex:

    Demostrar que



    para cualquier n.

    Que lo disfruteis

  • #2
    Re: arcotangentes

    ¿ que es? ¿Un natural, un entero, un real? De todos modos voy a poner mi solución a ver que tal sale.

    Ocultar contenido

    Supondré que es real menos el cero. La clave es darse cuenta que la función definida por es constante en la parte positiva y negativa. Para demostrarlo solo hay que derivar:





    El valor de se obtiene dando un valor cualquiera a (excepto el cero claro está). Yo he puesto el 2:



    Si ponemos un valor negativo entonces da .
    Es muy de libro pero bueno. ¿Es así?

    Edito: Ahora que me doy cuenta da un poco igual que sea , la prueba es casi la misma sea natural o entera con un par de retoques. También se me ha ocurrido otra solución.

    Ocultar contenido
    Una vez que sabes que es constante puedes hacer el límite de la función cuando tiende a infinito.
    Pero igual es alargarse por alargarse.
    Última edición por Weip; 10/07/2015, 21:40:55.
    \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

    Comentario


    • #3
      Re: arcotangentes

      Otra generalización

      Ocultar contenido


      sean

      tal que

      entonces





      Efectivamente haciendo



      tomando tangente en ambos lados tenemos











      Por ello si

      saludos



      Comentario


      • #4
        Re: arcotangentes

        Bueno, creo que la prueba debe basarse en una propiedad muy curiosa que tienen los arcotangentes:



        el resto creo que es trigonometría pura y dura.

        Salu2, Jabato.
        Última edición por visitante20160513; 11/07/2015, 00:58:42.

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