Olimpiada arcotangentes

[carroza]

Hola.

Una generalización del problema de Malevolex:

Demostrar que

$\arctan(n) + \arctan ({2 \over n}) + \arctan(n+{2 \over n}) = \pi$

para cualquier n.

Que lo disfruteis

[Weip]

Re: arcotangentes

¿$n$ que es? ¿Un natural, un entero, un real? De todos modos voy a poner mi solución a ver que tal sale.

Solución: 

Supondré que $n$ es real menos el cero. La clave es darse cuenta que la función definida por $f(n)=\arctan n+\arctan \dst\frac{2}{n}+\arctan \left( n+\dst\frac{2}{n}\right)$ es constante en la parte positiva y negativa. Para demostrarlo solo hay que derivar:

$f'(n)=\dst\dst\frac{1}{n^2+1}-\dst\frac{2}{n^2+4}+\dst\frac{n^2-2}{n^4+5n^2+4}=-\dst\frac{n^2-2}{(n^2+1)(n^2+4)}+\dst\frac{n^2-2}{n^4+5n^2+4}=$

$=-\dst\frac{n^2-2}{(n^2+1)(n^2+4)}+\dst\frac{n^2-2}{(n^2+1)(n^2+4)}=0$

El valor de $f$ se obtiene dando un valor cualquiera a $n$ (excepto el cero claro está). Yo he puesto el 2:

$f(2)=\arctan 2+\arctan \dst\frac{2}{2}+\arctan \left( 2+\dst\frac{2}{2}\right)= \pi$

Si ponemos un valor negativo entonces da $-\pi$.

Es muy de libro pero bueno. ¿Es así?

Edito: Ahora que me doy cuenta da un poco igual que sea $n$, la prueba es casi la misma sea natural o entera con un par de retoques. También se me ha ocurrido otra solución.

Solución: 

Una vez que sabes que es constante puedes hacer el límite de la función cuando $n$ tiende a infinito.

Pero igual es alargarse por alargarse.

[Richard R Richard]

Re: arcotangentes

Otra generalización

Solución: 

sean $A,B \in \mathbb{R}$

tal que $A \cdot B =2$

entonces

$Atn(A)+Atn(B)+Atn(A+B)=\pi$



Efectivamente haciendo

$Atn(A)+Atn(B)=\pi-Atn(A+B)$

tomando tangente en ambos lados tenemos

$\dfrac{A+B}{1-AB}=\dfrac{0-(A+B)}{1-0.(A+B)}=-A-B$


$A+B=-(A+B)+AB(A+B)$

$2(A+B)=AB(A+B)$


$2= AB$

Por ello si $A=n \Rightarrow B=2/n$

saludos

[visitante20160513]

Re: arcotangentes

Bueno, creo que la prueba debe basarse en una propiedad muy curiosa que tienen los arcotangentes:

$ArcTan(x)+ArcTan(1/x)=\pi/2$

el resto creo que es trigonometría pura y dura.

Salu2, Jabato.