Secundaria Arqueólogo en problemas

[Richard R Richard]

Un arqueólogo quiere comprar un lote de monedas, se ha dado cuenta que hay falsas y también genuinas pero a simple vista no logra diferenciarlas, aunque el vendedor si, negociando con él, supo que el lote tiene 51 monedas genuinas y 50 falsas y que cada moneda genuina pesa un gramo exacto mas que una falsa.
Escaso de tiempo porque se le va el tren, el vendedor extrae una moneda al azar del lote y le ofrece una balanza de platillos que acusa la diferencia exacta en gramos entre platillos, para que tomando las que quiera del lote las compare pero solo puede hacerlo una vez.
Si logra saber si la que extrajo el vendedor es falsa o verdadera se queda con el lote sin pagar de lo contrario paga todo el lote como genuino.
Apelando a la buena voluntad del vendedor ante la repuesta del arqueólogo... Puede o no llevarse el lote gratuitamente y alcanzar el tren.?

[pod]

Richard, ¿se puede asumir que el peso de las monedas es un número entero de gramos?

[Richard R Richard]

Ahi esta el problema, no sabemos el peso de cada moneda, si es un entero o no, sea falsa o genuina, simplemente no los conocemos, lo que si no he enunciado pero intuyo es claro, que todas las genuinas, pesan igual entre ellas, y las falsas lo mismo entre ellas .

[pod]

Yo tengo una solución que funciona si se puede asumir que el peso (en gramos) es un número entero. Si es un número real (con decimales), mi solución actual no funciona. Lo que no quiere decir que no haya otra, claro...

[Richard R Richard]

Yo tengo una solución que funciona si se puede asumir que el peso (en gramos) es un número entero. Si es un número real (con decimales), mi solución actual no funciona. Lo que no quiere decir que no haya otra, claro...

La solución es independiente del valor numérico del peso de cada moneda.

[Jaime Rudas]

Creo que la solución es:

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Del total de 101 monedas, el vendedor toma una, por lo que quedan 100 monedas.
El comprador pone 50 monedas en el platillo izquierdo y 50 monedas en el platillo derecho
Supongamos:
a - peso de una moneda falsa
a+1 - peso de una moneda verdadera
n - número de monedas verdaderas en el platillo izquierdo

Así las cosas, las monedas en el platillo izquierdo pesan:

n(a+1)+(50-n)a = na + n +50a - na = n + 50a

En cuanto a las monedas en el platillo derecho, hay dos posibilidades:
A) que el vendedor haya tomado una moneda verdadera y, por tanto, deja 50 verdaderas y 50 falsas;
B) que el vendedor haya tomado una moneda falsa y, por tanto, deja 51 verdaderas y 49 falsas.

En el caso A, las monedas en el platillo derecho pesan:

(50-n)(a+1)+na= 50a + 50 - na - n + na = 50a + 50 - n

Y la diferencia de peso entre los dos platillos es:

n + 50a - (50a+ 50 - n) = n + 50a - 50a - 50 + n = 2n - 50



En el caso B, las monedas en el platillo derecho pesan:

(51-n)(a+1)+(50 - (51-n))a = 51a + 51 - na - n + (n-1)a = 51a + 51 - na - n + na - a = 50a + 51 - n

Y la diferencia de peso entre los dos platillos es:

n + 50a - (50a + 51 - n) = n + 50a - 50a - 51 + n = 2n - 51

Como 2n es par, resulta que 2n - 50 es par y 2n - 51, impar, por lo que, si la diferencia da par, significa que el vendedor tomó una moneda verdadera y, en caso contrario, una falsa.

[Richard R Richard]

Esta solución es correcta.

[Hawkman]

¿Y cuanto tardas en plantear todo eso?

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Pues yo terminaría antes (que deducir todo eso) comparando monedas en la balanza con la muestra en cuanto ponga una diferente ya sabré si es genuina. Si hay 50 de cada con un poco de suerte lo sabría a la segunda.

[Richard R Richard]

La muestra no es necesario tocarla.
y si lo hicieces nececitas compararla con 50 monedas como máximo para estar seguro, pero solo puedes pesar una vez.

[Richard R Richard]

¿Y cuanto tardas en plantear todo eso?

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Intuitivamente sabes que las 101 monedas pesan lo que 101 falsas mas 51 g , si extraes una moneda tienes dos opciones

si es genuina , te quedan 100 monedas y 50 gramos distribuidos en 50 monedas , si todas genuina la colocases en un platillo, y las falsas en el otro, lo que acusaría la balanza es 50 g

si intercambias una genuina por una falsa en cada platillo la diferencia de peso por cada intercambio es 2g luego la indicación de la balanza sera siempre par no importa cuantas falsas y genuinas haya en el platillo.

y si extrajiste una falsa, te quedan en el mejor de los casos tienes 50 genuinas en un platillo 49 falsas en el otro y una genuina, la diferencia es de 49 g ,si haces un intercambio la diferencia de lectura sera de 2 gramos, luego si extrajiste una falsa siempre la lectura de la balanza será un umero impar.



que cuanto tardas en darte cuenta...yo en su día resolví el problema similarmente a lo que hizo Jaime , una vez resuelves caes en cuenta sobre el resultado par o impar.... pero tal cual lo relaté ahora, no es necesario mucho tiempo