Secundaria Que velocidad hay que darle a una pelota para que llegue a la Luna?

[Richard R Richard]

Vamos..utilicemos esos 5 minutos de abstracción , para despejarse del coronavirus, Aver si puedo enviar uno de estos problemas por día de cuarentena....

No hay fricción.

Cual es la velocidad mínima de la pelota y porque? para el caso en que la tierra y la Luna no rotan.... y para el sí?

[carroza]

Es un problema interesante y bonito. Por favor, no mireis mi solucion hasta haberlo intentado.

Saludos

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Hola. Creo que el problema es mucho más complicado de lo que puede parecer. Voy a poner una jeraquia de soluciones, todas incorrectas (salvo quizás la ultima), de la más simple a la más complicada:

1) La velocidad es la velocidad de escape de la tierra.

2) La velocidad sería la necesaria para llegar a al distancia en la que se anulan la atracción gravitatoria de la tierra a la luna. Un poco menor que la de escape. (esta es valida si la tierra y la luna no rotan)

3) Tendria que considerar la rotación de la tierra con respecto a la luna. Eso me genera un potencial centrífugo, que depende de la distancia r del centro de masas a la posicion del objeto que va como $1/2 m \omega^2 r^2$. Añado este potencial a los potenciales gravitatorios, y calculo de nuevo la energia necesaria para llegar al punto, situado en la linea que va de la tierra a la luna, donde el potencial es máximo.

4) Tengo en cuenta que la trayectoria de la pelota no va a ser nunca rectilinea, ni siquiera en el sistema que rota, por la fuerza de coriolis. Puedo imaginar que la pelota va a ir con una trayectoria complicada, pero puedo suponer que si le doy la energia suficente, igual a la diferencia de las energias potenciales en la superficie de la tierra y en la superficie de la luna (con su contribución centrífiga), en algun momento llegará a la luna.

5) Es un prtoblema de tres cuerpos. No hay conservación de la energía ni del momento angular de la pelota. Basta con que le de una pequeña energía (digamos que suficiente para que describa una orbita geoestacionaria cercana a la superficie de la tierra), para que antes o después, las fuerzas de marea de la luna, aceleren a mi partícula, en una orbita caótica, que, antes o después me llevaría a colisionar con la luna. Aunque, claro está, esta órbita caótica puede caer antes sobre la superficie de la tierra.

[Al2000]

Si nos apegamos estrictamente a la formulación inicial de la pregunta, entonces la velocidad mínima es cero (o tan pequeña como queramos).

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

En ese caso, uso este comentario, para aclarar que la idea es tener en cuenta la aceleración gravedad y toda la teoría newtoniana de la gravitación.
En todo caso entiendo que si desprecias la gravedad ,la velocidad no puede ser cero , solo cualquiera que sea mayor que cero en dirección y sentido a la luna, pero no es el caso que hace mas interesante el problema.

[carroza]

Hola. Se me ha ocurrido una cosa que no consideré previamente

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El problema pide simplemente la velocidad minima, no la trayectoria, que puede ser muy complicada.

Yo diría que la trayectoria con velocdad mínima debe ser capaz de llevar la pelota hasta el punto de Lagrange L_1, del sistema tierra-luna. Una vez que llega a ese punto, puede caer sobre la luna. La velocidad mínima, desde la tierra, correspondería a la situación en que la pelota llega al punto de lagrange L_1 con velocidad nula.

Esta trayectoria puede invertirse, y seguir la trayectoria de una particula en el punto de Lagrange L_1 que cae sobre la tierra (esto ocurre ya que el punto L_1 es inestable). Este problema debe ser resoluble, no se si analíticamente, pero seguro que sí numéricamente. Al fn y al cabo, tenemos un movimiento en un plano, con dos grados de libertad.

Ok. Ya tengo la solucion. La fuerza de Coriolis es siempre perpendicula a la velocidad. Por tanto, no proporciona trabajo. Eso quiere decir que en el sistema no inercial que rota con el sistema tierra-luna, la energúa mecánica se conserva. Por tanto, basta calcular la diferencia en energía potencial (considerando el potencial centrifugo) del punto de partida (la superficie de la tierra), y del punto de lagrange L1, para saber la energía cinética inicial, y por tanto, la velocidad inicial.

Calcular la dirección inicial, para llegar al punto L_1 con velocidad nula es otro problema, pero no es lo que Richard pide.

Y como no hay nada nuevo bajo el sol, aqui hay una publicación con esa idea

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http://www.scielo.br/pdf/jbsmse/v28n2/29744.pdf

[Richard R Richard]

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Hola . hago un repaso de tus respuesta, que en ciertas condiciones son correctas como tu aclaras, y en otras se necesita algo más, lo que si agradezco, que le hayas dedicado tiempo este juego, que ademas de serlo es instructivo para otros. Y mas de lo que esperaba como repuestas Gracias.

Creo que el problema es mucho más complicado de lo que puede parecer. Voy a poner una jeraquia de soluciones, todas incorrectas (salvo quizás la ultima), de la más simple a la más complicada:

1) La velocidad es la velocidad de escape de la tierra.

$V_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{R_t}}$

Sin duda es suficiente pero no es es la mínima, pues el potencial gravitatorio de la luna es menor que 0 , luego se requiere menor energía para llegara la luna que al infinito.

2) La velocidad sería la necesaria para llegar a al distancia en la que se anulan la atracción gravitatoria de la tierra a la luna. Un poco menor que la de escape. (esta es valida si la tierra y la luna no rotan)

correcto si no hay rotacion es necesario, solo la energía necesaria para llegar al punto donde la luna acelere hacia si a la pelota mas que lo que la tierra lo hace

$\dfrac{GM_t}{x^2}=\dfrac{GM_t}{(D_{TL}-x)^2}$

con ello se calcula la altura de elevación x luego con un planteamiento energético se puede hallar la velocidad



$-\dfrac{GM_T}{r_T}+\dfrac{GM_T}{x}+\dfrac{GM_L}{r_L}-\dfrac{GM_L}{D_{TL}-x}+\dfrac 12 v^2=0$

3) Tendria que considerar la rotación de la tierra con respecto a la luna. Eso me genera un potencial centrífugo, que depende de la distancia r del centro de masas a la posicion del objeto que va como $1/2 m \omega^2 r^2$. Añado este potencial a los potenciales gravitatorios, y calculo de nuevo la energía necesaria para llegar al punto, situado en la linea que va de la tierra a la luna, donde el potencial es máximo.

solo requiere resolver vectorialmente para el punto de lanzamiento que la velocidad debe ser apenas superior a $v^2= | \vec{V_{lanzamiento}}+\vec{V_{rotacion}}+\vec{V_{traslacion}} |^2$

4) Tengo en cuenta que la trayectoria de la pelota no va a ser nunca rectilínea, ni siquiera en el sistema que rota, por la fuerza de coriolis. Puedo imaginar que la pelota va a ir con una trayectoria complicada, pero puedo suponer que si le doy la energía suficiente, igual a la diferencia de las energías potenciales en la superficie de la tierra y en la superficie de la luna (con su contribución centrífuga), en algún momento llegará a la luna.

Muy bien no entiendo el punto, pero creo que no hay diferencia con el caso anterior, desde el punto de vista de la tierra lo único que tuerce la trayectoria hacia la luna es la Luna debido a su posición relativa respecto al punto de lanzamiento.

5) Es un problema de tres cuerpos. No hay conservación de la energía ni del momento angular de la pelota. Basta con que le de una pequeña energía (digamos que suficiente para que describa una órbita geoestacionaria cercana a la superficie de la tierra), para que antes o después, las fuerzas de marea de la luna, aceleren a mi partícula, en una órbita caótica, que, antes o después me llevaría a colisionar con la luna. Aunque, claro está, esta órbita caótica puede caer antes sobre la superficie de la tierra.

Entiendo te refieres a que las fuerzas de marea de acercamiento y alejamiento de la luna respecto de la órbita estacionaria de la pelota , la sacaran de esa órbita, luego sería posible que tome una trayectoria en dirección de la luna. Hay mucha distancia entre la órbita geoestacionaria y la altura de órbita de lagrange $L_1$ es muy grande , para que solo sea alcanzada por la combinación de fuerzas de marea.

Hola. Se me ha ocurrido una cosa que no consideré previamente

El problema pide simplemente la velocidad mínima, no la trayectoria, que puede ser muy complicada.

Yo diría que la trayectoria con velocidad mínima debe ser capaz de llevar la pelota hasta el punto de Lagrange $L_1$, del sistema tierra-luna. Una vez que llega a ese punto, puede caer sobre la luna. La velocidad mínima, desde la tierra, correspondería a la situación en que la pelota llega al punto de lagrange $L_1$ con velocidad nula.

Esta trayectoria puede invertirse, y seguir la trayectoria de una partícula en el punto de Lagrange $L_1$ que cae sobre la tierra (esto ocurre ya que el punto $L_1$ es inestable). Este problema debe ser resoluble, no se si analíticamente, pero seguro que sí numéricamente. Al fin y al cabo, tenemos un movimiento en un plano, con dos grados de libertad.

Ok. Ya tengo la solucion. La fuerza de Coriolis es siempre perpendicular a la velocidad. Por tanto, no proporciona trabajo. Eso quiere decir que en el sistema no inercial que rota con el sistema tierra-luna, la energía mecánica se conserva. Por tanto, basta calcular la diferencia en energía potencial (considerando el potencial centrifugo) del punto de partida (la superficie de la tierra), y del punto de lagrange $L_1$, para saber la energía cinética inicial, y por tanto, la velocidad inicial.

Calcular la dirección inicial, para llegar al punto $L_1$ con velocidad nula es otro problema, pero no es lo que Richard pide.

el calculo de ese punto lo tengo en ...

Cálculo de la posición del punto de Lagrange en órbitas circulares L1

y sí claro , que bueno sería poder fácilmente calcular la dirección y velocidad, eso no era lo que pedía, ya creo que sería tener esos datos para la que lanzar un cohete en todo momento... Ay!!! la NASA que envidia.. se que hay simuladores en internet, pero todo en ingles una pena.

Algunos cálculos de Delta V están disponibles en castellano, pero bueno el gasto extra de combustible debido a la fricción, se saca de la práctica... tirar y medir

[skan]

La masa de la pelota es totalmente despreciable frente a la de la Luna y la Tierra, por lo que no se considera que sea el problema "de los tres cuerpos".

[Richard R Richard]

Claro, fíjate que los cálculos energéticos de mi post #5 los independice de la masa de la pelota.
Y al idealizar la aceleración como instantánea y evitar el roce del aire solo hablamos de energías potenciales y cinéticas iniciales y finales.