Se denomina puntos de Lagrange a los puntos del espacio donde al situar un objeto de masa despreciable por ejemplo un satélite artificial , este permanece en posición estacionaria con respecto a otros 2 objetos de masa no despreciable y. En estos puntos se verifica el equilibrio entre las fuerzas gravitatorias que ejercen la masas y la fuerza centrípeta de rotación de la órbita que describe el objeto respecto al centro de masa del sistema - .

En la práctica sucede generalmente que uno de los dos cuerpos tiene una masa muy superior a la del otro llamaremos a este y a la otra Ej masa del sol vs masa de la tierra o masa de la tierra vs masa de la luna.



Si la masa de es muy grande con respecto a el centro de masas del conjunto estará muy próximo al centro de masas de , de ese modo la mayoría de los libros toman como origen del sistema de referencia al centro de masas de , y no al centro de masas del conjunto, por el escaso error que se comete.

Primero presentaré la forma correcta o más precisa de determinarlo, aplicando la mecánica newtoniana y luego aplicaré varias aproximaciones, para simplificar el cálculo.

Llamaré

a la distancia radial entre y

a la distancia radial entre y el objeto

[TEX ]v [/TEX] a la relación entre ambas distancias

a la relación entre las masas

La posición del centro de masas del conjunto será



Hay 5 lugares físicamente posibles que presentan esa propiedad los que pasaré a describir. En particular este artículo lo dedicaré al punto de Lagrange L1 y para para los demás.

Punto de Lagrange L1
Punto de Lagrange L2
Punto de Lagrange L3
Punto de Lagrange L4 y L5

Punto de Lagrange L1

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Sabemos que todo el sistema gira en torno al punto con una velocidad angular que sera la misma para los 3 objetos si mantienen posición estacionaria entre si, todos tendrán el mismo periodo de rotación


El primer punto de Lagrange se halla ubicado entre ambos objetos a una distancia del objeto que es nuestra incoógnita.

El equilibrio de fuerzas sobre el objeto sera


La Fuerza de atracción gravitatoria entre y


La Fuerza de atracción gravitatoria entre y


La fuerza centrípeta del objeto m con respecto al centro de masas


reemplazando 3,4,5 en 2


de aplicar la tercera ley de Kepler se desprende que


a la vez de 1 se desprende que


reemplazando 7 y 8 en 6 tenemos



luego podemos simplificar y reacomodar



Nuestra incógnita es la distancia queda por delante por resolver una ecuación polinómica de grado 5, bastante difícil, pero no imposible, programas de calculo dan solución inmediata, o podemos hacer aproximaciones que sean útiles a la para simplificar el calculo.

Empecemos acomodando la ecuación 9 aproximando



reordenando



dividiendo todo por y reemplazando por la definición de




multiplicando todo por y reemplazando por la definición de



por aproximaciones de Taylor podemos hacer





reemplazando en 13



simplificando









cuanto mayor es la relación mas proxima a 0 sera la relación por lo que si miedo a cometer grandes errores podemos eliminarlo de la ecuación



luego






que es fácilmente calculable.

Ej con los siguientes datos







%



con un gran error pues la masa de la luna, si bien es menor que la de la tierra, es lo suficentemente grande como para que al cambiarse la ubicación del centro de masas, genere gran error en el metodo de calculo