4 números y 4 operaciones

[Jaime Rudas]

A, B, C y D son números diferentes mayores que uno tales que:

La suma de dos de ellos es D
El producto de dos de ellos es D
La diferencia entre dos de ellos es D
El cociente de dos de ellos es D

¿Cuáles son los números?
¿Cuántas respuestas hay?

[Richard R Richard]

Gracias por postear Jaime , atento a pasarme el domingo con lápiz y papel en mano pregunto

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Números de cualquier tipo o enteros?

mayores o mayor e igual a 1 es posible?

Pueden los números ser iguales entre si o son todos diferentes?

Ya tengo una respuesta que no cumple alguna de esas condiciones ,pero no sé si es única todavía.

[javisot20]

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D tiene que ser estrictamente >2 de permitirse no enteros,

o puede ser =/> 4 de solo permitirse enteros ,
algo es algo para empezar jaj


gracias Richard

[Richard R Richard]

Lo que quieras ocultar lo envuelves entre los tags
[solucion]esto se oculta[/solucion]

[Jaime Rudas]

Hola, Richard

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Números de cualquier tipo o enteros?
Números reales, no necesariamente enteros.

mayores o mayor e igual a 1 es posible?
Mayores que uno.

Pueden los números ser iguales entre si o son todos diferentes?
Diferentes, o sea, son cuatro números distintos entre sí.

Ya tengo una respuesta que no cumple alguna de esas condiciones ,pero no sé si es única todavía..
Sí, hay una fácil, pero tiene dos números iguales.

[Richard R Richard]

Sí, sí, me has leído la mente, ahora sí es más complicado.

[Richard R Richard]

Aver si lo empezamos a resolver de apoco

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la solución fácil era $(A,B,C,D)=(2,2,8,4)$ pero incumple que sean diferentes A y B

Sabemos que si

$A+B = D \quad \to\quad A<D \wedge B<D$

y que si D Se obtiene de la resta de dos numeros sean $C-A=D \quad \vee \quad C-B=D \quad \vee \quad C-D=D \quad \to\quad C >D$

luego puedo plantearme todas las soluciones poosible como combinaciones teniendo en cuenta que sdi $A<B$ por definicion

entonces

$A<B<D<C$

Cada combinacion comienza teniendo en cuenta que solo es posible

$A+B=D$
$AB=D$

tener en cuenta que entonces $\dfrac{A}{A-1}=B$ o que $\dfrac{B}{B-1}=A$ no aporta mucho al despeje solo sirve tener en cuenta que

$A=D-B$

$(D-B)B=D$

entonces $B^2-DB+D=0$ y que entonces resolver la cuadrática nos lleva a $B=\dfrac{D\pm\sqrt{D^2-4D}}{2}$ creo que esto implica que solo haya soluciones reales para $D>4$

apartir de aquí hay 9 soluciones posibles para cada ecuación

$C-A=D \quad \vee \quad C-B=D \quad \vee \quad C-D=D$

hay que explorar

$C/A=D \quad \vee \quad C/B=D \quad \vee \quad C/D=D$

para terminar de armar 9 sistemas de ecuaciones de 4x4 ecuaciones donde ya hemos despejado el valor de 2 variables A y B

Hasta ahora los 4 o 5 que intenté, me dan resultados negativos o complejos.

con mas tiempo , verre si algun sistema tiene solución y en caso de tenerla estoy bastante seguro es única.

[Jaime Rudas]

Aver si lo empezamos a resolver de apoco

Vas muy bien, aunque me parece que la expresión aporta más de lo que dices.

[javisot20]

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Las combinaciones de A y B diferentes que cumplen B×A=B+A se puede determinar, por ejemplo,

cuando B=3 y A=3/2 se cumple,
cuando B=4 y A=4/3 también,
etc



Dentro de esas combinaciones buscamos la o las que teniendo en cuenta un número nuevo C nos permita cumplir las 4 operaciones.


Seguimos trabajando en ello.

[Jaime Rudas]

Hola, Javisot:

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Las combinaciones de A y B diferentes que cumplen B×A=B+A se puede determinar, por ejemplo,

cuando B=3 y A=3/2 se cumple,
cuando B=4 y A=4/3 también,
etc

Sí, pero ten en cuenta que no necesariamente son números enteros.

Saludos

[javisot20]

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A = 10
B = 10/9
C = 110/9
D = 100/9



A + B = 10 + 10/9 = 100/9

A × B = 10 × 10/9 = 100/9

C - B = 110/9 - 10/9 = 100/9

C / B = 110/9 / 10/9 = 11 (mal)




Ahora ...como fue más que nada por ensayo-error y lo poco que comentamos en los anteriores mensajes no tengo muy claro cuantas respuestas hay, seguimos trabajando en ello jej

[Jaime Rudas]

Hola, Javisot:
Tienes un error

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A = 10
B = 10/9
C = 12,2222...
D = 100/9



A + B = 10 + 10/9 = 100/9

A × B = 10 × 10/9 = 100/9

C - B = 12,222.. - 10/9 = 100/9

C / B = 12,222.. / 10/9 = 100/9

C / B = 12,222.. / 10/9 = 11 que es diferente de 100/9= 11,111...

[javisot20]

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Suponía que podía tener algún problema con los decimales y mi calculadora...ahora lo veo en el ordenador..

Estuvo cerca.

[Richard R Richard]

Hola

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trabajando algebraicamente

llego a que si

$A+B=D$
$AB=D$
$C-B=D$
$C/A=D$

puede resolverse D de la ecuación $D(D-3)^2=(D+1)^2(D-4)$

dando

$D=2+\sqrt5=4,236067977$


de donde salen


$A=\dfrac{D-D\sqrt{1-\dfrac4D}}{2}=1,618033989$
$B=\dfrac{D+D\sqrt{1-\dfrac4D}}{2}=2,618033989$
$C=\dfrac{3D+D\sqrt{1-\dfrac4D}}{2}=6,854101966$

que verifican las 4 ecuaciones , y mi pronostico de que $A<B<D<C$

todo me indica que los 4 números son únicos

[Jaime Rudas]

¡Muy bien, Richard! Esa es la respuesta.

Aquí, mi desarrollo:

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Llamemos A y B a los números que suman D. Como son mayores que uno, deben ser menores que D.

El número al que restándole otro da D, tiene que ser mayor que D, o sea, no puede ser ni A, ni B ni D. Es, por tanto C.

Los números cuyo producto es D también tienen que ser menores que D, por tanto, tienen que ser A y B.

El numerador del cociente que da D tiene que ser mayor que D, por tanto, tiene que ser C.

Nos queda:


$A+B=D$


$AB=D$


$C-X=D$


$C/Y=D$


donde X e Y pueden ser A, B o D.


Así las cosas, las opciones se pueden reducir a las siguientes:


Opción (1): $X=D\,\qquad Y=D$


Opción (2): $X=D\, \qquad Y=A$


Opción (3): $X=A\,\qquad Y=D$


Opción (4): $X=A\,\qquad Y=A$


Opción (5): $X=A\,\qquad Y=B$


Cualquier otra combinación es equivalente a una de estas cinco.


Veamos estas opciones:

Opción (1):

$A+B=D$

$AB=D$

$C-D=D$

$C/D=D$


$C=2D$

$C=D^2$

$D^2=2D$

$D=2$

$C=4$


$A+B=2$

$AB=2$

$B=2-A$

$B=\frac 2 A$

$\frac 2 A=2-A$

$2=2A-A^2$

$A^2-2A+2=0$

$A=\frac{2 \pm \sqrt{4-8}} 2=\frac{2 \pm \sqrt{-4}} 2=\frac{2 \pm 2i} 2= 1 \pm i$

$B=2-A=2-(1 \pm i)=1 \mp i$


$A=1+i$

$B=1-i$

$C=4$

$D=2$


Queda para determinar si A y B son mayores que 1. Se me ocurre que si A es mayor que 1, B no lo puede ser y viceversa.


Opción (2):

$A+B=D$

$AB=D$

$C-D=D$

$C/D=A$


$C-D=D$

$C=2D$


$A=C/D=2D/D=2$

$A=2$


$2+B=2B$

$B=2$


$D=A+B=2+2=4$

$D=4$


$C=2D=8$


$A=2$

$B=2$

$C=8$

$D=4$


Como A y B son iguales, no se cumple la condición de que sean números diferentes.


Opción (3):

$A+B=D$

$AB=D$

$C-A=D$

$C/D=D$


$D=A+B=AB$

$\frac 1 A + \frac 1 B = 1$

$\frac 1 B = 1 - \frac 1 A = \frac {A-1} A$

$B= \frac A {A-1}$


$D=AB=A \frac A {A-1} = \frac {A^2} {A-1}$

$D= \frac {A^2} {A-1}$


$C=D^2$

$C=A+D$

$D^2=A+D$

$D^2-D-A=0$

$(\frac {A^2} {A-1})^2-\frac {A^2} {A-1}-A=0$

$(\frac {A^4} {(A-1)^2}-\frac {A^2} {A-1}-A=0$

$A^4 + A^2(A-1)-A(A-1)^2=0$

$A^4 + A^3 - A^2 - A(A^2-2A+1)=0$

$A^4 + A^3 - A^2 - A^3+2A^2-A=0$

$A^4 +A^2-A=0$

$A^3 +A-1=0$

$A^3 +A=1$

Esta ecuación no tiene solución para A>1, por lo que se descarta esta opción



Opción (4):

$A+B=D$

$AB=D$

$C-A=D$

$C/A=D$

$D=C-A=\frac {A^2} {A-1}$

$C=\frac {A^2} {A-1}+A$

$C=DA= \frac {A^2} {A-1} A =\frac {A^3} {A-1}$

$\frac {A^2} {A-1}+A =\frac {A^3} {A-1}$

$A^2+A(A-1)=A^3$

$A^3-A^2-A^2+A=0$

$A^2-2A+1=0$

$A=\frac {2 \pm \sqrt {4-4}} 2$

$A=1$

A no es mayor que 1, por lo que se descarta esta opción


Opción (5):

$A+B=D$

$AB=D$

$C-A=D$

$C/B=D$


$C=BD$

$BD-A=D$

$BBA-A=AB$

$B^2-1=B$

$B^2-B-1=0$

$B= \frac {1\pm \sqrt{1+4}} 2$

$B= \frac {\sqrt{5} +1} 2$


$BA= B+A$

$\frac {\sqrt{5} +1} 2 A= \frac {\sqrt{5} +1} 2+A$

$(\frac {\sqrt{5} +1} 2-1) A= \frac {\sqrt{5} +1} 2$

$(\frac {\sqrt{5} +1-2} 2) A= \frac {\sqrt{5} +1} 2$

$((\sqrt{5} -1) A= \sqrt{5} +1$

$A= \frac {\sqrt{5} +1} {\sqrt{5} -1}$

$A= \frac {(\sqrt{5} +1)^2} {5 -1} = \frac {5+2\sqrt{5} +1} 4$

$A= \frac {\sqrt{5} +3} 2$


$D=AB=\frac {\sqrt{5} +3} 2 \frac {\sqrt{5} +1} 2= \frac {5+\sqrt{5} +3\sqrt{5}+3} 4$

$D= \sqrt{5} +2$


$C=BD=\frac {\sqrt{5} +1} 2 ( \sqrt{5} +2 )= \frac { 5+2\sqrt{5} \sqrt{5}+2} 2$

$C=\frac {3\sqrt{5} +7} 2$


$A=\frac {\sqrt{5} +3} 2$

$B= \frac {\sqrt{5} +1} 2$

$C=\frac {3\sqrt{5} +7} 2$

$D= \sqrt{5} +2$

Estos cuatro números cumplen todas las condiciones

[Abdulai]

Mi tardía solución:

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Los números elegidos para suma y producto deben ser menores que D , por lo tanto deben ser los mismos, de otro modo no se cumplirían las siguientes condiciones donde uno debe ser mayor que D. También se deduce que el 4to número debe ser el mayor de todos.


De:
$D = A+B$
$D = AB$
$A+B=AB \;\;\longrightarrow\;\; A = \dfrac{B}{B-1} \,,\, D = \dfrac{B^2}{B-1}$


Las otras dos condiciones son equivalentes a estos 4 casos:
$1)\quad C = D+A = DA$

$2)\quad C = D+B = DB$

$3)\quad C = D+A = DB$

$4)\quad C = D+B = DA$

Pero reemplazando A,B y D en cada caso:

$1)\quad D+A - DA = 0 \;\;\longrightarrow\;\; -\dfrac{B}{(B - 1)^2} = 0 \;\;\longrightarrow\;\; B=0\quad$ No es válido.

$2)\quad D+B - DB = 0 \;\;\longrightarrow\;\; B(B-1) = 0 \;\;\longrightarrow\;\; B=[0,1]\quad$ Tampoco

$3)\quad D+A = DB \;\;\longrightarrow\;\; \dfrac{B(1+B-B^2)}{B-1} = 0 \;\;\longrightarrow\;\; B = \dfrac{1+\sqrt5}{2}\quad$ Bingo!
Entonces una solución es:
$B = \dfrac{1+\sqrt5}{2} = 1.618033988$
$A = \dfrac{3+\sqrt5}{2} = 2.618033988$
$D = AB = 2+\sqrt5 = 4.236067977$
$C = DB = \dfrac{7+3\sqrt5}{2} = 6.854101966$

$4) D+B = DA \;\;\longrightarrow\;\; \dfrac{B(B^2 - 3B + 1)}{(B - 1)^2} \;\;\longrightarrow\;\; B = \dfrac{3+\sqrt5}{2}$
Pero esto lleva a la misma solución anterior permutando A y B , por lo tanto hay una sola solución.

[carroza]

Hola. Pongo mi solución. Bonito problema ..

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.... incluso aureo, diría yo.

Voy a empezar con el número áureo, o la razón áurea, $\varphi$. Este es la solución positiva de la ecuación $1 + \varphi = \varphi^2$, y resulta $\varphi= {1 + \sqrt{5} \over 2} = 1.618034$. Este numero define una progresión geométrica $1, \varphi , \varphi^2, \varphi^3, \dots$, que es análoga a serie de Fibonacci, en el sentido de que la suma de dos números consecutivos de la progresión nos dan el siguente: $\varphi^n + \varphi^{n+1} = \varphi^{n+2}$.

Bueno, conociendo esta progresión, no es dificil encontrar una solución al problema propuesto. Consideremos los 4 numeros $\varphi , \varphi^2, \varphi^3, \varphi^4$.

Podemos ver que $\varphi^3$ es la suma de dos números $( \varphi + \varphi^2 )$, el producto de dos números $( \varphi \times \varphi^2 )$, la diferencia de dos números $( \varphi^4 - \varphi^2 )$, y el cociente de dos números $( \varphi^4 / \varphi )$.

Bueno, ahora vamos a ver que esta solución es única (siguiendo el razonamiento que yo hice, antes de darme cuenta que estaba con números aureos).

Lo primero es darse cuenta que el numero D citado, es el tercero en la serie de numeros A,B,C,D, puestos por orden. Eso es porque tiene que ser mayor que otros dos, al ser el resultado de su suma o su producto, y tiene que ser menor que otro, al ser el resultado de un cociente y una diferencia. Entoces, podemos ponerlos, por orden, en la secuencia A,B,D,C.

Ahora, vamos a obtener los valores de A y B, supuesto que conocemos el valor de D. Como solo hay dos numeros menores que D, solo hay una posibilidad para la suma (A+B)=D, y una posibilidad para el producto, AB = D. Sabiendo la suma y el producto de dos numeros, podemos encontrar dichos numeros resolviendo la ecuación $x^2 - Sx + P = 0$.

Aplicando esto a nuestro caso, encontramos que el menor, $A = {D \over 2} - \sqrt{{D^2 \over 4} - D}$ y el mayor $B = {D \over 2} + \sqrt{{D^2 \over 4} - D}$.

Ahora ponemos las condiciones siguientes: D debe ser el cociente de dos números, con lo que el numerador debe ser C, y el denominador A o B. Por otro lado, D debe ser la diferencia de dos numeros. El minuendo debe ser C, y el sustrayendo debe ser A - B. Sin embargo, podemos darnos cuenta de que, si dividimos C por un numero mayor que uno, el resultado es siempre inferior a si le restamos a C ese mismo numero. Eso nos lleva a que la unica posibilidad es $D = {C \over A} = C-B$. Es decir, dividimos por el menor, A, y restamos el mayor B.

Esto nos lleva a la ecuación C = AD = B+D, o explicitamente, $D \left( {D \over 2} - \sqrt{{D^2 \over 4} - D} \right) = D +\left( {D \over 2} + \sqrt{{D^2 \over 4} - D} \right)$.
Esta ecuación es laboriosa, pero sencilla, y su unica solución positiva es $D = 2 + \sqrt{5}$.

Con eso, la secuencia (A, B, D, C), viene dada por $({1 \over 2} + {\sqrt{5} \over 2}, {3 \over 2} + {\sqrt{5} \over 2}, 2 + \sqrt{5}, {7 \over 2} + {3 \sqrt{5} \over 2} )$, que es precisamente la secuencia de potencias de la razón aurea $\varphi , \varphi^2, \varphi^3, \varphi^4$.

Saludos

[javisot20]

"en el sentido de que la suma de dos números consecutivos de la progresión nos dan el siguente".
Ahora entiendo que una vez haciendo cosas con φ obtuviese,

φ^n - φ^n-1 - φ^n-2 = 0

Aparte de resolver el problema me has resuelto una duda que tenía hace mucho, gracias Carroza.