Oscilador con rozamiento

[carroza]

Hola.

Os propongo un problemita, inspirado por una pregunta que salió en el foro.

Consideramos una masa M, colocada sobre una superficie horizontal con un coeficiente de rozamiento $\eta$ (el mismo para el rozamiento estático y dinámico). Colocamos la masa unida a un resorte, de constante elástica K, y lo desplazamos del equilibrio, comprimiendo el resorte una longitud $x_0$. La masa se empieza a mover, impulsada por la fuerza elástica, y estira el resorte una longitud $x_1$ antes de detenerse. De nuevo se mueve, en la dirección contraria, hasta comprimir el resorte una longitud $x_2$, y así sucedivamente

- Cuantas oscilaciones realiza la masa, antes de detenerse?

- Cuanto tiempo transcurre hasta que la masa se detiene por completo?


Saludos

[Abdulai]

Va mi intento:

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Considero $x_0>0$
Inicialmente la energía potencial del resorte es $\frac{1}{2}kx_0^2$
y para moverse a partir del reposo se necesita que $kx>\mu mg$ (*)

Al soltarla se moverá hacia la izquierda hasta detenerse (para invertir la velocidad) en

$x_1\quad/\quad \frac{1}{2}kx_0^2-\frac{1}{2}kx_1^2 = \mu mg (x_0-x_1)$

Es decir, hasta una posición donde la diferencia de energía potencial sea lo que se disipó por rozamiento.

Entonces

$\frac{1}{2}kx_0^2-\frac{1}{2}kx_1^2 = \frac{1}{2}k\underbrace{(x_0^2-x_1^2)}_{(x_0+x_1)(x_0-x_1)} = \mu mg (x_0-x_1)$

$\;\;\longrightarrow\;\; x_0+x_1 = 2 \dfrac{\mu mg}{k} = 2 x_{min}$

donde $x_{min}$ es la mínima compresión/estiramiento que necesita el resorte para vencer el rozamiento (*)

Resulta entonces:

$x_1 = -x_0 + 2x_{min}$
$x_2 = -x_1 - 2x_{min}$ ; pues en esta dirección cambia el signo de la fuerza de roce.
$x_3 = -x_2 + 2x_{min}$
$x_4 = -x_3 - 2x_{min}$ ; ídem
$\cdots$
$x_n = (-1)^n\left(x_0 - 2nx_{min}\right)$ Siendo $n$ el número de semiciclos.


Se detendrá cuando $|x_n|\le x_{min}$ pues el resorte no tendrá fuerza para mover la masa.

$\;\;\longrightarrow\;\; x_0 - 2nx_{min} \le x_{min} \;\;\longrightarrow\;\;n \le \dfrac{x-x_{min}}{2x_{min}}$



Respecto al tiempo transcurrido, sabemos que la frecuencia angular de este oscilador es $\omega=\displaystyle\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ y que este tipo de rozamiento solamente nos desplaza alternativamente el centro de la oscilación. Esto sale de analizar la solución de la ecuación diferencial $mx''+kx\pm\mu mg = 0$

Por lo tanto, $n$ semiciclos demorarán $T = \dfrac{n\pi}{\omega}$

[carroza]

Gracias, por participar, Abdulai.

Casi perfecto

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Sólo una objeción. De tu expresión del numero de oscilaciones, que obviamente debe ser entero, no queda muy claro qué ocurre cuando el desplazamiento inicial es un pelín más grande que el desplazamiento mínimo. ¿Hay una oscilacióin o cero oscilaciones?

Muy bien el argumento para ver que el periodo de oscilación es el mismo que si no hubiera rozamiento. Este es un punto nada obvio.

Recomendaría este ejercicio, que no es complicado, pero tampoco trivial, para chequear que entendemos el rozamiento.

saludos

[Abdulai]

Acertada la objeción,

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Todo se deduce de la ec. diferencial que gobierna el movimiento $Ax'' +Bx+C = Ax'' +B(x+C/B) =A(x+C/B)'' +B(x+C/B) =0$
Si ya conocemos sus soluciones y propiedades nos ahorramos una parte considerable, si no, nos espera un trabajito...

- Cuando el desplazamiento es apenas mas grande que el mínimo la masa, el movimiento se inicia y completa un semiciclo "cosenoidal desplazado" como manda la ED, pero puede que no alcance a comprimir/estirar el resorte nuevamente. En ese caso dependemos de qué consideramos un semiciclo, si cuando se pasa de la posición de equilibrio o en base al "coseno" de la ED.

Algo asi:

[Richard R Richard]

Ja , esta vez no fui primero en andar cerca, pero aquí voy buscando otra mancha negra para la pantera negra.

He roto el par de hojas de autentico desastre que tenia preparadas, para preguntar

En el planteo de Abdulai

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

No entiendo,, o no veo bien como relaciona la compresión mínima, con la energía potencial del resorte, digamos que $x_1$ puede o no ser positiva en la igualación
.
Cuando no me equivoque en las conclusiones a las que arribo hare mi planteo.

El tema es que la si la fuerza del resorte , es mayor que el rozamiento , entonces habrá desplazamiento, e iniciará el siguiente semiperiodo, pero frenara cuando el rozamiento agote la energía cinetica, que será igual al cambio de la potencial del resorte, haya o no pasado el punto de equilibrio o longitud natural. Es decir puede terminar el movimiento sin haberse logrado una semioscilación entera, o bien haberse logrado muchas oscilaciones y acabarse luego de una fracción de recorrido de la enésima oscilación.

[carroza]

Hola.

Completo la respuesta, pero por favor, Richard, sigue haciendolo por tu cuenta

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

A mi me resulta util, siguiendo la notación de Abdulai, considerar los desplazamientos a un lado y al otro del equilibrio, en valor absoluto.

En ese caso, usando el valor como Abdulai $x_{min} = \mu m g / k$, tenemos la secuencia $x_0, x_1 = x_0 - 2 x_{min}, x_2 = x_1 - 2 x_{min}, \dots$

Esta serie continúa así, con semi oscilaciones a un lado y a otro del punto de equilibrio, hasta que $x_n < 2 x_{min}$. En este caso, hay dos posibilidades:

a) Si $x_n < x_{min}$, entonces la masa se para, ya que la fuerza elástica es inferior a la fuerza de rozamiento.

b) Si $2 x_{min} > x_n > x_{min}$, entonces la masa se mueve, pero la fuerza de rozamiento disipa su energía antes de que atraviese el punto de equilibrio. Su posición final toma el valor $x_f = 2 x_{min} - x_n$, y se detiene al mismo lado del punto de equilibrio que estuviera $x_n$.

El tema curioso, y nada trivial, es que todas estas semioscilaciones, incluidas la ultima en que $x_n, x_f$ no pasan por el punto de equilibrio, emplean exactamente el mismo tiempo $T = \pi \sqrt{m \over k}$, que es el semiperiodo del oscilador libre de rozamiento.

Con todo esto, el número se semioscilaciones resulta $N = \left[ {x_0 - x_{min} \over 2 x_{min} } \right] + 1$, donde el corchete indica la parte entera, tomada por defecto, y el tiempo que transcurre es
$N \pi \sqrt{m \over k}$,

Abdulai, si te animas, podrías representar cómo evoluciona la energía del oscilador en funcion de la posición, conforme este oscila a izquierda y derecha. Esto completaría tu gráfica de la evolución temporal.

saludos

[Richard R Richard]

Hola

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

yo entiendo que en el momento de detenerse en el enésimo recorrido

$\dfrac{1}{2}kx_{n-1}^2-\dfrac{1}{2}k x_n^2=\mu mg|x_{n-1}-x_n|$

como $|x_{n-1}|>|x_{n}|$

podemos escribir

$|x_{n-1}|\pm|x_{n}|=\dfrac{2\mu mg}{k}$

que son dos situaciones posibles dado que en un sistema de referencia cualquiera

$x_{n}=x'_{n}-x'_{ln}$

$x_{n-1}=x'_{n-1}-x'_{ln}$

donde x'_{ln} es la medida de la posición de equilibrio o natural del resorte

Pero sigo sin entender porque asignan ese valor a $x_{min}$, la amplitud perdida en cada semiciclo no es constante.

[Abdulai]

,,,
Abdulai, si te animas, podrías representar cómo evoluciona la energía del oscilador en funcion de la posición, conforme este oscila a izquierda y derecha. Esto completaría tu gráfica de la evolución temporal.

Hago un intento aunque la claridad no es mi fuerte, no me convence del todo porque hubiera sido mejor una animación. Pero no tengo con qué hacerla fácilmente.

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Si no hubiese rozamiento, tendríamos una situación de este tipo:

Donde la parábola corresponde a la energía potencial del resorte, la recta horizontal $E_i$ a la energía inicial y la diferencia de ordenadas $E_c$ a la energía cinética de la masa que va moviéndose entre $x_0$ y $x_1=-x_0$


Pero como debido al rozamiento perdemos energía, $E_i$ tendrá una cierta pendiente (igual a la fuerza de roce) y la masa se desplazará hasta el punto de corte entre $E_i-W_r$ y $E_p$, ya que de continuar habría problemas con los físicos del grupo debido a la energía cinética negativa



En ese punto, mientras la fuerza del resorte, que es igual a la pendiente de la parábola, sea mayor que la de la recta $E_i-W_r$ habrá inversión de sentido y por consiguientedel sentido de la fuerza de roce. Evolucionando hasta cortar nuevamente la parábola y asi sucesivamente hasta detenerse cuando la pendiente de la recta es mayor que la de la parábola (las fuerzas de roce y del resorte)

[carroza]

Hago un intento aunque la claridad no es mi fuerte, no me convence del todo porque hubiera sido mejor una animación. Pero no tengo con qué hacerla fácilmente.

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Si no hubiese rozamiento, tendríamos una situación de este tipo:

Donde la parábola corresponde a la energía potencial del resorte, la recta horizontal $E_i$ a la energía inicial y la diferencia de ordenadas $E_c$ a la energía cinética de la masa que va moviéndose entre $x_0$ y $x_1=-x_0$


Pero como debido al rozamiento perdemos energía, $E_i$ tendrá una cierta pendiente (igual a la fuerza de roce) y la masa se desplazará hasta el punto de corte entre $E_i-W_r$ y $E_p$, ya que de continuar habría problemas con los físicos del grupo debido a la energía cinética negativa



En ese punto, mientras la fuerza del resorte, que es igual a la pendiente de la parábola, sea mayor que la de la recta $E_i-W_r$ habrá inversión de sentido y por consiguientedel sentido de la fuerza de roce. Evolucionando hasta cortar nuevamente la parábola y asi sucesivamente hasta detenerse cuando la pendiente de la recta es mayor que la de la parábola (las fuerzas de roce y del resorte)

Perfecto, Abdulai. Muy currado.