Divulgación Cinco mujeres, sus pesos y la balanza (¿faltan datos, o no faltan?)

[Richard R Richard]

Este problema aparece en el libro de Adrián Paenza Matemática...¿estás ahí? episodio 100

Usted tiene una balanza y cinco mujeres. Las mujeres se pesaron de “a dos”, en pareja, en todas las combinaciones posibles, y los resultados que se obtuvieron en los diez casos fueron los siguientes (de paso, piense porqué son diez las pesadas posibles):

105, 108, 110, 111, 113, 115, 116, 118, 119 y 121

¿Cuál es el peso de cada una de las mujeres?

Eso es todo. Ahora, lo dejo a usted. Eso sí: si en algún momento
piensa que faltan datos, créame que no es así.

PD No es necesario, pero supongamos que todas las mujeres pesan
distinto.

Saludos

[Abdulai]

Este problema aparece en el libro de Adrián Paenza Matemática...¿estás ahí? episodio 100

Usted tiene una balanza y cinco mujeres. Las mujeres se pesaron de “a dos”, en pareja, en todas las combinaciones posibles, y los resultados que se obtuvieron en los diez casos fueron los siguientes (de paso, piense porqué son diez las pesadas posibles):

105, 108, 110, 111, 113, 115, 116, 118, 119 y 121

¿Cuál es el peso de cada una de las mujeres?

Con los tiempos orwellianos que corren, Paenza reescribiría el problema con esferas

... Eso sí: si en algún momento
piensa que faltan datos, créame que no es así.

Inicialmente me pareció que sobraban. Son 5 incógnitas --> Necesitaría solo 5 ecuaciones.
Pero como no se conoce a quiénes corresponde cada suma se necesitan ecuaciones extra.

PD No es necesario, pero supongamos que todas las mujeres pesan
distinto.

Si dos o mas mujeres pesaran igual habría sumas iguales. Como no las hay --> Todas pesan distinto.

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Designemos a los pesos de las mujeres $a,b,c,d,e$ donde $a<b<c<d<e$

Necesariamente la suma menor/mayor debe corresponder a los pesos menores/mayores, así como la siguiente con el siguiente peso.
$a+b=105$
$a+c=108$
$c+e=119$
$d+e=121$

Con esto podemos hallar dos sumas mas:
$(a+b)-(a+c)+(c+e)=b+e=105-108+119=116$
$(d+e)-(c+e)+(a+c)=a+d=121-119+108=110$

Ahora notemos que $(a+c)+(a+d)=2a+(c+d)=108+110=218$
Esto significa que $c+d)$ debe ser par, y solo queda una sola posibilidad: $c+d=118$

Ahora hacemos: $(c+d)-(c+e)+(d+e)=2d=118-119+121=120\;\;\longrightarrow\;\;d=60$
Por lo tanto: $e=121-d=61$ , $c=119-e=58$ , $a=108-c=50$ y $b=105-a=55$

O sea: $[a,b,c,d,e]=[50,55,58,60,61]$
que verifican las tres sumas restantes ($111,113,115$) de las que no se usó su valor sino que fueran impares.

Ah! No hice trampa, no busqué como lo resolvió Paenza

[Richard R Richard]

Hola ,

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Efectivamente es la solución correcta!
Cuando lo resolví antes de postearlo,terminé haciendo un prueba y error de pocas alternativas que mentalmente se me mezclaban, había visto varias de las cosas que informas, ej las suma de los mayores y la suma de los menores debían componer las pesadas mayores y la menores respectivamente y deduje que la distancia entre el máximo y el mínimo era 11.
como se trataba de sumas me interese en averiguar cuantos pesos pares e impares había , sabiendo que

• si todos eran pares , todos las pesadas mostradas necesariamente tenían que que ser pares.
• si todos eran impares también todas las pesadas mostradas tenían que ser pares.
• si fuesen 1 solo impar o cuatro impares , pues habría 4 pesadas impares
• al haber 6 pesadas impares , era una combinación de 3 y 2 ó 2 y 3 de cada.

con esta información trate de ver cuales eran las posibles combinaciones pares e impares para los mayores y para los menores, cuando halle la coincidencia necesaria para el peso intermedio quedo resuelto.

Saludos

[Abdulai]

Inicialmente lo pensé como un sistema de ecuaciones, donde 4 ecuaciones salían de las dos sumas mínimas/máxinas.
Faltaba una 5ta que no podía ser cualquiera porque si no el determinante es 0, elegida una, con algunas sumas las soluciones no eran enteras y con las otras solo una verificaba los datos.

Pero este procedimiento, engorroso a mano y lo menos indicado para un libro de divulgación no podía ser, debía haber algo mas sencillo.

Saludos.

[carroza]

Hola.

Me alegro que se active el foro de problemas de ingenio. Ahi va mi solución (que sería extrapolable a un numero arbitrario de mujeres, o de hombres, o de personas de género no binario).

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Ordenemos a las mujeres por peso. Tendriamos $p_1, p_2, p_3, p_4, p_5$.

Sabemos que el peso doble más bajo, 105, debe ser $105=p_1+p_2$. El siguiente, 108, debe ser $108=p_1+p_3$, ya que cualquier otra combinación tiene un peso más alto. Así que deducimos $3=p_3-p_2$.

Hacemos lo propio con los pesos más altos: $121=p_5+p_4$. El siguiente, 119, debe ser $119=p_5+p_3$, ya que cualquier otra combinación tiene un peso más abajo. Así que deducimos $2=p_4-p_3$, con lo que $5=p_4-p_2$,

El tercer peso por abajo que no tenemos asignado, 110, podría ser $110=p_2+p_3$ o bien $110=p_1+p_4$, ya que cualquier otra combinacion tiene un peso más alto que alguno de estos dos.

Pero si fuera $110=p_2+p_3$, entondes debería haber una combinacion $112=p_2+p_4$, y no la hay. Por tanto, $110=p_1+p_4$,

Eso hace que el más bajo que queda, $111=p_2+p_3$, con lo que ya, como tenemos todas las combinaciomes de sumas de $p_1, p_2, p_3$, podemos deducir
$p_1=50, p_2=55, p_3 =58$, y a partir de ahi, sale facilmente $p_4= 60, p_5=61$.

saludos

[Al2000]

Notar que el valor central está definido ya que

$$4 (p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5) = 1136$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Abdulai]

¡Buena observación!

[carroza]

Sería interesante buscar un algoritmo efectivo y elegante para applicarlo a n mujeres, conociendo los n(n-1)/2 pesos por pares. Por lo que indica Al, la suma de todos los pesos de los pares determina $(n-1)\sum_i p_i$. Por lo que hemos comentado, es facil determinar $p_3-p_2$ y $p_{n-1}-p_{n-2}$.

La cosa es determinar el resto de las diferencias. O bien, usar la indicción para reducir el problema de n mujeres a n-1 mujeres.

Se os ocurre algo?

[javisot20]

Tenemos 5 pesas "individuales" 1<2<3<4<5, emparejándolas obtenemos nuevas pesas "compuestas".


(1+2) - (2+1) - (3+1) - (4+1) - (5+1)
(1+3) - (2+3) - (3+2) - (4+2) - (5+2)
(1+4) - (2+4) - (3+4) - (4+3) - (5+3)
(1+5) - (2+5) - (3+5) - (4+5) - (5+4)


Cada () es una pesa compuesta nueva pero no todas ofrecen distintos pesos, por ejemplo, (2+3)=(3+2)=(1+4)=(4+1)

(2+3)=(3+2) son simétricas entre sí, pero no siendo simétricas respecto de (1+4)=(4+1) aún así los 4 pesos compuestos representan el mismo valor.


Entonces, a partir de 5 pesas individuales diferentes puede generarse:

- pesas compuestas totales - 20

-pesas compuestas no simétricas- 10

-pesas compuestas de diferente peso - 7



Al probar con distintas cantidades de pesas observo que n(n-1)/2 nos indica el número de pesas compuestas no simétricas, por ejemplo, para 6 pesas individuales diferentes esta relación nos dice que habrá 15 pesas compuestas no simétricas, pero pesas compuestas diferentes solo habrá 9.


¿Para la extensión a n pesas individuales diferentes hablamos que no puede haber pesos compuestos repetidos o si ?

Osea, ¿ en el caso de n pesas asumimos que además de p1<p2<p3<p4..... tambien se cumple que pc1<pc2<pc3<pc4.... no habiendo pc^s repetidos ?

[Richard R Richard]

Hola Gracias a todos por participar!!!!

Para extender a n personas se me ocurre

• supongamos que llamamos en orden ascendente de magnitud a las pesadas con mayúsculas y a los pesos individuales con subíndices crecientes , para n individuos se presenta el problema de asignación.

Por ejemplo Sabemos que

$A=p_1+p_2$

y que

$B=p_1+p_3$

pero el problema viene al determinar C o D pues bien puede ser que

$C_1=p_1+p_4 ? o C_2=p_2+p_3 ?$
o
$D_1=p_2+p_3 ?o D_2=p_1+p_4 ?$

por lo que un algoritmo deberá contemplar las dos posibilidades... Estoy viendo como salvar ese inconveniente haciendo uso de que

$2p_3=B-A+C_2$

$2p_3=(p_1+p_3)-(p_1+p_2)+(p_2+p_3)$

lo mismo se puede trasladar a los indices al final para los pesos mayores buscando relaciones como por ejemplo

$2p_{n-1}=(p_n+p_{n-1})-(p_{n}-p_{n-2})+(p_{n-1}+p_{n-2})$

Cualitativamente si A y B son ambos pares o ambos impares entonces $C_2$debe ser par obligado , y si solo 1 de ambos es par entonces$C_2$ debe ser impar.

por lo que se puede determinar si es C o D el que cumple con esta regla es decir si $C_1=C$ entonces $C_2 =D$ o viceversa , pero existe la posibilidad que tanto C y D sean ambos pares o impares o también iguales.... por lo que es una táctica que permite resolver solo algunos casos. o quizá no se como profundizarla.

• Por otro lado el incremento de n en 1 sola unidad incrementa la cantidad de pesadas en n ecuaciones pero solo aporta 1 incógnita, por lo que si para n personas tenemos solución para n+1 también la habrá. solo hay que adivinar el orden de las pesadas con sus sumandos, que no lo veo fácil, como explique antes
• la repetición de un peso en los individuos, genera (n-2) conjuntos de resultados repetido de a 2., mas repetidos mas pesadas iguales aparecen.

otros ejemplo pero siempre sabiendo cual es la composición de los 3 primeros en orden $A+B-C=2p_1$ pero debo estar seguro que la tercera pesada es seguro $C_2$ y no $C_1$

Saludos

Pd Editado

He pensado que nada impide que $p_1+p_i< p_2+p_3$ para los $i\geq4$ que se me ocurran por lo que un algoritmo es mas difícil de implementar aun, solo veo uno que haga prueba y error

[javisot20]

- La suma de las 2 pesas individuales más pequeñas es igual a la pesa compuesta más pequeña

- La suma de las 2 pesas individuales más grandes es igual a la pesa compuesta más grande


- ¿ La suma de las 2 pesas individuales intermedias es igual a la pesa compuesta intermedia ?



Me encuentro con problemas al comprobar la última afirmación en distintos n, problemas con cantidades pares e impares, no tengo muy claro ahora mismo que pueda construirse una solución para n pesas, o por lo menos no con absoluta efectividad.

[carroza]

Sería interesante buscar un algoritmo efectivo y elegante para applicarlo a n mujeres, conociendo los n(n-1)/2 pesos por pares. Por lo que indica Al, la suma de todos los pesos de los pares determina $(n-1)\sum_i p_i$. Por lo que hemos comentado, es facil determinar $p_3-p_2$ y $p_{n-1}-p_{n-2}$.

La cosa es determinar el resto de las diferencias. O bien, usar la indicción para reducir el problema de n mujeres a n-1 mujeres.

Se os ocurre algo?

Hola. Comparto mi idea para generalizar el problema. Partimos de n mujeres, de las que conocemos los $m = n(n-1)/2$ pesos por pares, que representamos con las letras mayusculas $P_i$, donde $i = 1 \dots m$. Estos pesos por pares están ordenados, y queremos obtener los pesos individuales que representamos con las letras minusculas $p_j$, donde $j = 1 \dots n$, que también estan ordenados. No hay problemas con que algun peso se repita.

Es facil ver que $P_2 - P_1 = p_3 -p_2$, y que $P_m-P_{m-1} = p_{n-1}- p_{n-2}$.

Ahora, como conocemos estas diferencias entre los pesos individuales, podemos deducir que debe haber al menos (n-3) pesos de pares que difieran exactamente en $p_3-p_2$ de otros (n-3) pesos de pares. Estas son las parejas $(p_4+p_3) , (p_4+ p_2)$ hasta la pareja $(p_n+p_3) , (p_n+ p_2)$. Llamemos a estas parejas las obtenidas por el criterio A

Por otro lado, deben haber otras (n-3) pesos de pares que difieran exactamente en $p_{n-1}- p_{n-2}$ de otros (n-3) pesos de pares. Estas son las parejas $(p_1+p_{n-2}) , (p_1+ p_{n-1})$ hasta la pareja $(p_{n-3}+p_{n-2}) , (p_{n-3}+ p_{n-1})$. Llamemos a estas parejas las obteidas por el criterio B

Una vez que identifiquemos los candidatos a estas parejas, podemos deducir otras diferencias de pesos. Por ejemplo, si identificamos la pareja $(p_4+p_3) , (p_4+ p_2)$, que son las de peso más bajo que cumplen el criterio A, y las comparamos con la pareja $(p_4+p_{n-2}) , (p_4+ p_{n-1})$, que es la cuarta que cumple el criterio B, podemos deducir la diferencia
$p_{n-2}-p_3$. Aplicando este procedimiento a parejas correlativas que cumplan los criterios A y B, (la segunda de A y la quinta de B), etc debe obtenerse la misma diferencia $p_{n-2}-p_3$.
Esta redundancia permite excluir parejas que, por motivos aleatorios, cumplan los criterios A o B.

Una vez identificadas las parejas $(p_4+ p_2), (p_5+ p_2), \dots (p_n+ p_2),$ que son las que cumplen el criterio A, excluidos casos aleatorios, y las parejas $(p_1+ p_{n-1}), (p_2+ p_{n-1}), \dots (p_{n-3}+ p_{n-1}),$ que son las que cumplen el criterio B, podemos deducir todas las diferencias de pesos, y resolver el problema.

De hecho, nos bastaría considerar los dos primeros casos que cumplen el criterio B, de los que deducimos $(p_1+ p_{n-1}), (p_2+ p_{n-1})$, y junto con $P_1 = p_1 +p_2$,
obtenemos $p_1, p_2, p_{n-1}$ y tiramos del hilo.

Un saludo