Rutas entre ciudades

[Jokin]

Tres ciudades A, B, C están conectadas entre sí por, al menos, una ruta directa y una indirecta. Las rutas entre A y B, incluyendo las que pasan por C, son 14 y las rutas entre B y C, incluyendo las que pasan porA son 11
¿Qué número total de rutas hay entre A y C ?

[Jokin]

Después de un tiempo sin respuesta adjunto solución oculta. Si necesitáis aclaraciones estoy a vuestra disposición.

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Son 10 rutas. Si a son las rutas directa entre A y B, b entreB y C y c entre A y C:
a+c*b=14
b+a*c=11 y sumando
(a+b)(c+1)=25
Como c+1 tiene que ser divisor de 25, c tiene que ser 4 y de aquí a=2, b=3 y c+a*b=10

[Richard R Richard]

La verdad no he entendido la consigna en su momento, y ahora tampoco la solución. Si entendi el sistema de ecuaciones y su solución, pero no entiendo la relación al problema.

[Jokin]

Entre las ciudades A y B podría haber,por ejemplo, 2 formas diferentes, por la costa o por el interior, de ir directamente a B sin pasar por la ciudad C. Pero podría haber además otras formas de ir de A a B pasando por C. Si hay 4 rutas de A a C y 3 de C a B y las combinamos entre ellas tendremos 12 formas posibles de ir de A a B pasando por C. Y sumando las 2 directas el total será 14. Espero que esta aclaración te sirva. Saludos.

[carroza]

Hola.

Va mi solucion, algo tardía:

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llamemos c a los caminos directos entre A y B, b a los caminos drectos entre A y C y a a los caminos directos entre B y C.

Los caminos indirectos entre A y B, que pasan por C, son $a \cdot b$ ya que son todas las parejas de caminos directos que salen de C. Analogamente, los caminos indirectos entre A y C, que pasan por B, son $a \cdot c$ , y los caminos indirectos entre C y B, que pasan por A, son $c \cdot b$.

Asi que a partir de los datos que nos dan, las ecuaciones que tenemos son
$<br /> c + a \cdot b = 14 \quad ; a + b \cdot c = 11.<br />$
Tenemos dos ecuaciones con tres incognitas, pero sabemos que son ecuaciones con soluciones enteras y positivas para a, b, c. Lo que se llaman ecuaciones diofánticas. Una solucion, que imagino unica, es $a=3, b=4, c=2$.

Con ello el numero total de caminos entre A y C es $b + a \cdot c = 10$

saludos

[Jokin]

Hola carroza. Tu solución es correcta. Si miras la solución que he publicado creo que te gustará la forma en que está resuelto con solución única el tema de las 3 incógnitas. Saludos

[carroza]

Ok. Es bonita la solucion que pones. No obstante, su validez parece que depende del hecho de que 14+11 tiene un unico factor primo no trivial. Yo lo que hecho explorando las posibnes soluciones de la ecuación diofántica, que no son tantas.

Te sugiero una variante:

Tres ciudades A, B, C están conectadas entre sí por, al menos, una ruta directa y una indirecta. Laas rutas entre B y C, incluyendo las que pasan por A son 11.
¿Qué número total de rutas hay entre A y C, y que numero toral de rutas hay entre A y B, sabiendo que este numero total de rutas son diferentes en los tres casos ?