Escalera

[carroza]

Hola.

Un problemita de bachillerato, para amenizaros el verano. En concreto, del Bachillerato Internacional, que algunos habréis conocido, disfrutado o sufrido.

Tenemos una escalera de 10 metros, que se apoya en el suelo y en una pared, de forma que toca un cubo de un metro de lado, situado tal como se indica en la figura. Encontrar los valores de la distancia x a la que se apoya la escalera x en la pared, e y en la que se apoya en el suelo.

Tened en cuenta que hay que resolver el problema completamente, es decir, dar los valores numéricos de x e y, utilizando los recursos de un alumno de bachillerato. Es decir, no vale dar una ecuación, y decir que se resuelve por métodos numéricos.

Suerte. Es más complicado de los que parece.

[Alriga]

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Semejanza de triángulos:

$\dfrac{x-1}1=\dfrac 1{y-1}$

Teorema de Pitágoras

$x^2+y^2=10^2$

Operando:

$y^4-2y^3-98y^2+200y-100=0$

Pero no se me ocurre una idea feliz para resolver la ecuación de 4º grado de forma sencilla

Naturalmente sí obtengo la solución por métodos numéricos, obtengo las parejas de soluciones:

$x=9.93799 \qquad y=1.11188$

$x=1.11188 \qquad y=9.93799$

Seguiré pensando.

[Richard R Richard]

Hola

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las dos ecuaciones que se cumplen son

$x^2+y^2=10^2$
$xy=x+y$

hay un par de soluciones en cada cuadrante de plano xy nos interesa la del primero

$x\cong1.11188$
$y\cong9.93799$

o

$x\cong9.93799$
$y\cong1.11188$

Saludos

[Abdulai]

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$x^2+y^2=L^2$
$x+y=xy\;\;\longrightarrow\;\;x^2+y^2+2xy=(xy)^2\;\;\longrightarrow\;\;L^2+2(xy)=(xy)^2$

Llamando $u=xy\;\;\longrightarrow\;\; u = 1+\displaystyle\sqrt{1+L^2}$

De la 2da ecuación obtenemos $y=u-x$
$\therefore\quad x^2+(u-x)^2= 2x^2 - 2ux + u^2 - L^2 = 0 \;\;\longrightarrow\;\;x= \dfrac{1}{2}\left(u\pm\displaystyle\sqrt{2L^2-u^2}\right)$
Dada la simetría de las ecuaciónes, las raíces son $x$ e $y$

Para $L=10$ resulta:
$u=1+\displaystyle\sqrt{101}$
y $x,y = \dfrac{1}{2}\left(u\pm\displaystyle\sqrt{200-u^2}\right) \approx \; 9.937993689 , 1.111881931$

[carroza]

Gracias Alriga , Richard R Richard y Abdulai por participar. Todos dais los valores correctos, pero Abdulai presenta la solución explícita al alcance de un estudiante (muy listo) de bachillerato.

Pongo mi solución inicial

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Por semejanza de triangulos, tenemos ${ x-1 \over 1} = {1 \over y-1} = z$. Utilizo la variable z para plantear las ecuaciones.

Con ello, me queda $x= z+1 ; x = 1 + {1\over z}$, y llamando $L$ a la longitud de la escalera, tenemos
$(z+1)^2 + (1 + {1 \over z})^2 = L^2$

Desarrollando, multiplicando por $z^2$ y reordenando, tenemos una ecuación de cuarto orden:

$z^4 + 2 z^3 + (2 - L^2)z^2 + 2 z + 1 = 0$

Esta ecuación es similar a la que encuentra Alriga, solo que en términos de la variable $z = x-1$. Qhora está el problema: Cómo resuelve un estudiante de bachillerato esta ecuación? Ruffini no funciona, ya que las raices no son enteras. El truco es el siguiente: Expresar la ecuación de cuaro orden como el producto de dos ecuaciones de segundo orden. Y estas no son arbitrarias. Para ello, hay que tener en cuenta que, por la forma inicial de la ecuación, si $z=a$ es una solución de la ecuación, entonces $z= 1/a$ también es una solución. Esto se ve claramente a partir de la figura, si la invertimos con respecto a la diagonal. Pero ello hace que, a partir de la relación notable $z^2 - S z + P= 0$, que nos da la ecuación de sergundo orden a partir de la suma S y el producto P de las raices. Como las raices son $z=a$ y $z= 1/a$, su producto es 1. Por ello, podemos expresar

$z^4 + 2 z^3 + (2 - L^2)z^2 + 2 z + 1 = \left( z^2 - S z + 1 \right) \left (A z^2 + B z + C \right) = 0$

Igualando términos, obtenemos inmediatamente que $A = C = 1$, y por otro lado, $B - S = 2 \quad; BS = L^2$, de donde sacamos $S = \sqrt{L^2 + 1}- 1$.

conociendo la suma $S = \sqrt{L^2 + 1}- 1$ y el producto P=1 de las soluciones, es facil obtener las soluciones para Z, resolviendo ñas exuaciones
$z^2 - S z + 1= 0$, que dan valores positivos,

Tambien pueden obtener las otras dos soluciones que corresponden a $A z^2 + B z + C = 0$ que dan soluciones negativas, que tanbiém tienen su signficado geometrico, pero nno corresponden a una escalera apoyada en una pared.

Ahora, a la vista de la solucion de Abdulai, se me ocurre otra solución, bastante más simple que la mía y un poco más simple que la de Abdulai:

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A partir de ${ x-1 \over 1} = {1 \over y-1}$, se deduce que $xy = x+y$. No me di cuenta de esto al hacer mi solucion anterior.

Por tanto, como bien habeis indicado, tenemos que resolber el sistema de ecuaciones $x^2 + y^2 = L^2 \quad ; \quad xy = x+y$.

Si considero la primera ecuación más dos veces la segunda, encuentro:
$x^2 + y^2 + 2 xy = L^2 + 2 (x+y)$.
Esto se puede expresar como $(x+y)^2 - 2 (x+y) - L^2 = 0$. que es una acuación de segungo grado que me da los valores de $x+y$. Hay un valor positivo que es el físico, y un valor negativo, interesante geométricamente pero en el que no voy a entrar.

Por otro lado, si considero la primera ecuación menos dos veces la segunda, encuentro $x^2 + y^2 - 2 xy = L^2 - 2 (x+y)$.
Esto me da $|x-y| = \sqrt{ L^2 - 2 (x+y)}$.

A partir del valor positivo de $x+y$, y del valor de $|x-y|$, que permite dos valores con signos opuestos de $(x-y)$, podemos obtener los valores que habeis derivado

Un saludo y gracias por jugar