Divulgación Esfera taladrada

[Jaime Rudas]

A una esfera de madera se le taladra un agujero diametralmente de tal forma que el cilindro resultante tiene 10 cm de altura, como lo muestra la figura:



¿Qué volumen de madera queda en la esfera?

Pista: no faltan datos

[Alriga]

Re: Esfera taladrada

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No sé ver la manera de resolverlo por geometría sencilla, lo único que se me ocurre es trabajar en coordenadas esféricas y hacer las integrales, pero como no me apetece, me voy a divertir haciendo una conjetura, a ver si acierto:

1) No se da el radio ni del cilindro ni de la esfera. Por otro lado se ve que para la misma altura del cilindro H, puede haber cilindros de radio grande o de radio pequeño, dentro de esferas de radio grande o de radio pequeño. Si no se da ningún radio en el enunciado, el volumen buscado deberá ser el mismo para una H dada, independientemente del radio, es decir que el volumen ha de ser función exclusiva de H

$V=V(H)$

La “Pista: no faltan datos” del enunciado refuerza esta 1ª conjetura

2) Análisis dimensional: $[V]=L^3$ y $[H]=L$

Por lo tanto la función V(H) más sencilla que respeta la homogeneidad dimensional es:

$V(H)=V_0+k \cdot H^3$

Si la altura del cilindro es cero no queda volumen de esfera: $H=0 \ \Rightarrow \ V(0)=0 \ \Rightarrow \ V_0=0$ y por lo tanto

$V(H)=k \cdot H^3$

Cuando H=2R siendo R el radio de la esfera, no hay orificio y el volumen buscado ha de ser el total de la esfera de radio R:

$V(2R)=k \cdot (2R)^3=\dfrac 4 3 \ \pi R^3$

Ecuación que permite determinar el valor de k:

$k=\dfrac 1 6 \ \pi$

Por lo tanto mi conjetura (que no demostración), es que el volumen buscado vale:

$V=\dfrac 1 6 \ \pi H^3$

Para el caso particular de H=10 cm

$V=\dfrac 1 6 \ \pi \ 10^3=\dfrac{500}{3} \ \pi \ cm^3$

Saludos.

[carroza]

Re: Esfera taladrada

Hola.

Creo que el problema hubiera resultado más interesante (y desconcertante) sin la pista. Ahi va mi solucion.

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Si el radio de la esfera es R, y el radio del cilindro es D, entonces por Pitágoras se cumple $(H/2)^2 = R^2 - D^2$.

Ahora calculamos el volumen de la esfera sin cilindro. Para ello, cortamos la esfera por un plano perpendicular al cilindro que pasa por su centro, definimos circulos de radio r, entre D y R, que definen cilindros de altura h hasta que cortan la esfera, y que cumplen $(h/2)^2 = R^2 - r^2$. Cada uno de estos cilindros define un infinitésimo de volumen
$dV = 2 \pi r h dr$.

Integramos, entre D y R, y tenemos el resultado de Alriga: $V = \pi H^3 /6$

Saludos

[Jaime Rudas]

Re: Esfera taladrada

Hola.

Creo que el problema hubiera resultado más interesante (y desconcertante) sin la pista.

Tienes toda la razón: creo que me apresuré en poner la pista.

Para el caso particular de H=10 cm


$V=\dfrac 1 6 \ \pi \ 10^3=\dfrac{500}{3} \ \pi \ cm^3$

Correcto los dos: es la respuesta corta (utilizando la pista) y que yo planteo así:

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Dado que no faltan datos, sabemos que el resultado ha de ser el mismo sin importar cuál sea la base del cilindro. Suponemos, pues, un cilindro con una base infinitamente pequeña, lo que significa que se convierte en el diámetro de la esfera que, por supuesto, no tiene volumen. Siendo así, el volumen es igual al de una esfera de diámetro 10 cm:

$V= \frac43 \pi r^3$

$V= \frac43 \pi 125$

$V= \frac{500}{3} \pi$

No sé ver la manera de resolverlo por geometría sencilla, lo único que se me ocurre es trabajar en coordenadas esféricas y hacer las integrales,

Bueno, tengo una solución que, aunque un poco más larga, solo utiliza geometría sencilla (nada de coordenadas esféricas, ni integrales; ni siquiera la pista):

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Llamamos:
$R$ - radio de la esfera
$r$ - radio del cilindro
$h$ - altura de los casquetes
$H$ - altura del cilindro
$V_e$ - volumen esfera
$V_q$ - volumen del casquete
$V_c$ - volumen del cilindro
$V_b$ - volumen buscado
$d = \frac H2$




$h = R - d$

$d^2 + r^2 = R^2$

$r^2 = R^2 - d^2$

$V_b = V_e - (V_c + 2V_q)$

$V_e = \frac 43 \pi R^3$


$V_c = H \pi r^2$

$V_c = H \pi (R^2 - d^2)$

$V_c = 2d \pi (R^2 - d^2)$


$V_q = \frac \pi 3 h^2 (3R - h)$

$V_q = \frac \pi 3 (R - d)^2 [3R - (R - d)]$

$V_q = \frac \pi 3 (R^2 -2dR + d^2)(2R + d)$

$V_q = \frac \pi 3 (2R^3 - 4dR^2 + 2Rd^2 + dR^2 - 2Rd^2 + d^3)$

$V_q = \frac \pi 3 (2R^3 - 3dR^2 + d^3)$


$V_b = V_e - (V_c + 2V_q)$

$V_b = \frac 43 \pi R^3 - [2d \pi (R^2 - d^2) + \frac 23 \pi (2R^3 - 3dR^2 + d^3)]$

$V_b = \frac 43 \pi R^3 - \frac 13 \pi (6dR^2 - 6d^3 + 4R^3 - 6dR^2 + 2 d^3)$

$V_b = \frac 43 \pi R^3 - \frac 13 \pi (4R^3 - 4d^3)$

$V_b = \frac 43 \pi R^3 - \frac 43 \pi R^3 + \frac 43 \pi d^3$

$V_b = \frac 43 \pi d^3$

$V_b= \frac43 \pi 125$

$V_b= \frac{500}{3} \pi$

Saludos