Los tres presos

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Este es un problema que estuvimos discutiendo hace muchos años (antes de la existencia del canal y la web) en una lista de correos.

Imaginaos que tenemos tres presos; A, B y C. Los captores han decidido ejecutar a uno de los tres a la mañana siguiente, y han decidido cuál será ejecutado mediante un sorteo aleatorio y equitativo. Pero no le han dicho a los presos el resultado.

C se ha hecho muy amigo de uno de los captores, y le pide el siguiente favor: "Para arreglar las cosas por si soy el ejecutado, me gustaría poder dejar un recado a través de unos de mis compañeros. Yo sé que al menos uno de ellos se salvará. Por favor, podrías nombrarme uno de ellos dos que seguro seguro se salvará?". El captor accede, y le dice el nombre de uno de los otros dos (A o B) que se va a salvar seguro.

A la luz de la nueva información que posee C, ¿Que probabilidades tiene C de ser ahora el ejecutado?

[PunkFolk77]

Re: Los tres presos

Este es un problema que estuvimos discutiendo hace muchos años (antes de la existencia del canal y la web) en una lista de correos.

Imaginaos que tenemos tres presos; A, B y C. Los captores han decidido ejecutar a uno de los tres a la mañana siguiente, y han decidido cuál será ejecutado mediante un sorteo aleatorio y equitativo. Pero no le han dicho a los presos el resultado.

C se ha hecho muy amigo de uno de los captores, y le pide el siguiente favor: "Para arreglar las cosas por si soy el ejecutado, me gustaría poder dejar un recado a través de unos de mis compañeros. Yo sé que al menos uno de ellos se salvará. Por favor, podrías nombrarme uno de ellos dos que seguro seguro se salvará?". El captor accede, y le dice el nombre de uno de los otros dos (A o B) que se va a salvar seguro.

A la luz de la nueva información que posee C, ¿Que probabilidades tiene C de ser ahora el ejecutado?

Es sencillísimo, vamos a ver. En un principio, partimos de una premisa (que se ejecutará uno y sólo uno, y los tres tienen la misma probabilidad de ser ejecutados), que nos hacen llegar a la conclusión final (que es la de que la probabilidad de C, como la de todos los demás, de ser ejecutado es de 1/3).

Bien, pues C sabe que de entre A y B, uno de los dos o los dos, se va a salvar.

Ahora el guarda le dice a C que B se salvará seguro... y a C no le dice nada nuevo, porque C sigue sabiendo que de entre A y B, se salvarán uno o los dos. Y esa información, sigue intacta, por lo tanto la probabilidad de C de morir y de salvarse siguen siendo las mismas.

[_FoX_]

Re: Los tres presos

El sorteo, ya se hizo antes, y en forma totalmente aleatoria, la probabilidad de que saliera C era de 1/3 como de cada preso y lo que viene después no afecta a la probabilidad de salir de C, pues ya fue realizado el sorteo, pero hay algo:

Ahora aquí viene el razonamiento: ya que se mostró un resultado, se descarta completamente una posibilidad de entre las 3, por lo que cualquier posibilidad se pOdría reducir a 1/2, sin embargo, el sorteo ya fue realizado y con 3 integrantes, y era descartable de inicio que al elegir cualquier pareja, como mínimo uno se iba a salvar por lo tanto se concluye que siempre ha sido la probabilidad igual a 1/3.

Pero ahora vendría el otro razonamiento, si se descarta completamente una opción específica, los otros 2 presos tienen la misma posibilidad de salir, descartando un 33% quedaría el 33% de los 2 que faltan haciendo un 0.66% que al aumentarse a 100% derivaría en 2 mitades de 50% cada uno, deduciendo que la probabilidad de salir es de 1/2.

Pero ahora con este segundo razonamiento se produciría una conjetura:

- Para el preso C, la posibilidad de ser ejecutado sería de un 50%, y para los otros 2 presos la posibilidad de salir sería de un 33%.

- Pero, sin necesidad de descartar una posibilidad, se puede saber que uno de los otros 2 presos se salvará, y no por ello la posibilidad de salir ejecutado aumentará. Por eso:

LA RESPUESTA ES 1/3

[Dramey]

Re: Los tres presos

Pues yo digo que la probabilidad es 1/3 para C y 2/3 para el otro. Si quereis lo explico, pero como estoy razonablemente seguro voy a ver si alguien más llega a esta conclusión (ya sabia el problema de antemano en otra forma)

[SportBilly]

Re: Los tres presos

Este problema es complicado.... Creo que se parece al problema Monty Hall.
En el trabajo nos pasamos 2 dias discutiendo. Creo que el Sr. Wikipedia se explicara mejor que yo:

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall

En resumen, yo lo entendí de la siguiente manera:

1. Al principio tienes mas posibilidades de que tu no seas el elegido.
2. Te dicen que otro tampoco es el elegido.
3. Tiene mas posibilidades de ser el elegido el otro, por probabilidad condicionada. Hay que hacer el arbolito con las posibilidades y sumar para darse cuenta, porque si no, no se entiende, es muy antiintuitivo....

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Re: Los tres presos

Me llena de satisfacción ver como la audiencia del foro es más hábil que la de la lista donde lo discutí por primera vez hace mucho tiempo

Ya se han dado demostraciones heurísticas (del estilo no nos da información sobre C, por lo que no puede afectar a su probabilidad) totalmente correctas. Hay una demostración matemática muy sencilla a través del teorema de Bayes: imaginemos que el guardia dice que A se salva (esto no quita generalidad, ya que solo es una etiqueta: si dijera B, intercambiamos los nombres), entonces

$P(\text{muere C} | \text{dice A}) = \frac{P(\text{dice A} |\text{muere C}) P(\text{muere C})}{P(\text{dice A})} \ .$

Las probabilidades a priori son triviales:

$P(\text{dice A}) = 1/2 \ ,$
$P(\text{muere C}) = 1/ 3 \ .$

Nos queda evaluar $P(\text{dice A} |\text{muere C})$; este término supone que C es el condenado, por lo que el guarda tiene que elegir al azar cual de los dos compañeros de celda nombra. Es decir, este termino debe ser 1/2. Juntando todos los ingredientes, tenemos 1/3.

Podemos también evaluar la probabilidad de que sea B quien muera (A no puede morir ),

$P(\text{muere B} | \text{dice A}) = \frac{P(\text{dice A} |\text{muere B}) P(\text{muere B})}{P(\text{dice A})} = \frac{1 \cdot 1/3}{1/2} = \frac{2}{3} \ .$