Sacar las leyes de la combinatoria y la probabilidad "por lógica"

[PunkFolk77]

A continuación, lo que propongo es que expongáis aquí la dedución de las fórmulas de la combinatoria y la probabilidad "por lógica", quiero decir: imaginaos que nunca os han dicho las fórmulas de las permutaciones, variaciones, combinaciones, etc., y que queréis sacarlas "por lógica" basándoos exclusivamente en fórmulas básicas de probabilidad que puede ser visto su significado lógico incluso por alguien que nunca haya estudiado probabilidad (que simplemente sepa que la probabilidad de la conjunción de dos sucesos, es la multiplicación de la probabilidad de uno por la del otro, por ejemplo).

Sería lo idea que en las demostraciones utilizarais ejemplos prácticos, tipo la Quiniela, la Primitiva, dados, monedas, etc.

Para empezar, vamos a intentar demostrar por lógica la fórmula del número de combinaciones de m elementos tomados de n en n, que sería:

m! / [n! · (m-n)!].

Demostradla con un ejemplo práctico, imaginándoos que se lo tenéis que explicar a alguien que no tiene ni idea de probabilidad.

¿Quién se atreve?

Saludos,
Carlos.

[Dramey]

Re: Sacar las leyes de la combinatoria y la probabilidad "por lógica"

¿A qué le llamas lógico? ¿Vale por inducción?

[SportBilly]

Re: Sacar las leyes de la combinatoria y la probabilidad "por lógica"

La manera más fácil es dibujar un circulito con 5 bolitas.

Empiezas preguntando ¿de cuantas maneras puedo coger 0 bolitas? Pues está claro sólo de una manera.

Luego, aquí empieza lo complicado ¿De cuantas maneras puedo coger una bolita?

Pues de 5 maneras porque hay 5 bolitas.... Vale, ahora vas a la formula:
5!/(1!(5-1)!) que da 5!/4! que da 5....

Sigues con 2 y 3, esto igual es el mas complicado, pero si lo haces con dibujos, es más fácil. Luego sigues para acabar demostrando que se puede coger igual 5 bolitas de 0 en 0, que 5 bolitas de 5 en 5...sólo de una manera.

Vas más allá: 5 bolitas de una en una se pueden coger igual que 5 bolitas de 4 en 4... y lo mismo en 2 y 3.

Bueno, ¿como lo veis? Yo es como lo veo más claro.... Cualquier conjunto más grande es de hecho lo mismo pero con más bolas....

[pod]

Re: Sacar las leyes de la combinatoria y la probabilidad "por lógica"

Se puede sacar fácilmente a partir de la fórmula de las permutaciones. Supongo que podríamos dar por sabido que hay $n!$ permutaciones de $n$ elementos, pero por completitud vamos a demostrarlo también.

Permutaciones (sin repetición)

Tomemos un conjunto de $n$ elementos distinguibles. Queremos saber cuantas ordenaciones diferentes podemos crear. Para elegir el primer elemento tenemos $n$ opciones, obviamente. Para elegir el segundo elemento, tenemos que escoger uno de los $n-1$ elementos que aun no han sido elegidos. Para escoger el tercero, tendremos $n-2$ opciones, y así sucesivamente. En particular, para elegir el $m$-ésimo elemento, tenemos un total de $n-m+1$ opciones. Así, pues, la cantidad total de opciones se expresa como un productorio trivial,

$P_n = \prod_{m=1}^n (n-m+1) = n (n-1) (n-2) \cdots 2 \cdot 1 = n! \ .$

Combinaciones (sin repetición)

Del mismo conjunto de $n$ elementos, queremos extraer $m$ de ellos sin que nos importe el orden de extracción.

Procedemos de la siguiente forma: ordenaremos todos los elementos (tenemos $n!$ opciones). Los que ocupen las $m$ primeras posiciones serán los escogidos. Ahora bien, dado que no nos importa el orden de los elementos escogidos, por cada combinación válida tenemos $m!$ opciones equivalentes que hay que tener en cuenta (i.e, dividir del total). Igualmente, tampoco nos importa el orden de los $n-m$ elementos no escogidos, por lo que también habrá que dividir por $(n-m)!$. Con esto ya hemos descontado todas las permutaciones que dan la misma combinación, por lo tanto,

$C^m_n = \frac{n!}{m! (n-m)!} = {n \choose m} \ .$

QED