La pulga y la recta real

[^Cuervo^]

Supongamos que hay una pulga en el punto 0 de la recta real. Cada vez que salta, la pulga se desplaza una unidad. Se va tirando una moneda repetidamente, de tal forma que, la pulga salta una unidad a la derecha si sale cara, o una a la izquierda si sale cruz.
La pregunta és, donde es más probable encontrar a la pulga después de que se haya tirado la moneda n veces?

[quasarilla]

Re: La pulga y la recta real

Yo creo que a la derecha porque leí una vez que es mas probable que salga mas veces la cara porque pesa mas.
Saludos a la pulga :P

[Dj_jara]

Re: La pulga y la recta real

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Espero no haberme equivocado, la verdad es que he hecho un poco de trampa porque hace poco (unas semanas) en el libro de biofisica que estoy leyendo hablaba de caminos aleatorio y ahi vi uno parecido, sino lo hubiera visto no creo que lo hubiera sacado xD


P.D. No lo habia indicado pero por si acaso lo digo <J> significa valor medio de J

[NuezMoscada]

Re: La pulga y la recta real

Este problema es muy complejo, y yo ciertamente no me animo a dar una demostración interminable con funciones Gamma. Lo que sí debería quedar claro, es que el fallo de dj_jara es que no considera el valor absoluto de la función. Al pedir la media de la DISTANCIA debe realizar los cálculos con valores absolutos, sin distinguir si la pulga está a 3 o a -3.
Hechos los farragosos cálculos, da que la distancia d_N crece con N según:

<d_N> ~ sqrt(2N/Pi) ~ 0,8*sqrt(N)

Un saludo,
NuezMoscada

[pod]

Re: La pulga y la recta real

Este problema es muy complejo, y yo ciertamente no me animo a dar una demostración interminable con funciones Gamma. Lo que sí debería quedar claro, es que el fallo de dj_jara es que no considera el valor absoluto de la función. Al pedir la media de la DISTANCIA debe realizar los cálculos con valores absolutos, sin distinguir si la pulga está a 3 o a -3.
Hechos los farragosos cálculos, da que la distancia d_N crece con N según:

<d_N> ~ sqrt(2N/Pi) ~ 0,8*sqrt(N)

Un saludo,
NuezMoscada

Es un resultado clásico del "random walk" de física estadística. Yo nunca tuve mucha inquietud por la física estadística, pero si hay alguien el foro que si, seguramente pueda darnos algún razonamiento, si bien no una demostración completa

Si a caso, creo que el quid de la cuestión está en que las tiradas son independientes; es decir, por mucho que la tirada anterior saliera cara, eso no significa que la siguiente deba ser cruz para compensar, sino que vuelve a haber las mismas probabilidades. Así, pues, la probabilidad de que acabe habiendo rachas de un valor acaba siendo grande.

[SportBilly]

Re: La pulga y la recta real

Si a caso, creo que el quid de la cuestión está en que las tiradas son independientes; es decir, por mucho que la tirada anterior saliera cara, eso no significa que la siguiente deba ser cruz para compensar, sino que vuelve a haber las mismas probabilidades. Así, pues, la probabilidad de que acabe habiendo rachas de un valor acaba siendo grande.

Esteee.... no entiendo como puede una tirada de moneda ser dependiente de la anterior...o de la siguiente... Yo pensaba que siempre eran independientes, de lo contrario me forraria en el casino jugando a rojo/negro, por ejemplo.

Yo diria que la pulga tenderá a quedarse cerca del 0, aunque es posible que haya periodos que se aleje un poco...

[pod]

Re: La pulga y la recta real

Esteee.... no entiendo como puede una tirada de moneda ser dependiente de la anterior...o de la siguiente... Yo pensaba que siempre eran independientes, de lo contrario me forraria en el casino jugando a rojo/negro, por ejemplo.

He dicho que son independientes, lee bien

Yo diria que la pulga tenderá a quedarse cerca del 0, aunque es posible que haya periodos que se aleje un poco...

El resultado es que la distancia del punto de partida es proporcional a la raíz del número de tiradas, como ha dicho Nuez. Si alguna vez haces asignaturas avanzadas de física estadística, te lo demostrarán (yo no puedo demostrarlo aquí por que no las hice ). El resultado es válido en cualquier número de dimensiones, pero no puedes determinar en que dirección saldrá.

[Dramey]

Re: La pulga y la recta real

El problema está que en random walk no se puede volver sobre tus propios pasos. Yo, intuitivamente diría que la solución debería tender a 0 con N tendiendo a infinito

[pod]

Re: La pulga y la recta real

El problema está que en random walk no se puede volver sobre tus propios pasos. Yo, intuitivamente diría que la solución debería tender a 0 con N tendiendo a infinito

Sí se puede. Este problema es exactamente un random walk en una dimensión.

[carroza]

Re: La pulga y la recta real

Supongamos que hay una pulga en el punto 0 de la recta real. Cada vez que salta, la pulga se desplaza una unidad. Se va tirando una moneda repetidamente, de tal forma que, la pulga salta una unidad a la derecha si sale cara, o una a la izquierda si sale cruz.
La pregunta és, donde es más probable encontrar a la pulga después de que se haya tirado la moneda n veces?

Más que en la recta real, la pulga está realmente en el conjunto Z de los numeros enteros, ya que sólo puede estar en posiciones que sean múltiplos enteros de la distancia unidad.

Dicho esto, la distribución de probabilidad para n finita es la distribución binomial:

La probabilidad de estar en la posición -n, para n tiradas, es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La probabilidad de estar en la posicion -n+2, para n tiradas, es
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y asi sucesivamente, hasta la posicion +n, cuya probabilidad es
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Para responder la pregunta de Cuervo, hay que distinguir si n es par o impar.

Si n es par, la posicion más probable es 0, y su probabilidad es
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Si n es impar, las posiciones más probables son +1 y -1 (0 es imposible) y sus probabilidades (iguales) son
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Lo que resulta proporcional a $\sqrt{n}$ es la desviación estándar, no la posición media o la posición más probable.

[_FoX_]

Re: La pulga y la recta real

Sí, es verdad, el punto más probable para n par es 0, con un 50% de caras y un 50% de sellos, si n es impar, tenemos igual probabilidad de que haya una cara más o un sello más en las tiradas, por lo tanto, el valor absoluto de la solución sería 1.

[Dramey]

Re: La pulga y la recta real

Veo muy interesante este link

http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk

Pues si que en el random walk si puedes volver sobre tus pasos