Acertijo de los profes de mates

[Lemuel]

[FONT=Verdana]Tras la limpieza, puesta a punto y lubricado de los delicados mecanismos lógicos cerebrales mediante los acertijos de los tres sombreros y de las pegatinas, es llegado el momento de plantear sin más dilación el acertijo clave. Así como, en su día, todos nos enteramos de que, en un conjunto de mortíferas y horripilantes batallas, hay una llamada “madre (¿o madrastra?) de todas las batallas”, así también sucede que, en un ramillete de primorosos acertijos lógico-matemáticos, existe el “acertijo padre” –o quizá robusto “hijo”—de todos los demás acertijos lógico-matemáticos. Tal es el que expongo a continuación.[/FONT]

[FONT=Verdana]En ciertos ambientes académicos es bastante célebre, y lo llaman coloquialmente "el Spivak". Lo cual es debido a que aparece (sin aportar la solución) al final del capítulo 2 del muy machacado libro de texto de Michael Spivak titulado Calculus. Helo aquí.


Hubo un tiempo en que la Universidad B se preciaba de tener 17 excelentes profesores numerarios de matemáticas. La tradición obligaba a que, en el almuerzo comunitario semanal, al que concurrían fielmente los 17 profesores, todo aquel que hubiese descubierto un error en una de sus propias publicaciones tenía que hacerlo publico y luego renunciar. Lo cierto es que una declaración de este tipo no se había producido nunca, ya que ninguno de los profesores era consciente de la existencia de errores en sus propios trabajos. Lo cual, sin embargo, no quiere decir que no existieran esos errores. De hecho, en el transcurso de los años, por lo menos un error había sido descubierto en el trabajo de cada uno de los profesores por algún otro de entre ellos. La existencia de esos errores era conocida por todos los miembros de departamento a excepción de los propios responsables, y ello con objeto de evitar renuncias.

Mas llegó un fatídico año en el que el departamento de mates aumentó el numero de sus miembros con un visitante de otra universidad, un Profesor X que llegaba con la idea de que se le ofreciera un puesto permanente al final del año académico. Tras ver frustrada su esperanza, el Profesor X decidió vengarse en el último almuerzo comunitario del año diciendo:
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[FONT=Verdana]
[/FONT]
[FONT=Verdana]"Me ha sido muy grata mi estancia entre Uds., pero hay algo que creo es mi deber comunicarles. Por lo menos uno de entre Uds. tiene publicado un resultado incorrecto, lo cual ha sido descubierto por otros del departamento."

[/FONT][FONT=Verdana]¿Qué ocurrió al año siguiente? [/FONT]

[Afisionado]

Re: Acertijo de los profes de mates

Todos renuncian.
Cuando el nuevo profesor hace la revelación, los 17 excelentes profesores numerarios quedan inicialmente a la expectativa de que aquellos que reconocen tener un error en sus trabajos renuncien. Pero, como pasado un tiempo, ninguno lo hace, los 17 profesores cuya sabiduría es extrema, llegan casi en el mismo microsegundo a la conclusión de que su trabajo está en la misma situación que el de los otros 16 que ya conocen y que no habían dado a conocer al respectivo autor de cada trabajo para que no renunciara.

[Adosgel]

Re: Acertijo de los profes de mates

Todos renuncian.
Cuando el nuevo profesor hace la revelación, los 17 excelentes profesores numerarios quedan inicialmente a la expectativa de que aquellos que reconocen tener un error en sus trabajos renuncien. Pero, como pasado un tiempo, ninguno lo hace, los 17 profesores cuya sabiduría es extrema, llegan casi en el mismo microsegundo a la conclusión de que su trabajo está en la misma situación que el de los otros 16 que ya conocen y que no habían dado a conocer al respectivo autor de cada trabajo para que no renunciara.

¿Esto es continuación de lo que yo argumento o es un razonamiento independiente?

Si es lo segundo, perfectamente pueden cada uno suponer que la publicación de la que asegura conocer errores no sea la propia, sino otra de la que, cada uno de ellos sí conoce que tiene errores y que el autor no lo conoce, pero tampoco lo sospecha porque, Tambien cada uno de ellos sabe que cada uno de los demás conoce los errores de los otros menos los propios y los de la publicación del que lo razona, que, no los tiene para él su publicación.

Así pues, como todos creen que los demás pueden deducir que puede referirse X a la publicación de cualquiera de los otros profesores, y estos deducir que puede ser cualquier otra publicación en vez de la suya (pues comocen de estas los errores), como no les llevan sus deducciones a sospechar que se refiere X a su propia publicación, es lógico que ninguno renuncie, a pesar de tener errores en sus publicaciones y saberlo X ...deduce cada uno de ellos.

No me convences Afisionado .

[Afisionado]

Re: Acertijo de los profes de mates

Adosgel:
Es un razonamiento independiente aunque quizá le falte algo.

[[No estoy de acuerdo con tu razonamiento pues se basa en unas supuestas conversaciones secretas del nuevo profesor con cada uno de los antiguos, lo cual sería añadir un nuevo dato al enunciado; opino que el nuevo profesor es simplemente un desencadenante, no un elemento decisorio del mismo; entre otras cosas, el nuevo profesor no ha presentado un trabajo que haga suponer que ha entrado en el juego de los errores.]] (el post al que hace referencia este fragmento ha sido eliminado)

Para simplificarlo supongo que se podría cambiar el contexto del problema e igualarlo a los anteriores de la secuencia iniciada por Lemuel. De esta forma:

"Supongamos que los 17 profesores tienen una mancha negra en su frente. Todos ellos pueden ver la frente de los demás pero no la propia. Por tanto, no saben si tienen mancha o no, aunque están convencidos de que no la tienen. El nuevo profesor les propone un juego: que cada uno piense si tiene mancha o no, sabiendo que al menos uno de ellos tiene mancha y que varios de los demás lo saben".

Ahora sólo me falta el razonamiento convincente

[NuezMoscada]

Re: Acertijo de los profes de mates

Hola Lemuel,
bienvenido a este nuevo foro, como verás es mucho más cómodo que el antiguo. Me alegro de que verte por aquí de nuevo.

Los que quieran seguir pensando el acertijo, no sigan leyendo a partir de aquí... (siempre, presumiendo que la solución sea correcta):

Veamos si voy por buen camino:

En la primera reunión, todos saben de los errores ajenos pero no de los propios, así que nadie dimitiría. Si me coloco en el punto de vista de uno de los profesores, ¿qué conclusión saco? Que los demás, al menos, saben de un error ajeno, pues si no supieran de al menos un error ajeno, tendrían que dimitir, pues ellos serían el culpable buscado. Dado que todos son eminentes lógicos, todos y cada uno de los 17 profesores sacan la misma conclusión: Los demás al menos saben de un error entre el resto de sus compañeros. Para que esa situación se dé, es necesario que haya al menos dos de los compañeros con errores.

En la segunda reunión nadie dimitiría. Todos saben que hay al menos dos compañeros con errores, y que los demás también los saben. Por lo tanto, si uno de ellos solo supiera de un error ajeno, dimitiría. Como nadie dimite, significa que todos y cada uno de ellos, sabe al menos de 3 errores ajenos. Para que esta situación sea posible, debe haber 4 profesores con errores.

Siguiendo el mismo razonamiento, semana a semana, cuando llegásemos a la decimoquinta semana, todos saben de 16 errores ajenos y para que eso se dé TODOS deben estar equivocados, lo cual provocaría la dimisión en masa de todo el cuerpo docente.

Así que concluimos que 15 semanas después el profesor X estaba descorchando una botella de cava.

Un saludo,
Nuez

[Lemuel]

Me parece correcto

Si he entendido bien el post de NuezMoscada, creo que ha clavado el acertijo. ¡Bravo, estimada amiga!

Doy por mi parte una versión algo distinta:

[FONT=Verdana]
Supongamos que son solo 3 profesores, A B y C. Tras oír a X, el profesor A reflexionaría así:

«Yo creo que no he cometido ningún error. B sí ha cometido uno, aunque no sea consciente de ello. Pero si B sabe que mis teorías son correctas, y cree que las suyas lo son también, debería plantearse qué es lo que pasa con C...

«Si yo fuese B, pensaría lo siguiente:

“Las teorías de A son correctas, y las mías propias (de B) también lo son, cosa que debe ser evidente tanto para A como para C. Pero las teorías de C son erróneas, por lo cual, dado que el visitante X ha anunciado que hay al menos un profesor cuyas teorías son erróneas, C debería darse cuenta de que es él el sujeto del de te fabula narratur… ¡Pero el caso es que C no ha renunciado! Debo concluir, pues, que también yo tengo algún error en mis teorías y que por eso C no ha presentado su renuncia, al creer que soy yo el que tiene errores”.

«Así que –sigue pensando el profesor A— el colega B debería haber llegado a la conclusión de que debe renunciar. ¿Por qué no lo ha hecho aún? Por reducción al absurdo, la única explicación de esta paradoja es que mi premisa de que no hay errores en mis teorías es incorrecta, y que, por tanto, B no ha razonado de la forma que acabo de imaginar.»

Mientras A se levanta de su asiento, B y C hacen lo mismo. Los tres se dirigen juntos al despacho del decano y esperan que este vuelva de desayunar para presentarle su renuncia, ya que los tres han seguido el mismo razonamiento y llegado a la misma triste conclusión.

Para el caso de 17 profesores hay que proceder igual, pero con algo más de paciencia. Solo hay que recursivizar el razonamiento: A piensa que B piensa que C piensa que D piensa que E piensa que…, e ir escurriendo por ahí hasta llegar a “P piensa que sus teorías son correctas y que, salvo las de Q, lo son también las de todos los anteriores, lo que debería hacer que Q renunciase. Pero Q no renuncia…” [/FONT]

[FONT=Verdana]De este modo, sin prisa pero sin pausa, sigue hacia atrás el profesor A la cadena deductiva, con lo que termina renunciando, y análogamente y por idéntico proceso lógico acaban haciendo lo mismo los otros 16 profesores. [/FONT][FONT=Verdana]
[/FONT]
[FONT=Verdana]¡Y así ocurre que, en la otrora prestigiosa universidad B las clases de matemática son impartidas hoy día por un simple hatajo de mediocres PNNs! [/FONT]

[Juanma1976]

Re: Acertijo de los profes de mates

Buenas NuezMoscada, supongamos que en realidad sólo hay dos profesores con errores. Se cumplen la condición de que cada profesor es consciente de almenos un error en otro compañero.

Según tu razonamiento, en la segunda reunión dimiten los dos y se evita la dimisión en cadena.

El mensaje original de Lemuel dice textualmente:

"De hecho, en el transcurso de los años, por lo menos un error había sido descubierto en el trabajo de cada uno de los profesores por algún otro de entre ellos. La existencia de esos errores era conocida por todos los miembros de departamento a excepción de los propios responsables, y ello con objeto de evitar renuncias."

Por lo que todos eran concientes de que había 16 compañeros con errores y todos eran conscientes de que cada uno era consciente de 15 compañeros con errores.

Si yo fuera uno de los profesores tendría que pensar que o bien el resto de profesores sólo es consciente de 15 profesores con errores o dimitir, ya que si uno es consciente de 16 y no dimite, es que he cometido algún error. Pero ese razonamiento lo haría también los otros profesores y yo se que lo han hecho, por lo que se que ellos piensan también que yo sólo veo 15. Pero por tu razonamiento si ellos ven 15 profesores con errores deben pensar que hay 16, porque si no almenos uno sólo vería 14 y habría dimitido. Así que debo pensar que el resto ven 16 profesores con errores, y al no dimitir, debo dimitir yo.

Este mismo razonamiento lo hace el resto y dimite al acto conmigo.

Hola Lemuel,
bienvenido a este nuevo foro, como verás es mucho más cómodo que el antiguo. Me alegro de que verte por aquí de nuevo.

Los que quieran seguir pensando el acertijo, no sigan leyendo a partir de aquí... (siempre, presumiendo que la solución sea correcta):

Veamos si voy por buen camino:

En la primera reunión, todos saben de los errores ajenos pero no de los propios, así que nadie dimitiría. Si me coloco en el punto de vista de uno de los profesores, ¿qué conclusión saco? Que los demás, al menos, saben de un error ajeno, pues si no supieran de al menos un error ajeno, tendrían que dimitir, pues ellos serían el culpable buscado. Dado que todos son eminentes lógicos, todos y cada uno de los 17 profesores sacan la misma conclusión: Los demás al menos saben de un error entre el resto de sus compañeros. Para que esa situación se dé, es necesario que haya al menos dos de los compañeros con errores.

En la segunda reunión nadie dimitiría. Todos saben que hay al menos dos compañeros con errores, y que los demás también los saben. Por lo tanto, si uno de ellos solo supiera de un error ajeno, dimitiría. Como nadie dimite, significa que todos y cada uno de ellos, sabe al menos de 3 errores ajenos. Para que esta situación sea posible, debe haber 4 profesores con errores.

Siguiendo el mismo razonamiento, semana a semana, cuando llegásemos a la decimoquinta semana, todos saben de 16 errores ajenos y para que eso se dé TODOS deben estar equivocados, lo cual provocaría la dimisión en masa de todo el cuerpo docente.

Así que concluimos que 15 semanas después el profesor X estaba descorchando una botella de cava.

Un saludo,
Nuez

[Machinegun]

Re: Acertijo de los profes de mates

Tomando ideas de NuezMoscada, Lemuel y Juanma1976, ofrezco la siguiente propuesta de solución.

Calcémonos los zapatos de cualquiera de los 17 profes y razonemos de la siguiente manera: Lo único que me obligaría a renunciar en la primera junta es que no estuviera enterado de ningún error de los demás, porque deduciría que soy el del error que señaló el vengativo X. O sea que en la reunión 1 habría 1 renuncia si sólo fuera 1 (yo) el que cometió el error. En cambio, si yo supiera que exactamente uno de los otros 16 tiene un error, supondría que es él el del error y no yo, pero si él no renuncia en la reunión 1, entonces estaré seguro que no lo hizo porque sabe que otro profe cometió error y ese otro no puedo sino ser yo, lo cual me obligaría a renunciar en la reunión 2. Por un razonamiento similar, él también renunciaría en esa reunión. O sea que en la reunión 2 habría 2 renuncias si sólo fueran 2 (ese otro y yo) los que cometieron un error. Continuando este razonamiento llego a la conclusión de que como sé que los 16 profes restantes tienen error entonces en la reunión 16 todos renunciarán… a menos que no lo hagan porque en realidad yo también tenga error. En cuyo caso todos renunciaremos en la reunión 17.

Ahora bien [y esto ya es de mi cosecha (aunque seguimos en los zapatos de algún profesor)], se nos dice que a raíz de la renuncia del vengativo profesor, las reuniones del próximo año sólo van a tratar asuntos relacionados con renuncias, de tal modo que si los profesores suponemos que no habrá renuncias (incluida la nuestra) podemos no asistir a la reunión, pero que debemos estar presentes en caso de que uno o más profesores renuncien, pues de no asistir, se nos obligará a renunciar también. Obviamente yo podría ausentarme las 15 primeras reuniones y asistir a la decimosexta esperando ver que todos mis compañeros renuncien en masa (sé que todos son lógicos de primer nivel). Pero el diablo es puerco y cuando ya me dispongo a planear a qué voy a dedicar mis ocios durante el tiempo que me dejarían libre esas 15 juntas a las que no asistiría, me asalta una recanija duda: como mi trabajo no tiene error, mis 16 compañeros sólo están enterados de 15 trabajos con error, por lo tanto no van a esperar hasta la reunión 16, pues todos ellos supondrán que en el remoto caso de que en la reunión 15 no renuncien 15, pues lógicamente los 16 renunciarían en la reunión 16. Me temo que sólo podré faltar a 14 reuniones. Bueno, 14 partidas de ajedrez son menos que 15, pero no son nada despreciables. Mientras busco mi libro de aperturas, me asalta otra duda: puesto que mis 16 queridos colegas sólo saben de 15 trabajos con error, ellos han de creer que los 15 restantes sólo saben de 14 trabajos con error, por lo que no se van a arriesgar a no estar presentes en la reunión 14. A estas alturas, creo que mis 14 partidas se me van a convertir en polvo, en sombra y humo… Me temo que voy a tener que asistir a todas las reuniones, aunque esté seguro de que no va a haber ninguna renuncia hasta la reunión 16 o, en el peor de los casos, en la 17. Sólo espero que no nos vayan a informar que si asistimos a una reunión y no hay ninguna renuncia, todos los asistentes seremos cesados.

Ahora, dejemos los zapatos del atribulado profe, y enviemos un saludo a los amigos.

[feryaesta]

Re: Acertijo de los profes de mates

Existe al menos un error en alguna de las tres partes siguientes.

A) los que resolveis el problema lo teneis mal porque suponeis que los profes saben que los errores son conocidos por todos los demás excepto el interesado y eso no es dato del problema

B) El enunciado está mal porque no se puede resolver si los profes no saben que los fallos los conocen todos excepto el interesado

C) Tal vez yo esté equivocado (y vosotros también) y existe una solución con el enunciado tal y como está

D) Tal vez sea yo solo el que se equivoca en todo

[Machinegun]

Re: Acertijo de los profes de mates

Existe al menos un error en alguna de las tres partes siguientes.

A) los que resolveis el problema lo teneis mal porque suponeis que los profes saben que los errores son conocidos por todos los demás excepto el interesado y eso no es dato del problema

B) El enunciado está mal porque no se puede resolver si los profes no saben que los fallos los conocen todos excepto el interesado

C) Tal vez yo esté equivocado (y vosotros también) y existe una solución con el enunciado tal y como está

D) Tal vez sea yo solo el que se equivoca en todo

Yo creo que sí es dato del problema puesto que se dice "De hecho, en el transcurso de los años, por lo menos un error había sido descubierto en el trabajo de cada uno de los profesores por algún otro de entre ellos. La existencia de esos errores era conocida por todos los miembros de departamento a excepción de los propios responsables". No era necesario especificar "a excepción de CADA UNO de los propios responsables", puesto que se desprende del sentido de la frase. Si no se entendiera distributivamente, carecería de sentido la frase, pues se entendería que los responsables son los 17 profesores (todos tienen al menos un error); es decir, todos lo sabrían excepto todos, lo cual no tiene sentido.

Saludos

[BanderitaOndeable]

Re: Acertijo de los profes de mates

Bien, lo que yo entiendo en este problema es que cada profesor individualmente no conoce de sus errores, es decir, tenemos 17 profesores inicialmente que desconocen que ellos se hayan equivocado (sin tener en cuenta su ego de que si los otros se han equivocado, por qué ellos no?). Luego, del profesor X num 18 no dice que se haya equivocado... es posible o no pero no importa, se cumplirá de la misma manera cuando anuncie "Al menos 1 profesor ha cometido un error". En ese momento, el profesor X implica a que se vean obligados a averiguar si cada uno de ellos ha cometido un error porque ya que cada uno de ellos desconocen su propio error pero saben de los demás, "alguien tiene que ser el primero"; Bien, supongamos que el primero, por un tema de orden, es el A1... . Entonces, una sucesión de [A1,...,A17, A(17+1)], sea (1,...,k, k+1), Tenemos que la sucesión para K se cumple hasta que K+1 = 18, K=17, pero no para 18, puesto que entonces, k+1 = 19 y esto ya no es cierto. Por lo tanto, el único que no debe admitir su error por no formar parte, es el num 18 puesto que no tiene sucesor que le pueda demostrar su/us errores.

[Fortuna]

Re: Acertijo de los profes de mates

Buenas días. No conocía este problema, pero ya que se ha subido y tras leer detenidamente las respuestas mi conclusión es que todo quedaría igual, como el si profesor X no hubiera dicho nada.

La frase:

A "Por lo menos uno de entre Uds. tiene publicado un resultado incorrecto, lo cual ha sido descubierto por otros del departamento."
es cierta y conocida de antemano para todos y cada uno de los profesores ya que el enunciado dice:

B "en el transcurso de los años, por lo menos un error había sido descubierto en el trabajo de cada uno de los profesores por algún otro de entre ellos. La existencia de esos errores era conocida por todos los miembros de departamento a excepción de los propios responsables, y ello con objeto de evitar renuncias"

Que individualmente se traduciría:

C "en el transcurso de los años, por lo menos un error había sido descubierto en el trabajo de los otros 16 profesores por algún otro de entre ellos. La existencia de esos errores era conocida por todos los miembros de departamento a excepción de los propios responsables, y ello con objeto de evitar renuncias"

Luego la proposición cierta A no aporta ningún conocimiento que no este incluido la proposición C conocida de antemano por todos como verdadera.

Notemos que, tal y como está el enunciado, se deduce que los errores de alguien son descubiertos por otro y éste comunica a los demás el descubrimiento, excepto al autor del error, para evitar renuncias.


Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Acertijo de los profes de mates

Hola Fortuna ya que ha vuelto a la luz tan bonito problema, comparto mi solución

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Si ser numerario es actuar en consecuencia a la lógica, creo sucedería lo siguiente.

Primero hay que tomar como cierta la declaración del profesor X.

"Al menos existe un error en algún trabajo"

Cada miembro analiza su clausula gatillo para la renuncia

todo aquel que hubiese descubierto un error en una de sus propias publicaciones tenía que hacerlo publico y luego renunciar.

Hasta ese momento ninguno reconoce su error y asiste a la reunión semanal, con la decisión de no renunciar y a la espectativa de que otro lo haga.
Finaliza la reunión y nadie ha renunciado, como conoce el error de los otros 16 , primero concluye que los 16 no saben de sus errores.
Lo que es falso es asumir entonces que el error es propio, ya que ha compartido el conocimiento del error de los otros 15 con el restante profesor, así que espera que sea ese el que renuncie de todos los otros , es decir espera que renuncien los 16 restantes.

Asiste a la segunda reunión , nadie renuncia.
Quiere decir que ninguno ve su propio error incluido el mismo.
Concluye que tiene un error aún sin encontrarlo así que debe aplicar la clausula gatillo y renunciar.
Entonces en la tercera reunión todos renuncian.

Pd todos renuncian al mismo tiempo, ya que conocer la renuncia del primero cambia la decisión de los demás, y solo renunciaría el primero que lo comunique.

[BanderitaOndeable]

Re: Acertijo de los profes de mates

Lo difícil de este problema es saber qué cambia. De no tener ni un profesor que anuncia a los demás 16(solo a 15), el error, a tener uno que induce a que hay al menos 1 error que haga que todos descubran su propio error. (Si no, el enunciado no diría que consigue vengarse, no?). Cuando el profesor X anuncia que al menos hay un error, obliga a que los profesores actúen en consecuencia y descubran cuales errores., una sucesión de errores que terminan los 17 descubriendo errores a través de sus compañeros.

[Fortuna]

Re: Acertijo de los profes de mates

Por curiosidad he buscado el enunciado del problema en el libro de spivak, que podéis encontrar en la red. Hay tras el enunciado una nota que indica:

**28 Después de imaginarse, o de consultar, la solución del problema 27, considere lo siguiente: Cada uno de los miembros del departamento era ya sabedor de lo que el profesor X afirmaba. ¿Cómo pudo pues su afirmación cambiar las cosas?.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

A ver si puedo rematar la cuestión.

Supongamos que hay N profesores. El caso más simple posible que permite aplicar el problema en su totalidad es N=3 y por inducción llegaríamos a N=17. El problema es simétrico, así que puedo elegir el numerario 1 como representante de lo que opina cada uno.

1 sabe que {2 y 3 tienen errores}, que {2 sabe que 3 tiene errores y lo sabe 1} y que {3 sabe que 2 tiene errores y lo sabe 1}.

Hipótesis: 1 (yo) no tiene errores.

La afirmación dada por X, sé que es cierta, también lo sabe 2 y lo mismo 3. Luego si hasta ahora nadie ha dimitido, ¿por qué va a haber dimisiones ahora por algo que los tres ya sabíamos?.

Luego es posible que 1, no contenga errores.

Hipótesis: 1 (yo) tiene errores.

Por el mismo razonamiento, llego a la conclusión de que 1 (yo) puede tener errores.

Luego, sin revisar todos mis trabajos, por la nula información aportada por X no puedo demostrar que tengo errores.

Sólo en el caso N=2 la afirmación de X, que creemos cierta, tiene relevancia, pues en ese caso 1 esperaría a que 2 dimitiera. Al ver que no lo hace concluye que ambos tienen errores, luego cada uno (por simetría) ha descubierto, sin siquiera mirar sus propios trabajos, que ambos tienen errores y dimiten los dos.

Esto no está en contradicción con el principio de inducción que dije antes, ya que la base de inducción es N=3 para este caso.


Saludos.