Sumatoria de números con exponente X

[_FoX_]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Ahora la cuestión es como llegar a esa solución

[_FoX_]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Jordiel, me podrías decir ¿de quién y de donde sacaste esa fórmula?.

Ya llegué a ella por mi propia cuenta usando recurrencia, y estoy escribiendo un documento en pdf-latex de esa sumatoria con explicaciones detalladas, y me gustaría añadir de quién es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[No registrado]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Hola saludos Fox_, te saluda Ing. Nórdison mi correo es (...) por si gustas de algun contacto, para indagar aun más sobre sumatorias y matemáticas en general....Saludos a todos los del Foro...ciao

[No registrado]

Re: Sumatoria de números con exponente X

La formula de la sumatoria y de la combinatoria.


Planteemos como problema a resolver, y que a su vez nos permitirá relacionar la combinatoria con la formula de la sumatoria, con el siguiente ejercicio.

• Nueve ejecutivos se encuentran para hablar de un proyecto. Antes de que empiece la reunión se saludan, dando cada uno de ellos la mano a todos los demás. ¿Cuántos apretones de mano habrá en total?

Si recordáramos la formula de la combinatoria es decir:

Comb(a,b)= b! /(b-a)!*(a!)

De donde (b) es el número de ejecutivos, es decir nueve (9), y (a) es el número de ejecutivos que se saludan por vez es decir dos (2), tendríamos que:

La Comb(2, 9)= ((9!)/(2!*(9-2)!)= ((9!)/(2!*(7)!)= 36 (apretones de mano).

Esta es una forma si se quiere, simple y directa de resolver el ejercicio, pero ahora propongamos resolverlo de una forma un tanto más analítico, y más descriptivo. En vez de resolver el problema de una forme global, pensando en los nueve ejecutivos, pensemos primero en dos, tres, cuatro, cinco, hasta llegar a las nueve personas que se saludan entre sí, para establecer la siguiente tabla de valores:

Número de personas. Apretón de mano.
2 1
3 3
4 6
5 10
6 15
7 21
8 28
9 36



Con la tabla anterior nos sería más claro expresar la siguiente igualdad:
k - 1
Apretón de mano = ∑x = Comb (2, k)
x =1

De donde k es igual al número de personas por lo que:
k - 1
Comb (2, k) = ∑x
x =1
Para verificar la igualdad anterior usemos la formula establecida para la sumatoria de la función x evaluada en el intervalo [a, b] la cual obedece a la igualdad:

b
∑x = (b2 –a2)/2 + (a+b)/2
x=a
De donde b = k-1 y a=1, por lo que sustituyendo y desarrollando tenemos:

k - 1
∑x = ((k-1)2)/2- ((12)/2) + k/2 = (k2-2*k+1)/2 +(k/2) – (1/2) = (k2-k)/2
x =1

Y sacando factor común se establece que:
k - 1
∑x = k*(k-1)/2
x =1

Ahora veremos el resultado de la expresión de la Comb(2, k), usando la formula de la combinatoria, la cual si desarrollamos hallaremos que:

Comb(2,k)= k! /(k-2)!*(2!)=k*(k-1)*(k-2)!/(k-2)!*(2)!

Por lo que al cancelar los términos obtenemos:

Comb(2,k)=k*(k-1)/2

Saludos de Ing.Céspedes.....

[Nordison]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Hola y saludos a los amigos del foro de sumatoria, en esta oportunidad me dirijo a ustedes para hacerles saber, de mas funciones de sumatoria y su correlacion directa con otras areas de la matemática, en esta oprtunidad estudiaremos la funcion de permutacion, que tiene que ver con los numeros factoriales:

n! (lease n factorial) a primera vista se puede definir como (matematicamente hablando así

(n+1)*(n+2)*(n+3)*(n+4)*....*(n+k), de donde n=0 y k cualquier entero positivo, o numero natural

Pero como relacionar suma con el numero factorial?

La respuesta la encontramos al estudiar mas matematicas, y la funcion en el plano bidimensional se encuentra bajo la formulacion siguiente:

F(x)=(x^n)*(e^-x), de donde e es el numero de Euler

Resulta pues que la integral de esta función, (o el area debajo de la curva de esta funcion, en la region acotada de x [0, ∞]) es precisamente el numero factorial o N!

En mis estudios de funciones de sumatoria de curvas que resultan cerradas, podemos entonces decir que:

∑(x^n)*(e^-x), evaluada en el mismo intervalo de la integral, y en especial cuando x tienede al infinito, resulta cierta la igualdad:

∑(x^n)*(e^-x)= n!

Esto puede comprobarse, si hacemos un mini algoritmo de programacion en visual basic, o en una moderna calculadora de ingenieria como casio o hewle packet o HP modernas.

Un ejemplo practico de aplicacion real, seria imaginarnos que tenemos 5 potes de pinturas de diferentes colores, digamos rojo, azul, verde, amarillo y blanco. cuantas combinaciones resultaran posibles si echando en un orden cualquiera lata por lata de pintura en un recipiente?

la respuesta es obvia 5!=120 combinaciones posibles...aja!! pero alguien relaciono esta respuesta con sumatoria??....

es decir:

∑(x^n)*(e^-x)= 5! evaluada esta funcion en el intervalo [0,5].....


En mis proximos mensajes mas curiosidades sobre, uno de los conceptos mas importantes de las matemáticas la sumatoria de funciones!!!

Saludos
Ing.Nordison Céspedes

[Nordison]

Re: Sumatoria de números con exponente X

En el ejercicio anterior, disculpen el error pero la igualdad debe ser evaluada en x:[0, ∞]

de manera que:

∑(x^5)*(e^-x)= 5! evaluada esta funcion en el intervalo [0,∞].....

verifiquenlo con las siguientes lineas de programacion, en visual baic:

de donde valorgrande debe ser una variable numerica, o ustedes lo sustituyen directamente, como en la segunda linea de programacion!:

For i = 0 To valorgrande

s = s + (i ^ 5) * (2.71828182845905 ^ -i) 'define función de sumatoria con i

Next i

Print s

segunda linea de programacion!:

For i = 0 To 10000--- (aqui colocan un valor grande de evaluacion)

s = s + (i ^ 5) * (2.71828182845905 ^ -i) 'define función de sumatoria con i

Next i

Print s

y comprobaran que en efecto el valor tiende a 120=5! como se esperaba!!!

Saludos
Ing.Nordison Cespedes

[No registrado]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Y la sumatoria esta...a que equivale?
(n-2)
∑ (-1)^i * 2^(n-i)=
(i=0)

[henry carrillo]

Re: Sumatoria de números con exponente X

para que te haces tanto problema simplemente la formula es: ( (n(n+1)/2))`^2. listo

[No registrado]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Y la sumatoria esta...a que equivale?
(n-2)
∑ (-1)^i * 2^(n-i)=
(i=0)

a ver aver ....creo que estas evaluando dos variables en una misma sumatoria, sino me equivoco...veras pones a variar a la variable i....Pero que hay de n?...De todas formas a priori es una sumatoria de caracteristicas alternantes, debido al cambio de signos, esto es :
para i=0 tenemos:
2^n

para i=1, tenemos:

-2^n-1

para i=2 tenemos:

2^n-2

para i=3 tenemos:

-2^n-3

para i= 4 tenemos:

2^n-4

si ordenamos términos tendriamos....

2^n-2^(n-1)+2^(n-2)-2^(n-3)+2^(n-4).... aplicando carpinteria aritmetica es similar decir:

2^n -2^n /2 + 2^n /2^2- 2^n /2^3 +2^n /2^4................al parecer segun lo que entiendo del problema de suamtoria planteado. podemos sacar factor comun, esto simplificaria las cosas....

podemos escribir:

(2^n)* {1-1/2+1/4-1/8+1/16.........}......Los términos entre llaves tienden a 1/3...en el infinito numérico eso quiere decir que la serie es convergente la que esta dentro de las llaves...así que el resultado general vendría dado por:

(2^n) / 3 ............ Te recuerdo que es lo que he entendido del problerma....atentamente Ing.Nórdison Céspedes.........

[No registrado]

Re: Sumatoria de números con exponente X

para que te haces tanto problema simplemente la formula es: ( (n(n+1)/2))`^2. listo

Hola y saludos amigo carrillo....es verdad lo que dices sin embargo comento que el valor de las series y de las suamtoria en general va mas alla de lo que aprendemos en matematicas elementales por asi llamarlo, digamos que nadie en su llamado sano juicio no vincularía o relacionaria dos conceptos aparentementes no vinculante como lo es las combinatorias y la matemática estocastica en general, con sumatoria!!!!!...Pero eso es lo que ocurre y demostrarlo es muy lindo que ese concepto al que no se le da "mucha importancia" tiene mas que aportar a mi modo de ver como investigador que soy, que cualquiera pueda siquiera soñar, de manera que la suma como concepto filosoficamente hablando es nada menos y nada mas que la RAIZ de todas las matematicas.....Atte. Ing. Nórdison Céspedes....Como reto deberías definir al foro un concepto de suma........Yo tengo el mio producto de años de investigaciones.....me gustaría que lo compartieramos si es de tu buen agrado, entendiemiento y parecer....

[No registrado]

Re: Sumatoria de números con exponente X

si es posible

[No registrado]

importancia de las series para reflexionar, y seguir investigando!!!

Maravillosas formulas de sumatorias demostradas por Ing. Nórdison Céspedes, en su libro
Mi Tratado de Sumatoria, una de ellas:

π ~ ∑(2*a÷(a2+x2))-1/a.

Donde (a) es cualquier numero real positivo diferente de cero.
Y la sumatoria se evaluará con números naturales iniciando el evalúo funcional desde
x=0 hasta +infinito.
Consideraciones previas:
a) Se supone que pi (π), es un número irracional.
b) Todos hasta la fecha aceptamos que pi (π), es un número irracional.

Preguntas de interés:
A partir de las aseveraciones anteriores, resulta interesante la formula mostrada con anterioridad, supongamos que en la sumatoria anterior sea (a) un número entero positivo cualquiera diferente de cero, y evaluamos efectivamente en el intervalo de los números naturales (x) hasta un número lo suficientemente grande, resulta muy curioso y/o sospechoso que la suma de números fraccionados (que se dicen ser racionales) en el denominado infinito numérico, converja a un numero irracional.

¿Los números irracionales son pues, producto de la suma de números racionales en el infinito numérico?

¿Puede entonces afirmarse que es posible que los números irracionales, puedan ser producto de la sumatoria de alguna función en el infinito numérico?

¿Es base suficiente la pregunta anterior de contestarse positivamente, para formularse como hipótesis AD HOC, de que ésta afirmación se trata de un axioma?

Un ejemplo más de estas preguntas válidas.

Es la siguiente función del por todos los matemáticos conocidos:
Ya se sabe que Logaritmo neperiano de (2), es decir LN(2)= irracional.
Pero resulta curioso que dicha irracionalidad resulte de la serie armónica de Euler, infinita alternante, que sigue:

∑[(-1)x+1 *1]÷x=LN(2)


Evaluándose desde x =1 hasta +infinito.

Un último ejemplo para añadir mas fuego al asunto, resulta de la formula de Mclaurin y/o Taylor al demostrarse sin duda alguna que el número de Euler que es irracional.
( e)= 2,7182818284590452353602874713527…..
Resulta de la sumatoria:

( e )=1+ [ ∑ (1 ) ÷x! ]

Evaluándose desde x=1 hasta + infinito.

Todo esto nos recuerda que las series o sumatorias, sin duda alguna constituyen ya en su estudio y/o análisis, la cuna de las matemáticas modernas y la raíz de las mismas.
En los meses próximos analizaremos otras series importantes en el universo de la ciencia exacta.

Atentamente Ing. Nórdison Céspedes.

[No registrado]

Re: Sumatoria de números con exponente X

yo llegue a una sumatoria mas simple en funcion de x y ps se introduce los numeros de stirling