Dudas sobre la gravedad

[MARCO GLIESE]

Lo supongo así porque soy muy novato en este tema: La masa de la tierra contrae el espaciotiempo a su alrededor, o sea que cuanto más cerca de la superficie el tiempo pasa más lento y la distancia al suelo se contrae. Cuando se suelta un cuerpo éste sigue la ley del menor esfuerzo: se moverá hacia ese lugar sin dejar el estado inercial porque no recibe fuerzas y seguirá un movimiento uniforme en el espaciotiempo, el cual para un observador será uniformemente acelerado. A esto lo relaciono con lo que se llama "curvatura del espacio" aunque no entiendo bien por qué se llama así.
Espero que esto pueda servir a alguien. Gracias por su atención.

[Fortuna]

Hola Fortuna mi mejor intento para calcular la aceleración te lo resumo en los siguientes pasos.

• calcular los símbolos de Christoffel para la métrica ... si, si, los 64 (unas 16 multiplicaciones sumas y restas de derivadas de la metrica cada una)... no te asustes la gran mayoría son 0.
• reemplazarlos en las 4 ecuaciones diferenciales de las geodésicas...

$\dfrac{\dd^2 x^\mu}{\dd \lambda^2} + {\Gamma^\mu}_{\alpha\beta} \dfrac{\dd x^\alpha}{\dd\lambda}\dfrac{\dd x^\beta}{\dd\lambda} = 0.$

• resolver las ecuaciones diferenciales,para que de ser posible hallar una solución analitica en función del parámetro $\lambda$
• si lo has podido hacer tendrás ahora 4 funciones del tipo

$\left(\begin{aligned}r(\lambda)&=f_1(\lambda)\\<br /> \theta(\lambda)&=f_2(\lambda)\\<br /> \phi(\lambda)&=f_3(\lambda)\\<br /> t(\lambda)&=f_4(\lambda)\end{aligned}\right.$

si primamos las derivadas respecto del parámetro $\lambda$ de la curva sabemos que la velocidad radial por ejemplo es

$v_r=\dfrac{\partial{r}}{\partial{t}}=\dfrac{\partial{r}}{\partial{\lambda}}\dfrac{\partial{\lambda}}{\partial{t}}=\dfrac{\dfrac{\partial{r}}{\partial{\lambda}}}{\dfrac{\partial{t}}{\partial{\lambda}}}=\dfrac{f_1'}{f_4'}<br />$

• para obtener ahora la aceleración necesitas resolver

$a_r=\dfrac{\partial{v_r}}{\partial{t}}=\dfrac{\partial{\left(\dfrac{f_1'}{f_4'}\right)}}{\partial{t}}$

del mismo modo puedes proceder para las aceleraciones angulares y azimutales...

Si no puedes hallar una ecuación analitica, tienes que recurrir a algún metodo numérico...

Gracias, Richard R Richard . Aún no puedo llegar a comprender todo lo que me pones, pero lo haré.

Quiero aclarar que lo que puse en mi post #6

$ds_{s}^{2}-ds_{m}^{2}=-(\frac{2GM}{r})dt^{2}-(\frac{1}{1-\frac{2GM}{rc^{2}}}-1)dr^{2}$

no es una métrica, sino la diferencia de la métrica de Métrica de Minkowsky y la de Schwarzschild. Es un poco cualitativo pero tiene dos ventajas, no depende de las condiciones iniciales (o eso creo) (y creo que ya no necesitamos calcular geodésicas) y siempre es negativa. El ser siempre negativa indica cualitativamente que el espacio-tiempo se contrae con la presencia de una masa y eso es lo que hace que un objeto de prueba se acerque a la masa más de lo que haría en un espacio de Minkowsky. Creo que eso muestra más sencillamente que la gravedad es geometría, no una fuerza. Seguro que la manera correcta es la que indicas, pero para legos es demasiado complicado y lo que queremos es ese concepto de describir la gravedad como geometría.

PD. Creo que debería restar las raíces cuadradas de los valores absolutos de las métricas de los dos espacios. (si es que esto tiene sentido).

[Richard R Richard]

Hola Fortuna mi mejor intento para calcular la aceleración te lo resumo en los siguientes pasos.

• calcular los símbolos de Christoffel para la métrica ... si, si, los 64 (unas 16 multiplicaciones sumas y restas de derivadas de la metrica cada una)... no te asustes la gran mayoría son 0.
• reemplazarlos en las 4 ecuaciones diferenciales de las geodésicas...

$\dfrac{\dd^2 x^\mu}{\dd \lambda^2} + {\Gamma^\mu}_{\alpha\beta} \dfrac{\dd x^\alpha}{\dd\lambda}\dfrac{\dd x^\beta}{\dd\lambda} = 0.$

• resolver las ecuaciones diferenciales,para que de ser posible hallar una solución analitica en función del parámetro $\lambda$
• si lo has podido hacer tendrás ahora 4 funciones del tipo

$\left(\begin{aligned}r(\lambda)&=f_1(\lambda)\\<br /> \theta(\lambda)&=f_2(\lambda)\\<br /> \phi(\lambda)&=f_3(\lambda)\\<br /> t(\lambda)&=f_4(\lambda)\end{aligned}\right.$

si primamos las derivadas respecto del parámetro $\lambda$ de la curva sabemos que la velocidad radial por ejemplo es

$v_r=\dfrac{\partial{r}}{\partial{t}}=\dfrac{\partial{r}}{\partial{\lambda}}\dfrac{\partial{\lambda}}{\partial{t}}=\dfrac{\dfrac{\partial{r}}{\partial{\lambda}}}{\dfrac{\partial{t}}{\partial{\lambda}}}=\dfrac{f_1'}{f_4'}<br />$

• para obtener ahora la aceleración necesitas resolver

$a_r=\dfrac{\partial{v_r}}{\partial{t}}=\dfrac{\partial{\left(\dfrac{f_1'}{f_4'}\right)}}{\partial{t}}$

del mismo modo puedes proceder para las aceleraciones angulares y azimutales...

Si no puedes hallar una ecuación analitica, tienes que recurrir a algún metodo numérico...

[Sr_KratS]

Aver, la deformación no es algo dinámico, en particular la métrica de Schwarzchild es mas fácil entenderla si ponemos nuestro origen de sistema de referencia espacial en el centro de la masa, entonces es la energía de esa masa la que deforma el espacio y listo queda así, nada cambia en el tiempo mientras tengas esa masa en esa región, el espacio queda deformado , con eso me refiero a que la deformación no es algo que sucede en el transcurso del tiempo (por lo menos en esta métrica).


Si luego traes una partícula o cuerpo de masa despreciable, y quieras ver como es la cinemática y la dinámica en ese espacio, las trayectorias que describa dependen de la posición inicial y de la velocidad inicial nada mas, ya no hay fuerzas que actuen sobre ella...

Si tiras una pelota esta vuelve, si la tiras mas alto tardara mas en volver , si la tiras mas inclinada llega mas o menos lejos etc, con las geodésicas sucede lo mismo, según las condiciones iniciales, obtienes una trayectoria, la diferencia radica en que en mecánica newtoniana el cambio de dirección obedecía a una fuerza central gravitatoria, y ahora es el espacio que te proporciona una la linea "mas recta y corta" para que se muevan los objetos.


En un espacio curvo, definido por este tipo de métricas, si fijas posición y velocidad inicial, la partícula sigue una trayectoria de caída libre, ya no sientes la gravedad, de hecho en los satélites no la hay y están a solo 400km de la superficie de la tierra, (donde gravedad hay) que es lo que pasa entonces,

• estar inmóvil, en ausencia de gravedad
• moverse con velocidad constante sin aplicar fuerza, en ausencia de gravedad.
• estar en caída libre, o en órbita que es lo mismo, inmerso en un campo gravitatorio,

son situaciones similares que tu cuerpo no puede distinguir, todo depende de las condiciones iniciales del movimiento y del tipo de espacio en que te encuentras.

las dos primeras son posibles en espacios planos ideales, y la tercera en espacio curvo.

Ejemplo si te metes en un satélite, que quitas toda velocidad angular respeto a la tierra, cierras la mirilla, no tienes forma de darte cuenta si esta quieto, si vas a velocidad constante o bien si golpearas la superficie de la tierra, la gravedad habrá desaparecido para ti mientras viajas por una geodesia del espaciotiempo, (solo habrá efecto de marea pero eso es harina de otro costal).

Comente sin haber visto el video, pero creo que va de lo mismo... jaja casualidad.

Creo que formule mal mi última pregunta, pero si, lo que dijiste es básicamente lo mismo que dice el vídeo.

cómo dice el vídeo, "estar quieto es solo moverse en el tiempo pero si el tiempo está curvado y esta mezcla de espacio-tiempo sucede, estar quieto en un espacio tiempo curvo te puede llevar a moverte también por el espacio, eso básicamente es caer"

Es cierto eso????(quiero confirmar) Creo que es parecido a lo que tú dijiste unos comentarios más arriba

[Richard R Richard]

Creo que ya entiendo, en parte porque el 3er párrafo que leí me recordó a un video de Quantumfracture

https://youtu.be/7vhc-hMWclY

Okay, perdona si te molesto pero necesito saber si estoy en lo correcto, entonces, cuando la mezcla de espacio-tiempo sucede y se deforma, nos estamos moviendo en el espacio también????

Aver, la deformación no es algo dinámico, en particular la métrica de Schwarzchild es mas fácil entenderla si ponemos nuestro origen de sistema de referencia espacial en el centro de la masa, entonces es la energía de esa masa la que deforma el espacio y listo queda así, nada cambia en el tiempo mientras tengas esa masa en esa región, el espacio queda deformado , con eso me refiero a que la deformación no es algo que sucede en el transcurso del tiempo (por lo menos en esta métrica).


Si luego traes una partícula o cuerpo de masa despreciable, y quieras ver como es la cinemática y la dinámica en ese espacio, las trayectorias que describa dependen de la posición inicial y de la velocidad inicial nada mas, ya no hay fuerzas que actuen sobre ella...

Si tiras una pelota esta vuelve, si la tiras mas alto tardara mas en volver , si la tiras mas inclinada llega mas o menos lejos etc, con las geodésicas sucede lo mismo, según las condiciones iniciales, obtienes una trayectoria, la diferencia radica en que en mecánica newtoniana el cambio de dirección obedecía a una fuerza central gravitatoria, y ahora es el espacio que te proporciona una la linea "mas recta y corta" para que se muevan los objetos.


En un espacio curvo, definido por este tipo de métricas, si fijas posición y velocidad inicial, la partícula sigue una trayectoria de caída libre, ya no sientes la gravedad, de hecho en los satélites no la hay y están a solo 400km de la superficie de la tierra, (donde gravedad hay) que es lo que pasa entonces,

• estar inmóvil, en ausencia de gravedad
• moverse con velocidad constante sin aplicar fuerza, en ausencia de gravedad.
• estar en caída libre, o en órbita que es lo mismo, inmerso en un campo gravitatorio,

son situaciones similares que tu cuerpo no puede distinguir, todo depende de las condiciones iniciales del movimiento y del tipo de espacio en que te encuentras.

las dos primeras son posibles en espacios planos ideales, y la tercera en espacio curvo.

Ejemplo si te metes en un satélite, que quitas toda velocidad angular respeto a la tierra, cierras la mirilla, no tienes forma de darte cuenta si esta quieto, si vas a velocidad constante o bien si golpearas la superficie de la tierra, la gravedad habrá desaparecido para ti mientras viajas por una geodesia del espaciotiempo, (solo habrá efecto de marea pero eso es harina de otro costal).

Comente sin haber visto el video, pero creo que va de lo mismo... jaja casualidad.

[Sr_KratS]

Hola Sr. KratS Si vas a responder al hilo conviene que lo hagas con el botón responder , no con el de comentario...

Todo cuerpo que sueltes esta en caida libre, con o sin velocidad inicial.
Cual es la diferencia entre la tierra o el espacio, es lo mismo, si en la tierra no hubiera atmósfera, podrías enviar una bala lo suficientemente rápido para que gire al raz de la tierra(osea que la orbite), dando un giro completo. Un tiro parabólico newtoniano, es una aproximación a lo que realmente es, un pequeño arco de una órbita elíptica. (y esa elipse una aproximación a las geodesias de Einstein)
En un espacio plano las variaciones de espacio por unidad de tiempo, podemos relacionarlas con la velocidad, teniendo un intervalo constante (movimiento libre).
al poner con velocidad nula , las coordenadas de posición se mantiene inalterada con el tiempo.

En espacios curvos también se conserva el intervalo pero lo que tienes que entender es que el tiempo se mezcla con el espacio en la métrica, si hay variación de tiempo, debe haber variación de alguno de las tres dimensiones espaciales,(lo que no pasaba en espacio planos). Luego si por elección pones nulas las velocidades angulares, entonces debido a la forma de la métrica , la única que puede compensar la variación del intervalo provocaría la coordenada tiempo es la coordenada radial, por lo que la partícula se mueve conservando el intervalo(en caída libre), en dirección radial hacia el centro.

imagina un cierre o cremallera de la ropa, largo recto, cada gancho esta separado del siguiente por la misma distancia, puedes decir que avanzas contando la mima cantidad de ganchos a izquierda y derecha, en un espacio curvo , los ganchos, están mas comprimido cerca de la masa, la única forma de avanzar, contando la misma cantidad de ganchos por unidad de tiempo a izquierda y derecha es ir girando alrededor de la masa , si te detienes v=0, igual la métrica te pedirá que continuas contando ganchos, lo haces cayendo, y tendrás lo mismos a izquierda y derecha, por unidad de tiempo desde tu propia óptica.

Creo que ya entiendo, en parte porque el 3er párrafo que leí me recordó a un video de Quantumfracture

https://youtu.be/7vhc-hMWclY

Okay, perdona si te molesto pero necesito saber si estoy en lo correcto, entonces, cuando la mezcla de espacio-tiempo sucede y se deforma, nos estamos moviendo en el espacio también????

[Richard R Richard]

Hola Sr. KratS Si vas a responder al hilo conviene que lo hagas con el botón responder , no con el de comentario...

Todo cuerpo que sueltes esta en caida libre, con o sin velocidad inicial.
Cual es la diferencia entre la tierra o el espacio, es lo mismo, si en la tierra no hubiera atmósfera, podrías enviar una bala lo suficientemente rápido para que gire al raz de la tierra(osea que la orbite), dando un giro completo. Un tiro parabólico newtoniano, es una aproximación a lo que realmente es, un pequeño arco de una órbita elíptica. (y esa elipse una aproximación a las geodesias de Einstein)
En un espacio plano las variaciones de espacio por unidad de tiempo, podemos relacionarlas con la velocidad, teniendo un intervalo constante (movimiento libre).
al poner con velocidad nula , las coordenadas de posición se mantiene inalterada con el tiempo.

En espacios curvos también se conserva el intervalo pero lo que tienes que entender es que el tiempo se mezcla con el espacio en la métrica, si hay variación de tiempo, debe haber variación de alguno de las tres dimensiones espaciales,(lo que no pasaba en espacio planos). Luego si por elección pones nulas las velocidades angulares, entonces debido a la forma de la métrica , la única que puede compensar la variación del intervalo provocaría la coordenada tiempo es la coordenada radial, por lo que la partícula se mueve conservando el intervalo(en caída libre), en dirección radial hacia el centro.

imagina un cierre o cremallera de la ropa, largo recto, cada gancho esta separado del siguiente por la misma distancia, puedes decir que avanzas contando la mima cantidad de ganchos a izquierda y derecha, en un espacio curvo , los ganchos, están mas comprimido cerca de la masa, la única forma de avanzar, contando la misma cantidad de ganchos por unidad de tiempo a izquierda y derecha es ir girando alrededor de la masa , si te detienes v=0, igual la métrica te pedirá que continuas contando ganchos, lo haces cayendo, y tendrás lo mismos a izquierda y derecha, por unidad de tiempo desde tu propia óptica.

[Sr_KratS]

Oye Richard, me podrías explicar(de una manera más "física")lo que plantee unos comentarios más arriba, me refiero a esto

"Pero, que pasaría si en vez de ser planetas, fuera la tierra y un objeto

Es decir, si estoy en la tierra(en la superficie) y tengo un objeto en la mano y lo suelto, obviamente caerá, pero, porque cae???? Si me respondes que es por la curvatura del espacio-tiempo, entonces, como hace la curvatura para hacer que caiga????
(todo esto estando en la tierra)

Gracias de antemano "

[Richard R Richard]

Hola, si lo que quieren saber es porque un cuerpo que se deja sin velocidad inicial en un espacio tiempo curvo evolución adquiriendo velocidad en dirección de la masa, lo podría explicar al menos matemáticamente ,sin ser nada experto.
Si resuelven las ecuaciones diferenciales de las geodésicas, de ser posible de hacer explícitamente despejando la posición, si varias el parámetro en que quedan esas 4 ecuaciones, verán que si la velocidad es nula, no hay forma de que el objeto cambie de posición angularmente (con la métrica de Schwarzchild), pero si es posible que evolucione temporalmente y radialmente. La gráfica conjunta de estas funciones permite ver que si aumenta el tiempo el radio disminuye, lo que comunmente decimos el cuerpo cae. De ser posible despejar una ecuación que relaciones posición con tiempo, no tendríamos que obtener demasiadas diferencias con las ecuaciones de la cinemática newtoniana.
Lo que pasa es que con Newtoniana g es constante, pero aquí deliberadamente varia con el radio.

[Sr_KratS]

Pero, que pasaría si en vez de ser planetas, fuera la tierra y un objeto

Es decir, si estoy en la tierra(en la superficie) y tengo un objeto en la mano y lo suelto, obviamente caerá, pero, porque cae???? Si me respondes que es por la curvatura del espacio-tiempo, entonces, como hace la curvatura para hacer que caiga????
(todo esto estando en la tierra)

Gracias de antemano

[Sr_KratS]

Ya resolviste tu duda???? Porque yo sigo igual :"v

[Weip]

Hola Fortuna. Para sacar la aceleración primero necesitas un camino en el espaciotiempo. Lo que has escrito es la métrica y de ahí puedes sacar los símbolos de Christoffel gracias a los cuales se puede determinar la conexión de Levi-Civita para escribir la ecuación de las geodésicas que dice sater o para determinar la derivada covariante, elemento necesario para poder calcular la aceleración de un móvil.

[sater]

Buenas Fortuna. No soy experto, pero te digo lo que creo.
En relatividad general, la ecuación de las geodésicas es la afirmación de que la aceleración (covariante) es nula. Por eso decimos que las partículas evolucionan libremente (no están siendo aceleradas), y su aceleración nula implica que siguen el camino "más recto posible", pero en un espaciotiempo curvo. De ahí también eliminar la interacción gravitatoria (y en visión de Einstein todas las demás) del listado de fuerzas, pues la gravedad es simplemente la manifestación de que las partículas se mueven libremente por un espaciotiempo curvo.

[Fortuna]

Una pregunta, para los expertos. ¿Se puede sacar la aceleración de la última expresión?

[Fortuna]

A ver si puedo aclarar un poco, por lo que ido leyendo de relatividad general. Tal como he entendido es lo siguiente. Aunque se puede hacer cualquier métrica vamos a hacer la comparación de cómo la deformación del espacio al cambiar la métrica desde el espacio de Minkowsky (donde no hay masas gravitatotrias y el espacio es plano) a la métrica del espacio de Schwarzschild (que incluye una masa central y curva el espacio) hace que las distancia entre un punto y la posición de la masa central decrezca.

Métrica de Minkowsky en coordenadas esféricas.

$ds_{m}^{2}=c^{2}dt^{2}-dr^{2}-d\Omega^{2}$

Aquí $\Omega$ representa la información angular.


Métrica de Schwarzschild:

$ds_{s}^{2}=c^{2}(1-\frac{2GM}{rc^{2}})dt^{2}-(\frac{1}{1-\frac{2GM}{rc^{2}}})dr^{2}-d\Omega^{2}$

La diferencia entre una y otra, a una distancia suficiente como para que $1-\frac{2GM}{rc^{2}}>0$

$ds_{s}^{2}-ds_{m}^{2}=-(\frac{2GM}{r})dt^{2}-(\frac{1}{1-\frac{2GM}{rc^{2}}}-1)dr^{2}=-(\frac{2GM}{r})dt^{2}-(\frac{\frac{2GM}{rc^{2}}}{1-\frac{2GM}{rc^{2}}})dr^{2}$

Como $\frac{2GM}{r}$ es positivo y hemos escogido un radio superior al de Schwarzschild con la condición $1-\frac{2GM}{rc^{2}}>0$ vemos que la expresión es negativa, lo que indica que distancia espacio-temporal se ha acortado respecto a si no hubiera ninguna masa gravitacional.