Problema de objeto en órbita

[inakigarber]

Buenas noches;

Hace algunos días que me planteo el siguiente problema, pero no sé si lo estoy haciendo muy bien. Supongamos que tenemos un objeto en órbita tal que su órbita permanece en un radio constante y también con un ángulo longitudinal $\varphi$ constante, permaneciendo constante el ángulo azimutal $\theta$. Esto sería el equivalente a un satélite que orbitara alrededor de la tierra pasando por los polos. He intentado hacerlo, pero no sé si me estoy perdiendo.

Bien la métrica nos quedaría como esta, si no estoy equivocado.
$G_{ab}=\begin{pmatrix}(1-a/r) & 0&0&0 \\0 & -1&0&0\\0&0&-r^2&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}$
Siendo $a=\dfrac{2GM}{c^2}$
El tensor congugado sería;
$G^{ab}=\begin{pmatrix}1/(1-a/r) & 0&0&0 \\0 & -1&0&0\\0&0&-r^{-2}&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}$

Las derivadas no nulas que me salen (haciendo $x^1=c\tau, x^2=r, x^3=\theta, x^4=\varphi$)
$\dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^2}=\dfrac{a}{r^2}$ y $\dfrac{\partial g_{33}}{\partial x^2}=-2r$
y los símbolos de Christoffel;
$\Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{21}=\dfrac{a}{2r(r-a)}$
$\Gamma^2_{11}=\dfrac{a}{2r^2}$
$\Gamma^3_{32}=\Gamma^3_{23}=\dfrac{1}{r}$
$\Gamma^4_{32}=\Gamma^4_{23}=r$
Bien, el problema me viene cuando intento tratar la ecuación relativa al tiempo.
$\dfrac{\partial^2 x^1}{\partial t^2}+\Gamma^1_{jk}\dfrac{\partial x^j}{\partial x^t}\dfrac{\partial x^k}{\partial x^t}=0$
Como solo he obtenido un único Christoffel con superínice=1, me sale;
$\dfrac{\partial^2 x^1}{\partial t^2}+\left(\dfrac{a}{r(r-a)}\right)\dfrac{\partial^2 x^2}{\partial t}\dfrac{\partial x^1}{\partial t}=0$
Ahora bien, como $x^2=r$ es una constante, su derivada es nula, con lo que me queda lo siguiente;
$\dfrac{\partial^2 x^1}{\partial t^2}=0$
Esto me lleva a una situación que me parece chocante;
Cuando en este hilo sobre la caída libre de un objeto en una caída lineal llegue a la conclusión de que un objeto en caída libre su tiempo debe "acelerar" con respecto al de un observador que no está en caída libre, pensé que dado que la caída libre ó el estar en órbita son equivalentes también debería obtener el mismo resultado en este caso. Pero mirándolo desde otro punto de vista en este caso el objeto permanece a una distancia constante respecto a la fuente de gravedad, si -al igual que en la física clásica- la velocidad de este objeto permanece constante la diferencia temporal debida a la relatividad especial también será constante, por lo que podría ser correcto el resultado que he obtenido.

¿Cómo lo veis?

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Buenas noches;

Hace algunos días que me planteo el siguiente problema, pero no sé si lo estoy haciendo muy bien. Supongamos que tenemos un objeto en órbita tal que su órbita permanece en un radio constante y también con un ángulo longitudinal $\varphi$ constante, permaneciendo constante el ángulo azimutal $\theta$. Esto sería el equivalente a un satélite que orbitara alrededor de la tierra pasando por los polos. He intentado hacerlo, pero no sé si me estoy perdiendo..

Antes que nada, si las tres coordenadas $r,\theta,\varphi$ son constantes, el objeto esta estático, no hay orbita circular , debes liberar una variable o bien $\varphi$ cuando $\theta=\pi /2$ giras sobre el ecuador, o bien giras con $\theta$ variable en cualquier meridiano definido por$\varphi \in [0,2\pi)=cte$ y si no estoy invirtiendo roles de variables.

Saludos

[inakigarber]

Antes que nada, si las tres coordenadas $r,\theta,\varphi$ son constantes, el objeto esta estático, no hay orbita circular , debes liberar una variable o bien $\varphi$ cuando $\theta=\pi /2$ giras sobre el ecuador, o bien giras con $\theta$ variable en cualquier meridiano definido por$\varphi \in [0,2\pi)=cte$ y si no estoy invirtiendo roles de variables.

Saludos

Cierto, me equivoqué, quería decir que r y $\varphi$ permanecen constantes, siendo $\theta$ variable. Esto se correspondería a una órbita que recorre un meridiano.

[Richard R Richard]

Bien, como ahora la distancia radial es constante, los relojes no aceleran su paso entre sí, pero esto no quita que la cantidad de tiempo entre sus tictac sea diferente ,su diferencia de velocidades es constante.(en el otro hilo aparte de constante (que no cambia) era nula la diferencia)
Hay dos efectos que se contraponen y casi se cancelan pero sigue habiendo diferencia residual igual.
Por un lado el reloj en la nave orbitando va más rapido que el de tierra, por estar en caída libre.
A la vez desde tierra la nave tiene velocidad relativa así que por relatividad especial su tiempo ralentiza.
Se ha podido medir cada uno de los efectos por separado y cuando están combinados confirmando que la teoría funciona experimentalmente.
Las pruebas están en el funcionamiento exacto de los relojes de los GPS, y en el experimento de Hafele y Keating. Corregido
Hay un hilo en el foro que hace el calculo de ambas diferencias de tiempo, si lo hallo te lo enlazo.

[Alriga]

...Se ha podido medir cada uno de los efectos por separado y cuando están combinados confirmando que la teoría funciona experimentalmente.
L pruebas esta en el funcionamiento exacto de los relojes de los GPS, y en el experimento de Hafele y Kaeting Keating.
Hay un hilo en el foro que hace el calculo de ambas diferencias de tiempo, si lo hallo te lo enlazo...

El hilo al que se refiere Richard R Richard es Experimento Hafele Keating

Saludos.

[inakigarber]

Buenas noches;

Después de varios días de cálculos he llegado a alguna parte, pero no sé si he llegado a buen puerto. He pretendido calcular las geodésicas de una trayectoria, en este caso con los parámetros r y $\theta$ constantes. En este caso solo hay una geodésica que es la que corresponde a la orbita ecuatorial $\theta=\pi/2$, para ello he calculado las derivadas no nulas, los símbolos de Christoffel de la métrica de Schwarszchild y finalmente he hecho las simplificaciones pertinentes teniendo en cuenta que si r y $\theta$ son constantes, entonces tenemos que
$\dfrac{\partial r}{\partial \tau}=\dfrac{\partial \theta}{\partial \tau}=0$ y que $\dfrac{\partial^2 r}{\partial \tau^2}=\dfrac{\partial^2 \theta}{\partial \tau^2}=0$

Entonces las ecuaciones que me han salido son; (Nota, para simplificar he establecido $a=\dfrac{2GM}{c^2}$ (es decir el radio de Schwarszchild))

1) coordenada t

$\dfrac{\partial^2 t}{\partial \tau^2}=0$

2) coordenada r

$(a-r)Sen^2(\theta)\left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial \tau}\right)^2-\dfrac{(a-r)a}{2r^3}\left(\dfrac{\partial t}{\partial \tau}\right)^2=0$

3) coordenada $\theta$

$-Cos(\theta)Sen(\theta)\left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial \tau}\right)^2=0$

4) coordenada $\varphi$

$\dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial \tau^2}=0$

De las ecuaciones 1) y 4) deduzco que tanto t como $\varphi$ varían linealmente con el tiempo, de manera tal que $\dfrac{\partial t}{\partial \tau}=Q$ y que $\dfrac{\partial \varphi}{\partial \tau}=K$. Donde Q y K son constantes y son valores no nulos.

De manera que las ecuaciones 2 y 3 podríamos reescribirlas como;

$$(a-r)Sen^2(\theta)\left(K\right)^2-\dfrac{(a-r)a}{2r^3}\left(Q\right)^2=0$$

$$-Cos(\theta)Sen(\theta)\left(K\right)^2=0$$

Como sabemos que K no puede ser nula, solo quedan dos posibilidades a)$Sen(\theta)=0$, este caso nos llevaría en la ecuación 2 a la condición de $r=a$, lo cual no tiene mucho sentido, de manera que solo nos quedaría la otra solución; b) $Cos(\theta)=0$, lo cual lleva a la solución correcta, pero esto me lleva en la ecuación 2 y simplificando a la siguiente ecuación cuyo significado no comprendo y que no creo que sea dimensionalmente correcta.

$r=\sqrt[3]{\dfrac{a}{2}\dfrac{\partial t}{\partial \varphi}}$

Saludos.

[Richard R Richard]

$r=\sqrt[3]{\dfrac{a}{2}\dfrac{\partial t}{\partial \varphi}}$

Saludos.

Está bien lograda, he repasado la deducción, pero solo que yo presentaría a la ecuación de esta manera

$\dfrac{\partial \varphi}{\partial t}=\sqrt{\dfrac{ac^2}{2r^3}}$

es decir que la velocidad angular de la órbita depende del ratio del radio con el radio de Schwarzschild.

$\omega=\dfrac{\partial \varphi}{\partial t}=\dfrac cr\sqrt{\dfrac{a}{2r}}$

o visto de otro modo la velocidad tangencial será

$v_t= \omega r =c\sqrt{\dfrac{a}{2r}}$

Ahora ese 2 dividiendo en la ecuación es un tanto extraño pero correcto, ya lo chequee dos veces...

si $r\to a$ al Radio de Schwarzschild me gustaría que la velocidad tangencial tendiese a $c$ y no a $c/\sqrt2$ quizá la RG tiene algo más para enseñarnos.

Aunque siempre la velocidad orbital de una trayectoria circular incluso en la teoría newtoniana es mantiene el mismo ratio con la velocidad de escape

$v_{orb}=\dfrac{v_{esc}}{\sqrt 2}$

aquí también se cumple que si la velocidad de escape es igual a la de la luz cuando el radio es el de Schwarzchild entonces

$r\to a\quad \to\quad v_{orb}=v_t=\dfrac{c}{\sqrt 2}$

y ahora recuerdo que había dicho que.....

Asumo entonces que es una mera coincidencia formulística y no refleja para nada la misma mecánica de un escape.

Son muchas coincidencias.

[inakigarber]

Está bien lograda, he repasado la deducción, pero solo que yo presentaría a la ecuación de esta manera

Lo siento, creo que me equivoque, he repasado los cálculos y lo que debiera salirme es; $r=\sqrt[3]{\dfrac{a}{2}\left (\dfrac{\partial t}{\partial \varphi}\right)^2}$

Vuelvo a encontrar que la ecuación es dimensionalmente incorrecta.
$a=\dfrac{2GM}{c^2}$ es una magnitud expresada en unidades de distancia (El radio de Schwarzschild)
y dado por otra parte $V=\omega r$, $\omega=\dfrac{V}{r}$

Tendré que revisar de nuevo mis cálculos.

[Richard R Richard]

No preste atención a que faltaba el exponente al cuadrado, tu deducción está basada en unidades reducidas c=1 y no aparecen las unidades de la velocidad de la Luz.

[inakigarber]

No estoy de acuerdo, porque la sustitución $a=\dfrac{2GM}{c^2}$ ya incluye el término c.

[Richard R Richard]

Bien la métrica nos quedaría como esta, si no estoy equivocado.
$G_{ab}=\begin{pmatrix}(1-a/r) & 0&0&0 \\0 & -1&0&0\\0&0&-r^2&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}$
Siendo $a=\dfrac{2GM}{c^2}$

Deberías revisar que en realidad la métrica es se escribe

$G_{ab}=\begin{pmatrix}c^2(1-a/r) & 0&0&0 \\0 & -1&0&0\\0&0&-r^2&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}$

Así si no tendrías problemas de unidades y la expresión que obtienes es similar a la que expuse.

como tu haces

Saludos

$x^1=c\tau, x^2=r, x^3=\theta, x^4=\varphi$

en realidad lo que obtuviste es


$r=\sqrt[3]{\dfrac{a}{2}\left (\dfrac{\partial (ct)}{\partial \varphi}\right)^2}\equiv r=\sqrt[3]{\dfrac{a}{2}\left (\dfrac{\partial x^1}{\partial x^4}\right)^2}=x^2$

donde $[ r ]\equiv [ a ]=\mathbf L$ en SI usamos metros