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Problema de objeto en órbita

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  • Problema de objeto en órbita

    Buenas noches;

    Hace algunos días que me planteo el siguiente problema, pero no sé si lo estoy haciendo muy bien. Supongamos que tenemos un objeto en órbita tal que su órbita permanece en un radio constante y también con un ángulo longitudinal constante, permaneciendo constante el ángulo azimutal . Esto sería el equivalente a un satélite que orbitara alrededor de la tierra pasando por los polos. He intentado hacerlo, pero no sé si me estoy perdiendo.

    Bien la métrica nos quedaría como esta, si no estoy equivocado.

    Siendo
    El tensor congugado sería;


    Las derivadas no nulas que me salen (haciendo )
    y
    y los símbolos de Christoffel;




    Bien, el problema me viene cuando intento tratar la ecuación relativa al tiempo.

    Como solo he obtenido un único Christoffel con superínice=1, me sale;

    Ahora bien, como es una constante, su derivada es nula, con lo que me queda lo siguiente;

    Esto me lleva a una situación que me parece chocante;
    Cuando en este hilo sobre la caída libre de un objeto en una caída lineal llegue a la conclusión de que un objeto en caída libre su tiempo debe "acelerar" con respecto al de un observador que no está en caída libre, pensé que dado que la caída libre ó el estar en órbita son equivalentes también debería obtener el mismo resultado en este caso. Pero mirándolo desde otro punto de vista en este caso el objeto permanece a una distancia constante respecto a la fuente de gravedad, si -al igual que en la física clásica- la velocidad de este objeto permanece constante la diferencia temporal debida a la relatividad especial también será constante, por lo que podría ser correcto el resultado que he obtenido.

    ¿Cómo lo veis?

    Saludos y gracias.
    Última edición por inakigarber; 16/05/2023, 22:59:52.
    Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
    No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

  • #2
    Escrito por inakigarber Ver mensaje
    Buenas noches;

    Hace algunos días que me planteo el siguiente problema, pero no sé si lo estoy haciendo muy bien. Supongamos que tenemos un objeto en órbita tal que su órbita permanece en un radio constante y también con un ángulo longitudinal constante, permaneciendo constante el ángulo azimutal . Esto sería el equivalente a un satélite que orbitara alrededor de la tierra pasando por los polos. He intentado hacerlo, pero no sé si me estoy perdiendo..
    Antes que nada, si las tres coordenadas son constantes, el objeto esta estático, no hay orbita circular , debes liberar una variable o bien cuando giras sobre el ecuador, o bien giras con variable en cualquier meridiano definido por y si no estoy invirtiendo roles de variables.

    Saludos

    Comentario


    • #3
      Escrito por Richard R Richard Ver mensaje

      Antes que nada, si las tres coordenadas son constantes, el objeto esta estático, no hay orbita circular , debes liberar una variable o bien cuando giras sobre el ecuador, o bien giras con variable en cualquier meridiano definido por y si no estoy invirtiendo roles de variables.

      Saludos
      Cierto, me equivoqué, quería decir que r y permanecen constantes, siendo variable. Esto se correspondería a una órbita que recorre un meridiano.
      Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
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      Comentario


      • #4
        Bien, como ahora la distancia radial es constante, los relojes no aceleran su paso entre sí, pero esto no quita que la cantidad de tiempo entre sus tictac sea diferente ,su diferencia de velocidades es constante.(en el otro hilo aparte de constante (que no cambia) era nula la diferencia)
        Hay dos efectos que se contraponen y casi se cancelan pero sigue habiendo diferencia residual igual.
        Por un lado el reloj en la nave orbitando va más rapido que el de tierra, por estar en caída libre.
        A la vez desde tierra la nave tiene velocidad relativa así que por relatividad especial su tiempo ralentiza.
        Se ha podido medir cada uno de los efectos por separado y cuando están combinados confirmando que la teoría funciona experimentalmente.
        Las pruebas están en el funcionamiento exacto de los relojes de los GPS, y en el experimento de Hafele y Keating. Corregido
        Hay un hilo en el foro que hace el calculo de ambas diferencias de tiempo, si lo hallo te lo enlazo.
        Última edición por Richard R Richard; 17/05/2023, 22:49:10.

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        • #5
          Escrito por Richard R Richard Ver mensaje

          ...Se ha podido medir cada uno de los efectos por separado y cuando están combinados confirmando que la teoría funciona experimentalmente.
          L pruebas esta en el funcionamiento exacto de los relojes de los GPS, y en el experimento de Hafele y Kaeting Keating.
          Hay un hilo en el foro que hace el calculo de ambas diferencias de tiempo, si lo hallo te lo enlazo...
          El hilo al que se refiere Richard R Richard es Experimento Hafele Keating

          Saludos.
          "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

          Comentario


          • #6
            Buenas noches;

            Después de varios días de cálculos he llegado a alguna parte, pero no sé si he llegado a buen puerto. He pretendido calcular las geodésicas de una trayectoria, en este caso con los parámetros r y constantes. En este caso solo hay una geodésica que es la que corresponde a la orbita ecuatorial , para ello he calculado las derivadas no nulas, los símbolos de Christoffel de la métrica de Schwarszchild y finalmente he hecho las simplificaciones pertinentes teniendo en cuenta que si r y son constantes, entonces tenemos que
            y que

            Entonces las ecuaciones que me han salido son; (Nota, para simplificar he establecido (es decir el radio de Schwarszchild))

            1) coordenada t



            2) coordenada r



            3) coordenada



            4) coordenada



            De las ecuaciones 1) y 4) deduzco que tanto t como varían linealmente con el tiempo, de manera tal que y que . Donde Q y K son constantes y son valores no nulos.

            De manera que las ecuaciones 2 y 3 podríamos reescribirlas como;


            Como sabemos que K no puede ser nula, solo quedan dos posibilidades a), este caso nos llevaría en la ecuación 2 a la condición de , lo cual no tiene mucho sentido, de manera que solo nos quedaría la otra solución; b) , lo cual lleva a la solución correcta, pero esto me lleva en la ecuación 2 y simplificando a la siguiente ecuación cuyo significado no comprendo y que no creo que sea dimensionalmente correcta.



            Saludos.
            Última edición por inakigarber; 30/05/2023, 22:20:36.
            Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
            No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

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            • #7
              Escrito por inakigarber Ver mensaje



              Saludos.
              Está bien lograda, he repasado la deducción, pero solo que yo presentaría a la ecuación de esta manera



              es decir que la velocidad angular de la órbita depende del ratio del radio con el radio de Schwarzschild.



              o visto de otro modo la velocidad tangencial será



              Ahora ese 2 dividiendo en la ecuación es un tanto extraño pero correcto, ya lo chequee dos veces...

              si al Radio de Schwarzschild me gustaría que la velocidad tangencial tendiese a y no a quizá la RG tiene algo más para enseñarnos.

              Aunque siempre la velocidad orbital de una trayectoria circular incluso en la teoría newtoniana es mantiene el mismo ratio con la velocidad de escape



              aquí también se cumple que si la velocidad de escape es igual a la de la luz cuando el radio es el de Schwarzchild entonces



              y ahora recuerdo que había dicho que.....

              Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
              Asumo entonces que es una mera coincidencia formulística y no refleja para nada la misma mecánica de un escape.
              Son muchas coincidencias.
              Última edición por Richard R Richard; 01/06/2023, 02:03:23.

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              • #8
                Escrito por Richard R Richard Ver mensaje

                Está bien lograda, he repasado la deducción, pero solo que yo presentaría a la ecuación de esta manera
                Lo siento, creo que me equivoque, he repasado los cálculos y lo que debiera salirme es;

                Vuelvo a encontrar que la ecuación es dimensionalmente incorrecta.
                es una magnitud expresada en unidades de distancia (El radio de Schwarzschild)
                y dado por otra parte ,

                Tendré que revisar de nuevo mis cálculos.
                Última edición por inakigarber; 01/06/2023, 21:42:30.
                Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
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                • Richard R Richard
                  Richard R Richard comentado
                  Editando un comentario
                  No preste atención a que faltaba el exponente al cuadrado, tu deducción está basada en unidades reducidas c=1 y no aparecen las unidades de la velocidad de la Luz.

                • inakigarber
                  inakigarber comentado
                  Editando un comentario
                  No estoy de acuerdo, porque la sustitución ya incluye el término c.

              • #9
                Escrito por inakigarber Ver mensaje

                Bien la métrica nos quedaría como esta, si no estoy equivocado.

                Siendo

                Deberías revisar que en realidad la métrica es se escribe



                Así si no tendrías problemas de unidades y la expresión que obtienes es similar a la que expuse.

                como tu haces

                Saludos

                Escrito por inakigarber Ver mensaje

                en realidad lo que obtuviste es




                donde en SI usamos metros
                Última edición por Richard R Richard; 02/06/2023, 02:18:05.

                Comentario


                • #10
                  Buenas noches;

                  Teniendo en cuenta lo que dices, he vuelto a calcular los símbolos de Christoffel, y me sale lo siguiente;










                  Partiendo de la condición que puse en el post #6 (r==constantes) y considerando y que , llego a la siguiente conclusión;
                  , siendo =radio de Schwarszchild, tengo dudas de que lo que obtengo sea correcto.

                  Saludos.
                  Última edición por inakigarber; 06/06/2023, 22:33:32.
                  Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
                  No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

                  Comentario


                  • #11
                    Hola la geodésica de la coordenada radial te queda



                    Veamos que se puede simplificar
















                    No veo como introdujiste ni el exponente al cubo.
                    Última edición por Richard R Richard; 07/06/2023, 01:51:59.

                    Comentario


                    • #12
                      Hola la geodésica de la coordenada temporal te queda



                      si

                      entonces







                      resolviendo la ED







                      resolviendo



                      Esta ecuación nos dice que cuando se está cerca del horizonte un lapso de tiempo pequeño de tiempo propio el tiempo que observa un observador externo es que tiende a infinito si se reduce el radio hasta el de Schwarzschild.

                      Lo loco de todo esto es que en mecánica Newtoniana cuanto mas pequeño el radio de la órbita menor el período orbital, por la tercer ley de Kepler, pero aquí , vemos que cuanto mas cerca del horizonte orbite, mayor será el periodo en realizar una órbita completa visto por un observador lejano.

                      Comentario


                      • #13
                        Buenas noches;

                        Gracias por tus comentarios. Voy a repetir de nuevo los cálculos partiendo de los símbolos de Christoffel arriba expuestos y que considero correctos. Había considerado que se trataba de una órbita tal que r==constantes, por tanto sus derivadas primera y segunda son nulas.

                        1) Coordenada temporal.



                        2) Coordenada radial



                        3) Coordenada



                        4) Coordenada



                        De la ecuación temporal 1) deduzco que
                        De la ecuación 4 deduzco a su vez que
                        Entiendo que ambas constantes son no nulas.
                        Si consideramos , entonces tendríamos;
                        , lo cual sería posible ó bien haciendo a=0, lo cual implicaría ausencia de masa (recordemos que ) ó bien r=a, lo cual significaría que la órbita correspondería con el radio de Schwarzschild, lo cual también sería imposible.

                        Si consideramos , entonces tendríamos;




                        Esto tampoco coincide con el valor que tu obtienes , por lo que supongo que en algo me habré equivocado.

                        Saludos y gracias

                        Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
                        No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

                        Comentario


                        • Richard R Richard
                          Richard R Richard comentado
                          Editando un comentario
                          Ok, fijate que tu estas definiendo las variables para el observador movil (en función de ), y yo te las presenté para un observador lejano (en función de ). Por ello las definiciones de los son diferentes.

                      • #14
                        Escrito por inakigarber Ver mensaje

                        2) Coordenada radial