Calculo de geodésicas en una caida libre radial

[inakigarber]

Buenas noches;

Tras un tiempo sin tocar este asunto he decidido retomar un viejo asunto, he querido calcular las geodésicas de una caída libre radial, pero no se sí lo he hecho muy bien. Dado que la caída es radial $\theta$ y $\varphi$ son constantes y sus correspondientes derivadas son nulas. El tensor métrico me quedaría así;
$g_{\mu v}=\begin{pmatrix}\left(1-\dfrac{2GM}{rc^2}\right) & 0\\0 & -\left(1-\dfrac{2GM}{rc^2}\right)^{-1}\\\end{pmatrix}$
El tensor conjugado sería;
$g^{\mu v}=\begin{pmatrix}\left(1-\dfrac{2GM}{rc^2}\right)^{-1}& 0\\0 & -\left(1-\dfrac{2GM}{rc^2}\right)\\\end{pmatrix}$

Las derivadas no nulas que me salen son las siguientes
$\dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^2}=\dfrac{\partial g_{11}}{\partial r}=\dfrac{2GM}{c^2 r}$**

**Esta expresión está equivocada, lo correcto es;
$\dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^2}=\dfrac{\partial g_{11}}{\partial r}=\dfrac{2GM}{c^2 r^2}$



$\dfrac{\partial g_{22}}{\partial x^2}=\dfrac{\partial g_{22}}{\partial r}=\dfrac{2GMc^2}{(c^2r-2GM)^2}$

Los símbolos de Christoffel no nulos que obtengo son;
$\Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{21}=\left(1-\dfrac{2GM}{rc^2}\right)^{-1}\left(\dfrac{GM}{c^2 r^2}\right)$

$\Gamma^2_{11}=\left(1-\dfrac{2GM}{rc^2}\right)\left(\dfrac{GM}{c^2 r^2}\right)$

y

$\Gamma^2_{22}=-\left(1-\dfrac{2GM}{rc^2}\right)\left(\dfrac{GMc^2}{(c^2 r-2GM)^2}\right)$

Aplicando la fórmula
$\dfrac{d^2 x^i}{d \tau^2}+\Gamma^i_{jk} \dfrac{\partial x^j}{\partial \tau}\dfrac{\partial x^k}{\partial \tau}=0$

Obtengo los siguientes resultados; (hago $v=\dfrac{dr}{d\tau}$)

$$\dfrac{d^2 t}{d \tau^2}+\dfrac{2GM}{(rc^2-2GM)}\dfrac{dt}{d\tau}v=0$$

$$\dfrac{d^2 r}{d \tau^2}+\left[\dfrac{(rc^2-2GM)(GM)}{c^4 r^3}\right]\left(\dfrac{\partial t}{\partial \tau}\right)^2-\left[\dfrac{(rc^2-2GM)GMc^2}{rc^2(c^2 r-2GM)^2}\right]v^2=0$$

No sé si los resultados que he obtenido son correctos, y aún siéndolo, no sé si tengo muy claro que hacer con ellos. Revisándolo de nuevo no veo error.

¿Cómo lo veis?

Saludos.

P.D. Por de pronto, partiendo de la primera geodésica, supongamos que $\dfrac{d^2 t}{d \tau^2}=0$, la única posibilidad que veo es que M=0, por lo que el objeto no estaría en caída libre al no haber una masa. El objeto cayente debe experimentar que su tiempo "acelera" con respecto a $\tau$

[Richard R Richard]

Buenas noches;



¿Cómo lo veis?


P.D. Por de pronto, partiendo de la primera geodésica, supongamos que $\dfrac{d^2 t}{d \tau^2}=0$, la única posibilidad que veo es que M=0, por lo que el objeto no estaría en caída libre al no haber una masa.

Hola en la primera ecuación lo importante es ver que si $r\neq0$ y $M\neq0$ o que $r\neq \dfrac{2GM}{c^2}$ que ya sabes lo que es, entonces el tiempo observado en el sistema acelera respecto del tiempo propio, proporcionalmente al ratio entre ellos y directamente proporcional a la velocidad... esto implica básicamente que lo relojes marchan a tasas distintas y aceleran dependiendo de dicha tasa de la velocidad , de la posición inicial y de la masa que curva el espacio.

El objeto cayente debe experimentar que su tiempo "acelera" con respecto a $\tau$

Acelera o frena dependiendo del signo de v respecto del sistema de referencia de r. Y si la velocidad es cero como en el instante previo a soltar dicha aceleración debe ser nula, solo se detecta si v es distinta de cero es decir mientras viene cayendo.

la segunda te dice que la aceleración respecto de la masa depende no solo de la posición y la masa como en el modelo Newtoniano, sino de velocidad que viene desarrollando y de la tasa en que los tiempos propio y observado difieren.

Saludos

[Weip]

Hola inakigarber. Primer recordar que en el mensaje #6 de este hilo escribí el resultado de las ecuaciones de las geodésicas así que se pueden comparar resultados. Lo escribí en general, el caso de la geodésica radial es hacer $\theta=\phi=0$, por lo que solo hay que ignorar términos que contengan estas variables, los demás son exactamente iguales, y las funciones que van antes de las derivadas son los símbolos de Christoffel. Dicho esto comento un par de cosas.

Las derivadas no nulas que me salen son las siguientes;
$\dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^2}=\dfrac{\partial g_{11}}{\partial r}=\dfrac{2GM}{c^2 r}$
$\dfrac{\partial g_{22}}{\partial x^2}=\dfrac{\partial g_{22}}{\partial r}=\dfrac{2GMc^2}{(c^2r-2GM)^2}$

Es posible que sea un error de copiar solamente, pero por si acaso, en el resultado de la primera derivada va un $r^2$ dividiendo, no un $r$.

Los símbolos de Christoffel no nulos que obtengo son;
$\Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{21}=\left(1-\dfrac{2GM}{rc^2}\right)^{-1}\left(\dfrac{GM}{c^2 r^2}\right)$

$\Gamma^2_{11}=\left(1-\dfrac{2GM}{rc^2}\right)\left(\dfrac{GM}{c^2 r^2}\right)$

y

$\Gamma^2_{22}=-\left(1-\dfrac{2GM}{rc^2}\right)\left(\dfrac{GMc^2}{(c^2 r-2GM)^2}\right)$

Estan bien.

Obtengo los siguientes resultados; (hago $v=\dfrac{dr}{d\tau}$)

$$\dfrac{d^2 t}{d \tau^2}+\dfrac{2GM}{(rc^2-2GM)}\dfrac{dt}{d\tau}v=0$$

$$\dfrac{d^2 r}{d \tau^2}+\left[\dfrac{(rc^2-2GM)(GM)}{c^4 r^3}\right]\left(\dfrac{\partial t}{\partial \tau}\right)^2-\left[\dfrac{(rc^2-2GM)GMc^2}{rc^2(c^2 r-2GM)^2}\right]v^2=0$$

Fíjate que en la segunda ecuación de la geodésica en el último término puedes simplificar un $c^2(c^2r-2GM)$, quedando:

$\dst\frac{dr^2}{d\tau^2}+\frac{GM}{c^4r^3}(c^2r-2GM)\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2-\frac{GM}{r(c^ 2r-2GM)}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2=0$

[inakigarber]

Hola inakigarber.
Es posible que sea un error de copiar solamente, pero por si acaso, en el resultado de la primera derivada va un $r^2$ dividiendo, no un $r$.

Cierto, se me pasó a pesar de que revisé las formulas. La solución de la derivada es $\dfrac{2GM}{c^2 r^2}$ corregido.

[inakigarber]

Gracias por vuestras respuestas.

Acelera o frena dependiendo del signo de v respecto del sistema de referencia de r. Y si la velocidad es cero como en el instante previo a soltar dicha aceleración debe ser nula, solo se detecta si v es distinta de cero es decir mientras viene cayendo.

la segunda te dice que la aceleración respecto de la masa depende no solo de la posición y la masa como en el modelo Newtoniano, sino de velocidad que viene desarrollando y de la tasa en que los tiempos propio y observado difieren.

Saludos

Quizá la palabra "acelera" no fue la mejor escogida. Supongamos que yo soy el observador distante y mi tiempo es $\tau$, siendo t el tiempo del observador en caída libre, por ejemplo en un precipicio. Dado que el observador que cae va acercándose a la fuente de gravedad, su tiempo va volviéndose más lento de acuerdo con la métrica de Schwarszschild, además cada vez va cayendo más rápido y su tiempo va volviéndose más lento por Relatividad Especial. De modo que desde mi sistema de referencia el valor $\dfrac{d^2 t}{d \tau^2}$ deberá ser negativo. Supongamos que la "desaceleración" fuera tal que $\dfrac{d^2 t}{d \tau^2}=-K$, donde K=constante, por lo que $\dfrac{d t}{d \tau}=-K \tau$ y por lo tanto $\dfrac{d t}{d \tau}=-K\tau$, sustituyendo en la ecuación $\dfrac{d^2 t}{d \tau^2}+\dfrac{2GM}{(rc^2-2GM)}\dfrac{dt}{d\tau}v=0$ tendremos;
$-K+\dfrac{2GM}{(rc^2-2GM)}(-K\tau v)=0$, dado que 0=-0 puedo eliminar los signos negativos, sacar factor común de K y eliminarlo por lo que me quedaría $\left[1+\tau v\left(\dfrac{2GM }{rc^2-2GM}\right)\right]=0$, pero no sé si esta expresión me lleva a una conclusión feliz.