Avanzado La homogeneidad

[Visitante]

Hola,

He visto que la definición de que el espacio-tiempo es homogéneo es que todos sus puntos deben ser equivalentes. Este concepto creo que se me escapa un poco, ya que dice que deben ser equivalentes pero no cuál es la relación de equivalencia que se usa. Con esto trata de probar que si tenemos dos sistemas inerciales O y O' (el segundo se mueve con velocidad v uniforme respecto a O) y consideramos un reloj que se mueve con velocidad constante v respecto a S, entonces por la homogeneidad del tiempo y del espacio el tiempo $\tau$ medido por ele reloj en movimiento uniforme ha de verificar

$\frac{\mathrm{\tau} }{\mathrm{t} }=const.$ $\frac{\mathrm{\tau} }{\mathrm{t'} }=const.$

Pero no lo veo tan claro.
También dice que el espacio es isótropo si todas sus direcciones espaciales son equivalentes, pero nuevamente, ¿Cuál es la relación de equivalencia?

[Richard R Richard]

Re: La homogeneidad

Hola malevolex, homogeneidad no refiere exactamente a eso, más bien se utiliza ese concepto en relatividad general para referirse todo el espacio como el universo, es decir a que a grandes escalas no hay diferencias en el contenido del universo , por ejemplo a grandes escalas hay la misma cantidad de materia bariónica(común, átomos, moléculas) , de radiación de materia oscura y de energía oscura por unidad de volumen o espacio, y a la vez que cualquier métrica que se defina debe en el infinito coincidir lo la métrica de Minkowski, que es homogénea e isótropa.([FONT=arial]Que está formado por elementos con características comunes referidas a su clase o naturaleza, lo que permite establecer entre ellos una relación de semejanza y uniformidad.[/FONT])

Es claro que escalas reducidas esto no se cumple es decir, la curvatura del espacio tiempo en el espacio interestelar es distinta a la que puedes observar a las cercanías de una estrella o de un objeto muy masivo como un agujero negro, y puede variar también con el sistema de referencia.

Por otro lado isotropía es otro concepto que indica que las propiedades del espacio tiempo medidas en cualquier dirección espacial poseen el mismo valor a grandes escalas en cualquier dirección espacial, la velocidad de la luz es $c$ , la constante Planck es $h$ , y la constante de gravitación es $G$ etc , y así con todas las características , para el lado que mires todas las propiedades coinciden en valor.([FONT=arial]Que tiene la propiedad de transmitir igualmente en todas direcciones cualquier acción recibida en un punto de su masa.[/FONT])pero no tiene porque ser así con respecto a la coordenada temporal

Recuerdo unos hilos donde me lo explicaron, cuando comencé a participar en el foro

Isotropía del universo


otros muy similares

Espacio tiempo homogéneo pero anisótropo


Superestructura y homogeneidad


con respecto a los relojes en un espacio tiempo de minkowski , donde ya sabes que es isótropo y homogéneo , para cada velocidad relativa entre observadores existe una relación definida entre los espacios y el tiempos medidos por los observadores

esas relaciones son las transformaciones de Lorentz


tengo unas entradas de blog que quizá te interesen

• Como se usan las transformaciones de Lorentz

• Simultaneidad en la Relatividad especial

y si bien la que sigue es más complicada matemáticamente es la que mejor aplica los conceptos de homogeneidad e isotropía

• Deducción matemática de las ecuaciones de Friedmann

[Jaime Rudas]

Re: La homogeneidad

He visto que la definición de que el espacio-tiempo es homogéneo es que todos sus puntos deben ser equivalentes.

Homogéneo significa que tiene las mismas características en todas partes e isótropo, que tiene las mismas características en todas las direcciones. Así las cosas, el espacio tiempo no es, en principio, ni homogéneo ni isótropo. No es homogéneo porque sus características en el pasado no son necesariamente iguales a las del futuro; y no es isótropo porque sus características en dirección al tiempo pueden ser muy diferentes a sus características en dirección a alguna de sus dimensiones espaciales. Por otra parte, según lo que sabemos, el espacio sí es homogéneo e isótropo, pero a muy, muy grandes escalas (supercúmulos de galaxias y mayores), pero a menores escalas no lo es: las galaxias, las estrellas, los planetas y prácticamente todo lo que conocemos, lo podemos diferenciar precisamente porque no está inmerso en una porción homogénea del espacio.
Saludos.

[Weip]

Re: La homogeneidad

Realmente ya te han dicho todo pero si quieres ver definiciones precisas sobre qué significa que el espaciotiempo sea o no homogéneo e isótropo con todo detalle puedes consultar este link de la wikipedia. Aquí se te habla de variedades de Riemann pero las dos definiciones aplican también para el espaciotiempo. Así pues los "equivalentes" de tu primer mensaje vendrían ser la isometría $\varphi$ del link. Aún así tampoco te líes mucho con estas cosas porque al final lo que pone en el link es básicamente lo que te han dicho Richard y Jaime Rudas en palabras. Si acaso añadir que las hipótesis de homogeneidad e isotropía a grandes escalas son las que permiten escribir la métrica FLRW y empezar a hablar de cosmología.

[Visitante]

Re: La homogeneidad

con respecto a los relojes en un espacio tiempo de minkowski , donde ya sabes que es isótropo y homogéneo , para cada velocidad relativa entre observadores existe una relación definida entre los espacios y el tiempos medidos por los observadores

esas relaciones son las transformaciones de Lorentz

A ver, no estoy convencido del todo, sé las transformaciones de Lorentz, pero no veo por qué eso implica que el cociente anterior sea constante... Lo que se usa es el principio de homogeneidad del espacio-tiempo..

Pd: ¿No es un poco contradictorio decir que el universo es homogéneo si tiene las mismas características en todas partes? Es decir, las características que habéis citado (cantidad bariónica, materia oscura...) se refieren más bien a propiedades de la materia o de las fuerzas del universo, pero no estoy del todo seguro que sean características del espacio-tiempo ¿no? Con homogeneidad del espacio-tiempo pensaba a que se refería a una estructura matemática de la geometría del espacio-tiempo, o algo por el estilo, es decir, que sean equivalentes es que se cumpla alguna relación de equivalencia entre las coordenadas, no sé. Pero las características y propiedades que mencionaís me parecen más ligados a fenómenos físicos o a la materia que al "tejido" espacio-temporal.

[Richard R Richard]

Re: La homogeneidad

A ver, no estoy convencido del todo, sé las transformaciones de Lorentz, pero no veo por qué eso implica que el cociente anterior sea constante...

ya no estoy seguro de interpretar bien a lo que te refieres, pero si defines la geometría plana $\mathbb R^3_1$ que se representa con la métrica de Minkowski $s^2=c^2t^2-x^2-y^2-z^2$ mientras te muevas con velocidad constante será cierta tu afirmación

puedes verlo de este modo si $\tau$ es el tiempo propio y $t$ o $t'$ los tiempos en otros sistema de referencia la constante puede ser el factor gamma, que es constante si la velocidad es constante

$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$

Pero también hay espacios-tiempo definidos por otras geometrías , como la de Schwarzchild, donde hay regiones con distintas propiedades que otras, si bien hay muchas simetrías en la coordenada r hay distinta curvatura para cada r .

Por eso cuando normalmente de habla de homogeneidad la entiendo como referida al universo a grandes escalas, si bien hay muchas otras métricas que intentaron describir de algún modo las características del universo.

la métrica de Minkowski es una métrica en la que no hay contenido ni de materia, ni de radiación ni de ninguna otra cosa, es un ente matemático teórico para explicar la relatividad especial, pero la realidad es que no vivimos en un espacio tiempo de Minkowski sino en una realidad que a grandes escalas tiene la métrica FLRW, y en la cercanía de objetos masivos como el planeta Tierra, la métrica es similar a la de Schwarzschild.

¿No es un poco contradictorio decir que el universo es homogéneo si tiene las mismas características en todas partes?

Aver a pequeñas escalas sabemos que el aire, el agua, los metales, la arena , son diferentes entre si , a una escala más grande la Tierra es diferente de la Luna y el sol, luego nuestro sistema solar es diferente al de Alfa Centauri, la Vía Láctea es distinta de Andrómeda y así continuas viendo inhomogeneidades o diferentes propiedades, pero a muy grandes escalas, el fondo cósmico de microondas es similar en todas direcciones, la cantidad de galaxias y cúmulos de galaxias es similar en la dirección que se mire, la cantidad medida de materia y energía oscura es la misma , por eso se dice que es homogéneo el universo, sus componentes básicos son similares y en la misma proporción, la métrica que rige es este modelo la FLRW es homogénea espacialmente, pero no temporalmente .

Con homogeneidad del espacio-tiempo pensaba a que se refería a una estructura matemática de la geometría del espacio-tiempo, o algo por el estilo, es decir, que sean equivalentes es que se cumpla alguna relación de equivalencia entre las coordenadas, no sé. Pero las características y propiedades que mencionaís me parecen más ligados a fenómenos físicos o a la materia que al "tejido" espacio-temporal.

ya ves que el "espacio tiempo" como un ente geométrico no es único y como están todos definidos por su métrica, se interpreta de ellos que sus propiedades varían unos de otros, y en el que se habla especialmente de homogeneidad como un postulado para definirlo es el de la Métrica [FONT=arial]FLRW[/FONT] que relaciona el contenido de materia y energía con la forma del universo, de allí proviene todo lo que hemos explicado.

Por otro lado un espacio vacío solo dotado de una métrica sin contenido alguno (de cualquier tipo de materia o energía ) y plano como el de Minkowski , es lógicamente homogéneo espacialmente.