Fuerza y aceleración en Relatividad Especial

[inakigarber]

Re: Fuerza y aceleración en Relatividad Especial

Que coincide con lo que yo había calculado "al revés", es decir yo partía de la fuerza y calculaba la aceleración, en el post#7...

Me alegro de la coincidencia. Yo también intente al principio programarlo "al revés", pero aunque supongo que lo hice bien, me resulto harto complicado y me desanimé. Después me di cuenta de que me resultaba mas fácil hacerlo así.

Me alegro también, de haber comprendido lo que parecía contra intuitivo (pensando en Newtoniano), que los vectores aceleración y fuerza resultante pudieran no ser paralelos.

Saludos y gracias por la ayuda.

[Alriga]

Re: Fuerza y aceleración en Relatividad Especial

... Para terminar con este hilo he decidido subir este enlace ... ¿Es correcto lo que he subido? ...

Supongo que debe serlo, pues si introduces los valores:

... Vamos a poner un ejemplo numérico que intentará ser ilustrativo: sea una partícula de masa m=1 que se mueve en el plano según el eje x positivo a una velocidad de 0.86603c. Uso un sistema de unidades en el que c=1

$\vec v=0.86603 \ \hat i + 0 \ \hat j$

$\gamma =\dfrac{1}{\sqrt{1-0.86603^2}}= 2$

Aplicamos sobre ella una fuerza F de módulo 11.3137 que forma un ángulo de 45º con la velocidad:

$\vec F=8 \ \hat i + 8 \ \hat j$

¿Qué aceleración provoca? Apliquemos la ecuación de la fuerza en Relatividad Especial ...

$a_x=1 \qquad a_y=4 \qquad \theta=75.96^{\circ} \qquad a=4.1231$

La componente de la aceleración perpendicular a la velocidad es 4 veces mayor que la componente paralela. El módulo de la aceleración a=4.1231 es menor que F/m=11.3137 y el ángulo de la aceleración no coincide con los 45º de la fuerza, sino que es de 75.96º ...

Se obtiene

Que coincide con lo que yo había calculado "al revés", es decir yo partía de la fuerza y calculaba la aceleración, en el post#7

Saludos.

[inakigarber]

Re: Fuerza y aceleración en Relatividad Especial

Buenos dias;
Para terminar con este hilo he decidido subir este enlace. Para hacerlo funcionar, se establece una velocidad (entre 0 y 1c) con el deslizador $v_1$, el ángulo de la velocidad se varía actuando sobre el punto A. La aceleración (tanto su módulo como su ángulo) se establecen variando la posición del punto C (en color rojo). La fuerza resultante sería la fuerza que para esa velocidad y para una masa determinada (deslizador m) produciría dicha aceleración.

¿Es correcto lo que he subido?

Saludos y gracias.

[Alriga]

Re: Fuerza y aceleración en Relatividad Especial

Ya a modo de curiosidad, supongo que en un caso de magnitudes tridimensionales sería cuestión de resolver tres ecuaciones $a_x; \ a_y; \ a_z$ en las que aparecería el escalar $(a_x+a_y+a_z)$

$(a_x+a_y+a_z)$ sería en un caso particular. El escalar que aparecerá siempre multiplicando al vector velocidad es en general:

$\dfrac m{c^2} \gamma^3 \ \vec v \cdot \vec a=\boldsymbol{ \left ( \dfrac m{c^2} \gamma^3 \ v_x a_x + \dfrac m{c^2} \gamma^3 \ v_y a_y + \dfrac m{c^2} \gamma^3 \ v_z a_z \right )}$

Saludos.

[inakigarber]

Re: Fuerza y aceleración en Relatividad Especial

Gracias por tu gran paciencia conmigo;

...Eso está muy mal expresado, tú no "debes introducir" nada. Simplemente, al sustituir los valores numéricos de la Fuerza y de la Velocidad de tu ejemplo, en la ecuación vectorial de la Fuerza Relativista:

$\vec F = m \ \gamma \ \vec a + \dfrac m{c^2} \ \gamma^3 \ (\vec v \cdot \vec a) \ \vec v$

aparece este factor:

$(\vec v \cdot \vec a) \ \vec v$

$(\vec v \cdot \vec a) \ \vec v=\Big ( (0.5 c \ \hat i+0.5 c \ \hat j) \cdot (a_x \ \hat i+a_y \ \hat j) \Big ) \ (0.5 c \ \hat i+0.5 c \ \hat j)=$

Haciendo operaciones:

$=(0.5 c \ a_x+0.5 c \ a_y) \ (0.5 c \ \hat i+0.5 c \ \hat j)=0.25 c^2 (a_x+a_y) \ (\hat i+\hat j)$

$(\vec v \cdot \vec a) \ \vec v=0.25 c^2 (a_x+a_i) \ \hat i + 0.25 c^2 (a_x+a_y) \ \hat j$

El producto escalar de la velocidad por la aceleración, ha provocado que aparezca el escalar $(a_x+a_y)$ afectando a ambas coordenadas, nada misterioso, ya que es una simple consecuencia de las operaciones en este caso numérico particular. La ecuación vectorial completa queda:

...

Si, tienes razón está muy mal expresado, pero no encontraba "mejor" forma de hacerlo, la clave de la cuestión está en que en [FONT=Verdana]$(\vec v \cdot \vec a) \ \vec v$ tengo [/FONT]dentro del paréntesis el producto escalar de dos vectores, lo cual es un escalar (por mucho que me empeñe en no entenderlo ), que al multiplicarlo nuevamente por el $\vec v$ afecta a ambos componentes del vector resultante.

Creo que como castigo debería proponerme cien problemas de cálculo de fuerzas relativistas.

Ya a modo de curiosidad, supongo que en un caso de magnitudes tridimensionales sería cuestión de resolver tres ecuaciones [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] en las que aparecería el escalar [FONT=Verdana]$(a_x+a_y+a_z)$.[/FONT]

[Alriga]

Re: Fuerza y aceleración en Relatividad Especial

... En tu ejemplo, ... Creo que, (si no me equivoco en los cálculos yo también), al igualar componentes "x" con componentes "x", y componentes "y" con componentes "y" de ambos lados de la igualdad se obtiene este sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, que es el que debes resolver:

$15=10\sqrt 2 \ a_x+2.5(\sqrt 2)^3 (a_x+a_y)$

$0=10\sqrt 2 \ a_y+2.5(\sqrt 2)^3(a_x+a_y)$

Sí, la solución de ese sistema de ecuaciones es la que tú dices:

$a_x=\dfrac{9}{8\sqrt{2}}$

$a_y=-\dfrac{3}{8\sqrt{2}}$

$\vec a = \dfrac{9}{8\sqrt{2}}\ \hat i - \dfrac{3}{8\sqrt{2}} \ \hat j$

$a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\dfrac {3\sqrt 5}8$

... Así sí me sale, pero me asalta una duda que no consigo aclarar;
Si dividimos el sistema en dos ecuaciones, una sobre el eje x y otra sobre el eje y ¿Por qué en el segundo término debo introducir el término $(a_x+a_y)$ en ambas ecuaciones? ...

Eso está muy mal expresado, tú no "debes introducir" nada. Simplemente, al sustituir los valores numéricos de la Fuerza y de la Velocidad de tu ejemplo, en la ecuación vectorial de la Fuerza Relativista:

$\vec F = m \ \gamma \ \vec a + \dfrac m{c^2} \ \gamma^3 \ (\vec v \cdot \vec a) \ \vec v$

aparece este factor:

$(\vec v \cdot \vec a) \ \vec v$

$(\vec v \cdot \vec a) \ \vec v=\Big ( (0.5 c \ \hat i+0.5 c \ \hat j) \cdot (a_x \ \hat i+a_y \ \hat j) \Big ) \ (0.5 c \ \hat i+0.5 c \ \hat j)=$

Haciendo operaciones:

$=(0.5 c \ a_x+0.5 c \ a_y) \ (0.5 c \ \hat i+0.5 c \ \hat j)=0.25 c^2 (a_x+a_y) \ (\hat i+\hat j)$

$(\vec v \cdot \vec a) \ \vec v=0.25 c^2 (a_x+a_i) \ \hat i + 0.25 c^2 (a_x+a_y) \ \hat j$

El producto escalar de la velocidad por la aceleración, ha provocado que aparezca el escalar $(a_x+a_y)$ afectando a ambas coordenadas, nada misterioso, ya que es una simple consecuencia de las operaciones en este caso numérico particular. La ecuación vectorial completa queda:

$15 \ \hat i=10\sqrt 2 \ (a_x \ \hat i+a_y \ \hat j)+2.5 (\sqrt 2)^3 \ (a_x+a_i) \ \hat i + 2.5 (\sqrt 2)^3 \ (a_x+a_y) \ \hat j$

$15 \ \hat i=\Big (10\sqrt 2 \ a_x+2.5(\sqrt 2)^3 (a_x+a_y)\Big ) \ \hat i + \Big (10\sqrt 2 \ a_y+2.5(\sqrt 2)^3 (a_x+a_y)\Big ) \ \hat j$

Saludos.

[inakigarber]

Re: Fuerza y aceleración en Relatividad Especial

….En el ejemplo que yo he puesto he elegido la geometría y los valores para que fuese ilustrativo. En tu ejemplo, es más fácil equivocarse. Creo que, (si no me equivoco en los cálculos yo también), al igualar componentes "x" con componentes "x", y componentes "y" con componentes "y" de ambos lados de la igualdad se obtiene este sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, que es el que debes resolver:

$15=10\sqrt 2 \ a_x+2.5(\sqrt 2)^3 (a_x+a_y)$

$0=10\sqrt 2 \ a_y+2.5(\sqrt 2)^3(a_x+a_y)$

Saludos.

Resolviendo, me sale;

$a_x=\dfrac{11,25}{10\sqrt{2}}$

$a_y=\dfrac{-7,5}{20\sqrt{2}}$

$(a_x+a_y)=\dfrac{15}{20\sqrt{2}}$

Así si me sale, pero me asalta una duda que no consigo aclarar;
Si dividimos el sistema en dos ecuaciones, una sobre el eje x y otra sobre el eje y ¿Por qué en el segundo término debo introducir el término $(a_x+a_y)$ en ambas ecuaciones?
Supongo que debe ser una tontería, pero no consigo entenderlo.

Saludos y gracias.

[Alriga]

Re: Fuerza y aceleración en Relatividad Especial

... La solución gráfica al problema que tu me propusiste, sería esta;

Sí, similar. Con las unidades que yo he utilizado, he añadido el gráfico a escala en el post#9.

Saludos.

[inakigarber]

Re: Fuerza y aceleración en Relatividad Especial

Gracias por tu respuesta y por tu tiempo.

..
* La componente de la fuerza en la dirección y sentido de la velocidad tiene módulo $F_x=8$ y provoca una aceleración en la partícula, de módulo $a_x=1$

* Mientras que la componente de la fuerza en dirección perpendicular a la velocidad, aunque también tiene módulo $F_y=8$ provoca una aceleración en la partícula, de módulo $a_y=4$



En el ejemplo que yo he puesto he elegido la geometría y los valores para que fuese ilustrativo. En tu ejemplo, es más fácil equivocarse. Creo que, (si no me equivoco en los cálculos yo también), al igualar componentes "x" con componentes "x", y componentes "y" con componentes "y" de ambos lados de la igualdad se obtiene este sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, que es el que debes resolver:

La solución gráfica al problema que tu me propusiste, sería esta;

De lo que tú me dices, se deduce que el gráfico que puse en un post anterior era equivocado.

[Alriga]

Re: Fuerza y aceleración en Relatividad Especial

... La clave está en aceptar que no solo la dirección de la fuerza, sino también su módulo dependen de la velocidad del observador ...

Es que eso se ve muy claro en el ejemplo que hemos puesto:

... Vamos a poner un ejemplo numérico que intentará ser ilustrativo: sea una partícula de masa m=1 que se mueve en el plano según el eje x positivo a una velocidad de 0.86603c. Uso un sistema de unidades en el que c=1

$\vec v=0.86603 \ \hat i + 0 \ \hat j$

$\gamma =\dfrac{1}{\sqrt{1-0.86603^2}}= 2$

Aplicamos sobre ella una fuerza F de módulo 11.3137 que forma un ángulo de 45º con la velocidad:

$\vec F=8 \ \hat i + 8 \ \hat j$

¿Qué aceleración provoca? Apliquemos la ecuación de la fuerza en Relatividad Especial ...

$a_x=1 \qquad a_y=4 \qquad \theta=75.96^{\circ} \qquad a=4.1231$

La componente de la aceleración perpendicular a la velocidad es 4 veces mayor que la componente paralela. El módulo de la aceleración a=4.1231 es menor que F/m=11.3137 y el ángulo de la aceleración no coincide con los 45º de la fuerza, sino que es de 75.96º ...

* La componente de la fuerza en la dirección y sentido de la velocidad tiene módulo $F_x=8$ y provoca una aceleración en la partícula, de módulo $a_x=1$

* Mientras que la componente de la fuerza en dirección perpendicular a la velocidad, aunque también tiene el mismo módulo $F_y=8$ provoca una aceleración en la partícula, de módulo $a_y=4$

En el gráfico la partícula está en el origen de coordenadas. Como la masa de la partícula es m = 1, en el caso newtoniano la aceleración sería $a_x=8 \quad a_y=8$ , mayor en módulo que en el caso relativista ( $11.3137 > 4.1231$ ) y estaría en la misma dirección que la fuerza aplicada.

... Acabo de ver el ejemplo que me has puesto, voy a intentarlo yo mismo, a ver si sale.
Supongamos que una fuerza de valor F=15 Nw y con un ángulo 0, opera sobre uno objeto de masa m=10 Kg que se desplaza a velocidad $V=0.5c_i;0.5c_j$.
$F=15i;0j$
módulo de la velocidad $V=\sqrt{0.5^2+0.5^2}=0.7071c$
$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{(0.7071c)^2}{c^2}}}=\sqrt{2}$
Aplicando;
$\boxed{\vec F = m \ \gamma \ \vec a + \dfrac m{c^2} \ \gamma^3 \ (\vec v \cdot \vec a) \ \vec v}$
$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+\dfrac{10}{c^2}(\sqrt{2})^3\left[(0.5c_i;0.5c_j)(a_i;a_j)(0.5c_i;0.5c_j) \right]$
$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+\dfrac{10}{c^2}(\sqrt{2})^3\left[(0.25c^2i^2a_i;);(0.25c^2j^2a_j) \right]$
En el producto punto $i^2=j^2=1$
$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+\dfrac{10}{c^2}(\sqrt{2})^3\left[(0.25c^2a_i);(0.25c^2a_j) \right]$
$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+10(\sqrt{2})^3\left[(0.25a_i;0.5c_j);(0.25a_j) \right]$
ordenando y sumando, me queda;
$15i=15\sqrt{2}a_1;0=15\sqrt{2}a_j$
Esto me da una aceleración $a_i=1/\sqrt{2};a_j=0$, pero creo que no es correcto ...

En el ejemplo que yo he puesto he elegido la geometría y los valores para que fuese ilustrativo. En tu ejemplo, es más fácil equivocarse. Creo que, (si no me equivoco en los cálculos yo también), al igualar componentes "x" con componentes "x", y componentes "y" con componentes "y" de ambos lados de la igualdad se obtiene este sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, que es el que debes resolver:

$15=10\sqrt 2 \ a_x+2.5(\sqrt 2)^3 (a_x+a_y)$

$0=10\sqrt 2 \ a_y+2.5(\sqrt 2)^3(a_x+a_y)$

Saludos.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre fuerza centripeta relativista.

Gracias por tu respuesta;
Aún no he leído tu respuesta, pero esta mañana he estado dándole algunas vueltas al tema,
He visualizado un esquema como este, (a ver si voy acercándome a la realidad)

En el que F1 representaría el primer sumando de la fuerza, es decir;$F_1=\dfrac{m_o a}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}}$ y que tiene la dirección de la aceleración,
y F2 representaría al segundo sumando, es decir, $F_2=\dfrac{m_o a V^2}{\left[1-\dfrac{V\cdot V}{c^2} \right]^{3/2}c^2}$ y que tiene la misma dirección que la velocidad.

- - - Actualizado - - -

....Ésto, que se dé (1) y (2), es lo difícil de asumir si se piensa en newtoniano. Pero si se asume que así debe ser, -que la misma fuerza produce aceleraciones diferentes según se aplique a estados diferentes de movimiento de la partícula porque la velocidad de la luz es inalcanzable-, no es de extrañar que la aceleración con la que responde una partícula a una fuerza no esté en la misma dirección que la fuerza.....

Es que pienso en Newtoniano, ese ha sido mi problema.
La clave está en aceptar que no solo la dirección de la fuerza, sino también su módulo dependen de la velocidad del observador.
Echaré un vistazo al problema que propones.

- - - Actualizado - - -
Acabo de ver el ejemplo que me has puesto, voy a intentarlo yo mismo, a ver si sale.
Supongamos que una fuerza de valor F=15 Nw y con un ángulo 0, opera sobre uno objeto de masa m=10 Kg que se desplaza a velocidad $V=0.5c_i;0.5c_j$.
$F=15i;0j$
módulo de la velocidad $V=\sqrt{0.5^2+0.5^2}=0.7071c$
$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{(0.7071c)^2}{c^2}}}=\sqrt{2}$
Aplicando;
$\boxed{\vec F = m \ \gamma \ \vec a + \dfrac m{c^2} \ \gamma^3 \ (\vec v \cdot \vec a) \ \vec v}$
$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+\dfrac{10}{c^2}(\sqrt{2})^3\left[(0.5c_i;0.5c_j)(a_i;a_j)(0.5c_i;0.5c_j) \right]$

[FONT=Verdana]$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+\dfrac{10}{c^2}(\sqrt{2})^3\left[(0.25c^2i^2a_i;);(0.25c^2j^2a_j) \right]$
En el producto punto $i^2=j^2=1$

[FONT=Verdana]$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+\dfrac{10}{c^2}(\sqrt{2})^3\left[(0.25c^2a_i);(0.25c^2a_j) \right]$

[/FONT]

[/FONT]
[FONT=Verdana]$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+10(\sqrt{2})^3\left[(0.25a_i;0.5c_j);(0.25a_j) \right]$
ordenando y sumando, me queda;
[/FONT]

[FONT=Verdana][FONT=Verdana]$15i=15\sqrt{2}a_1;0=15\sqrt{2}a_j$
Esto me da una aceleración $a_i=1/\sqrt{2};a_j=0$, pero creo que no es correcto.

[/FONT][/FONT]

[Alriga]

Re: Fuerza y aceleración en Relatividad Especial

... Me resulta aún chocante que los vectores fuerza y aceleración puedan no ser paralelos. Eso conduciría a la paradoja de que empujáramos un objeto relativista con una fuerza y se moviera en una dirección distinta a la de la fuerza. Lo cual me resulta muy difícil de visualizar. Desde el sistema de referencia de un observador en reposo que viera un objeto relativista sobre el cual opera una fuerza oblicua a este (es decir formando un ángulo que ni fuera nulo ni perpendicular) dicho observador pareciera poder deducir la existencia de una segunda fuerza invisible a esta. (Creo que no me he expresado con mucha claridad, pero no veo forma mejor de hacerlo).

En cambio, a mí me extraña que eso te extrañe. Pero si reflexionas te darás cuenta que, con tus conocimientos actuales de Relatividad, ya tienes interiorizado que eso debe ser así como consecuencia de que, conforme una partícula tiene velocidad próxima a la de la luz, más y más difícil es aumentar su velocidad en esa dirección. Ya sabes que:

1. Si sobre una partícula de masa “m” parada hago una fuerza “F”, ésta responde con una aceleración “a”

$a=\dfrac F m$

2. Mientras que, si sobre una partícula de masa “m” y velocidad “v” hago una fuerza “F” en la misma dirección que la velocidad, la partícula sufre una aceleración “a”

$a=\dfrac F{m \ \gamma^3} < \dfrac F m$

¿De aquí deduces “la existencia de una segunda fuerza invisible” que se opone a la fuerza “F” que tú aplicas? No creo

Ésto, que se dé (1) y (2), es lo difícil de asumir si se piensa en newtoniano. Pero si se asume que así debe ser, -que la misma fuerza produce aceleraciones diferentes según se aplique a estados diferentes de movimiento de la partícula porque la velocidad de la luz es inalcanzable-, no es de extrañar que la aceleración con la que responde una partícula a una fuerza no esté en la misma dirección que la fuerza.

Vamos a poner un ejemplo numérico que intentará ser ilustrativo: sea una partícula de masa m=1 que se mueve en el plano según el eje x positivo a una velocidad de 0.86603c. Uso un sistema de unidades en el que c=1

$\vec v=0.86603 \ \hat i + 0 \ \hat j$

$\gamma =\dfrac{1}{\sqrt{1-0.86603^2}}= 2$

Aplicamos sobre ella una fuerza F de módulo 11.3137 que forma un ángulo de 45º con la velocidad:

$\vec F=8 \ \hat i + 8 \ \hat j$

¿Qué aceleración provoca? Apliquemos la ecuación de la fuerza en Relatividad Especial:

$$\boxed{\vec F = m \ \gamma \ \vec a + \dfrac m{c^2} \ \gamma^3 \ (\vec v \cdot \vec a) \ \vec v}$$

Sustituyendo:

$\vec F =2 \vec a + 8 \ (0.86603 \ \hat i \cdot \vec a) \ 0.86603 \ \hat i$

$\vec F =2 \ (a_x \ \hat i + a_y \ \hat j) + 8 \ \Big (0.86603 \ \hat i \cdot (a_x \ \hat i + a_y \ \hat j) \Big ) \ 0.86603 \ \hat i$

$\vec F =2 a_x \ \hat i + 2 a_y \ \hat j + 8 \ (0.86603 a_x) \ 0.86603 \ \hat i$

$\vec F =2 a_x \ \hat i + 2 a_y \ \hat j + 8 \cdot 0.75 a_x \ \hat i=2 a_x \ \hat i + 2 a_y \ \hat j + 6 a_x \ \hat i$

$\vec F =8 a_x \ \hat i + 2 a_y \ \hat j$

Sustituyendo el valor de la fuerza de módulo 11.3137 a 45º :

$8 \ \hat i + 8 \ \hat j=8 \ a_x \ \hat i + 2 \ a_y \hat j$

De donde se deduce:

$a_x=1 \qquad a_y=4 \qquad \theta=75.96^{\circ} \qquad a=4.1231$

La componente de la aceleración perpendicular a la velocidad es 4 veces mayor que la componente paralela. El módulo de la aceleración a=4.1231 es menor que F/m=11.3137 y el ángulo de la aceleración no coincide con los 45º de la fuerza, sino que es de 75.96º (ver dibujo en post#9)

Todo muy lógico según la Relatividad Saludos.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre fuerza centripeta relativista.

No, tu nomenclatura es incoherente. Primero, en esa expresión, si aparece el módulo de algo $|m_o V^2\ \ a \ \cos\theta|$ ello debe significar que lo que hay dentro de las líneas verticales de módulo es un vector $|\vec u|$ Lo único que puede ser un vector en la expresión $|m_o V^2\ \ \vec a \ \cos \theta |$ es la aceleración $\vec a$ que al hacer el módulo de la expresión, toda la expresión se convierte en un escalar. Eso convierte en escalar todo el sumando:

$\dfrac{|m_o V^2\ \ \vec a \ \cos \theta |}{c^2\left(1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}\right)^{3/2}} \in \mathbb R$

Pero entonces, si "a" representa al vector aceleración el otro sumando es un vector:

$\dfrac{m_o \ \vec a}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}} \in \mathbb R^3$

Y no se puede sumar un vector con un escalar....

Gracias por tu respuesta, tus argumentos són incuestionables.
Luego el factor $(v \cdot a \cdot \cos \theta) \ \vec v$, es un vector que se expresa en unidades de aceleración por velocidad al cuadrado.

Me resulta aún chocante que los vectores fuerza y aceleración puedan no ser paralelos. Eso conduciría a la paradoja de que empujáramos un objeto relativista con una fuerza y se moviera en una dirección distinta a la de la fuerza. Lo cual me resulta muy difícil de visualizar. Desde el sistema de referencia de un observador en reposo que viera un objeto relativista sobre el cual opera una fuerza oblicua a este (es decir formando un ángulo que ni fuera nulo ni perpendicular) dicho observador pareciera poder deducir la existencia de una segunda fuerza invisible a esta. (Creo que no me he expresado con mucha claridad, pero no veo forma mejor de hacerlo).

[Alriga]

Re: Fuerza y aceleración en Relatividad Especial

... Creo que sería más apropiado expresarlo de esta manera;

$F=\dfrac{m_o a}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}}+\dfrac{|m_o V^2\ \ a \ \cos \theta)|}{c^2\left(1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}\right)^{3/2}}$

Donde $\theta$ representa el ángulo entre los vectores velocidad y aceleración.
¿Sería esto correcto? ...

No, tu nomenclatura es incoherente. Primero, en esa expresión, si aparece el módulo de algo $|m_o V^2\ \ a \ \cos\theta|$ ello debe significar que lo que hay dentro de las líneas verticales de módulo es un vector $|\vec u|$ Lo único que puede ser un vector en la expresión $|m_o V^2\ \ \vec a \ \cos \theta |$ es la aceleración $\vec a$ que al hacer el módulo de la expresión, toda la expresión se convierte en un escalar. Eso convierte en escalar todo el sumando:

$\dfrac{|m_o V^2\ \ \vec a \ \cos \theta |}{c^2\left(1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}\right)^{3/2}} \in \mathbb R$

Pero entonces, si "a" representa al vector aceleración el otro sumando es un vector:

$\dfrac{m_o \ \vec a}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}} \in \mathbb R^3$

Y no se puede sumar un vector con un escalar. Si operas correctamente debes llegar a la expresión que te dio pod:

... cuando se trata con vectores ... En particular, ten en cuenta que la derivada del cuadrado de un vector se debe hacer como la derivada de un producto escalar, $\frac{\dd}{\dd t} v^2 = \frac{\dd}{\dd t} (\vec v \cdot \vec v) = 2 \ \vec v \cdot \vec a$. El resultado (lo tienes en los formularios que te puse) seria similar a

$$\boxed{\vec F = m \gamma \vec a + \dfrac 1{c^2} m \gamma^3 (\vec v \cdot \vec a) \vec v}$$

Este es uno de los resultados sorprendentes de la relatividad. Resulta que la aceleración no es paralela a la fuerza que la causa (excepto en el caso unidimensional que hicimos antes; en general, la aceleración será paralela a la fuerza si ésta lo es a la velocidad). Además, tampoco hay una constante de proporcionalidad que relacione la fuerza y la aceleración; la relación entre fuerza y aceleración causada es muy complicada, depende de la velocidad y de la dirección de la fuerza.

Y ahora si llamas $\theta$ al ángulo entre los vectores velocidad y aceleración, puedes escribir:

$\vec F = m \gamma \ \vec a + \dfrac 1{c^2} m \gamma^3 \ (v \cdot a \cdot \cos \theta) \ \vec v$

Saludos.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre fuerza centripeta relativista.

...
En el blog está bien, pero tú la has deducido o copiado mal, te sobra una "V", lo correcto es:

$F=\dfrac{m_o \ \cancel V}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}\dfrac{dV}{dt}+\dfrac{m_o }{\left(1-\dfrac{V \cdot V}{c^2}\right)^{3/2}}}\dfrac{V\cdot\dfrac{dV}{dt}}{c^2}V$



Así es, te sobra una "V" como te he dicho..

El blog comete un error, si bien donde donde dice"[FONT=Georgia]Finalmente, obtenemos la expresión que estábamos buscando:" [/FONT]aparece la expresión correcta. Más adelante, expone el caso de una partícula eléctrica sometida a la fuerza de Lorentz, al hacer el desarrollo donde dice "[FONT=Georgia]A continuación tomamos la derivada aplicando la regla de la cadena:[/FONT]" aparece una expresión equivocada.
En el numerador del primer sumando sobra esa V, como bien habéis aclarado. Luego partía de una fórmula equivocada.

Lo que de momento no consigo entender es cómo de la expresión;
$F=\dfrac{d}{dt}\left[\dfrac{m_o V}{\sqrt{1-\dfrac{V \cdot V}{c^2}}}\right]$
se alcanza a llegar a la expresión;
$F=\dfrac{m_o a}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}}+\dfrac{m_o a V^2}{\left[1-\dfrac{V\cdot V}{c^2} \right]^{3/2}c^2}$
Creo que he vuelto a descubrir que soy bastante necio. !!!Si en el fondo es la misma expresión¡¡¡¡, por lo que veo, si se trata de un caso en que la dirección de la velocidad y la aceleración coinciden, entonces puedo utilizar;
$F=\dfrac{m_o a}{\left[1-\dfrac{V^2}{c^2}\right]^{3/2}}$
Pero cuando se trata de que ambos vectores no coinciden (nuestro caso de la fuerza de Lorentz o el de una fuerza centrífuga por ejemplo)
debo quedarme con;
$F=\dfrac{m_o a}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}}+\dfrac{m_o V\cdot a \cdot V}{c^2\left(1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}\right)^{3/2}}$
P.D.
Creo que sería más apropiado expresarlo de esta manera;
$F=\dfrac{m_o a}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}}+\dfrac{|m_o V^2\ \ a\ \ cos(\theta)|}{c^2\left(1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}\right)^{3/2}}$
Donde $\theta$ representa el ángulo entre los vectores velocidad y aceleración.
¿Sería esto correcto?

Saludos.