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¿Se mueven las cargas siguiendo geodésicas?

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  • ¿Se mueven las cargas siguiendo geodésicas?

    Hola. Un problemilla que me ronda la cabeza:

    Según la teoría de la relatividad general, todos los objetos libres se mueven en un campo gravitatorio siguiendo trayectorias descritas por las geodésicas del campo. Por ello, todos los satélites, grandes o chicos, rojos o verdes, rusos o americanos describirían las mismas trayectorias con respecto a la tierra o el sol.

    Sin embargo, el electromagnetismo dice que una carga acelerada emite radiación electromagnética. Por tanto, pareceria que un satélite, con carga eléctrica, describiría una trayectoria ligeramente distinta a un satélite sin carga, con lo cual violaría el principio de equivalencia.

    la pregunta es: Una particula cargada, acelerada por un campo gravitatorio, ¿radia o no radia?

  • #2
    Re: ¿Se mueven las cargas siguiendo geodésicas?

    El principio de las geodésicas y el principio de equivalencia se aplican directamente a partículas en caída libre. Recuerda que para otras interacciones, la relatividad general (a partir del principio de equivalencia) da una versión generalizada de las ecuaciones siguiendo al "coma goes to semicolon rule", que viene a significar "cambia todas las derivadas por derivadas covariantes". El efecto práctico de eso es, de alguna forma, tener en cuenta la desviación geodésica de las ecuaciones del movimiento.

    Así que, respondiendo a tu pregunta final: sí, todas las leyes de la física clásica siguen funcionando en relatividad general, sólo con alguna complicación matemática. En particular, esto es válido para la radiación de las cargas aceleradas.
    La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
    @lwdFisica

    Comentario


    • #3
      Re: ¿Se mueven las cargas siguiendo geodésicas?

      Escrito por pod Ver mensaje
      El principio de las geodésicas y el principio de equivalencia se aplican directamente a partículas en caída libre. Recuerda que para otras interacciones, la relatividad general (a partir del principio de equivalencia) da una versión generalizada de las ecuaciones siguiendo al "coma goes to semicolon rule", que viene a significar "cambia todas las derivadas por derivadas covariantes". El efecto práctico de eso es, de alguna forma, tener en cuenta la desviación geodésica de las ecuaciones del movimiento.

      Así que, respondiendo a tu pregunta final: sí, todas las leyes de la física clásica siguen funcionando en relatividad general, sólo con alguna complicación matemática. En particular, esto es válido para la radiación de las cargas aceleradas.
      Hola. he hecho una busqueda en google sobre este problema, y hay mucha literatura y polemica sobre el asunto. En concreto, podeis mirar en

      http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=160533

      De lo que yo deduzco de la polemica, parece que una carga acelerada en un campo gravitatorio, visto desde un observador que se mueve libremente en el seno de ese campo gravitatorio, NO radia.

      Sin embargo, una carga acelerada en un campo gravitatorio, visto, por ejemplo, por un observador sobre la superficie de la tierra (que obviamente no esta en caida libre)
      SI veria la radiacion.

      Parece, por tanto, que el concepto de radiar o no radiar depende del observador.

      Comentario


      • #4
        Re: ¿Se mueven las cargas siguiendo geodésicas?

        Escrito por carroza Ver mensaje
        Parece, por tanto, que el concepto de radiar o no radiar depende del observador.
        En el mismo foro que dices también hay gente y citan algún artículo que no está de acuerdo con esto. El tema me supera, pero yo también me he hecho muchas veces una pregunta parecida: Si tenemos una carga acelerada que radia respecto a un observador inercial, ¿un observador no inercial que se moviera junto con la carga (en su sistema la carga está quieta) vería o no vería radiación?.

        Mirando al asunto desde el punto de vista del observador inercial, me cuesta trabajo pensar que si la carga emite fotones, éstos pudieran interaccionar con detectores fijos y no con detectores que tuvieran la misma aceleración que la carga.

        Comentario


        • #5
          Re: ¿Se mueven las cargas siguiendo geodésicas?

          Escrito por Chusg Ver mensaje
          Mirando al asunto desde el punto de vista del observador inercial, me cuesta trabajo pensar que si la carga emite fotones, éstos pudieran interaccionar con detectores fijos y no con detectores que tuvieran la misma aceleración que la carga.
          Es que, precisamente, el numero de fotones que emite una carga en movimiento no es un invariante frente a las transformaciones de un sistema inercial a un sistema no inercial. Emitir fotones no es un hecho absoluto, independiente del sistema de referencia. El campo electromagnético, y su interacción con un sistema de detección de radiación, depende del sistema de referencia.

          Estoy de acuerdo en que el problema es sutil, y la solución no debe ser trivial, ya que hay gente experta que opina de manera diferente. No obstante, intuitivamente yo prefiero estar en el espíritu de la relatividad general, y admitir que dos particulas que se mueven libremente en un campo gravitatorio, se comportan de forma absolutamente indistinguible a dos partículas libres en ausencia de campo gravitatorio. Por tanto, una no debe ver "fotones" que produce la otra.

          Comentario


          • #6
            Re: ¿Se mueven las cargas siguiendo geodésicas?

            Escrito por carroza Ver mensaje
            Emitir fotones no es un hecho absoluto, independiente del sistema de referencia. El campo electromagnético, y su interacción con un sistema de detección de radiación, depende del sistema de referencia.
            Lo expresaré de otra forma. Si desde un sistema de referencia vemos que una carga acelerada radia y a consecuencia de ello ocurre algún tipo de suceso en un detector fijo llamado "A" (calentamiento, disparo de una corriente eléctrica o cualquier tipo de evento que permita quedar registrada la detección), ese suceso en el detector "A" no es algo que ocurra o no dependiendo del sistema de referencia, es algo que ocurre miremos el detector "A" desde el sistema que miremos. Lo que me extrañaría sería que no ocurriera un suceso similar en otro detector "B" que tuviera la misma aceleración que la carga.

            Por otra parte, la emisión de radiación implica una pérdida de energía cinética de la carga y una fuerza de "reacción de radiación" que afecta a su dinámica, pudiendo modificar su trayectoria respecto a la que tendría en caso de que no emitiera radiación. Se me hace difícil pensar que este efecto existe o no dependiendo del sistema de referencia.

            Escrito por carroza Ver mensaje
            No obstante, intuitivamente yo prefiero estar en el espíritu de la relatividad general, y admitir que dos particulas que se mueven libremente en un campo gravitatorio, se comportan de forma absolutamente indistinguible a dos partículas libres en ausencia de campo gravitatorio. Por tanto, una no debe ver "fotones" que produce la otra.
            ¿Seguro de que la relatividad general implica que la emisión de radiación tiene que ser relativa...?. Yo no lo veo claro. Aunque nunca he estudiado en serio relatividad general...

            Comentario


            • #7
              Re: ¿Se mueven las cargas siguiendo geodésicas?

              Escrito por Chusg Ver mensaje
              Lo expresaré de otra forma. Si desde un sistema de referencia vemos que una carga acelerada radia y a consecuencia de ello ocurre algún tipo de suceso en un detector fijo llamado "A" (calentamiento, disparo de una corriente eléctrica o cualquier tipo de evento que permita quedar registrada la detección), ese suceso en el detector "A" no es algo que ocurra o no dependiendo del sistema de referencia, es algo que ocurre miremos el detector "A" desde el sistema que miremos. Lo que me extrañaría sería que no ocurriera un suceso similar en otro detector "B" que tuviera la misma aceleración que la carga.

              Por otra parte, la emisión de radiación implica una pérdida de energía cinética de la carga y una fuerza de "reacción de radiación" que afecta a su dinámica, pudiendo modificar su trayectoria respecto a la que tendría en caso de que no emitiera radiación. Se me hace difícil pensar que este efecto existe o no dependiendo del sistema de referencia.


              ¿Seguro de que la relatividad general implica que la emisión de radiación tiene que ser relativa...?. Yo no lo veo claro. Aunque nunca he estudiado en serio relatividad general...
              Estudiar y comprender la relatividad general es un placer. El problema es que uno tiene que saber algo de geometria avanzada (simbolos de Cristoffer, tensores de Riemann, etc). Recomiendo el libro de Landau "Teoria Clasica de Campos".

              Con respecto a lo que indicas sobre el efecto de una carga sobre un detector, por supuesto que el efecto físico es independiente del sistema que uno utilice para describirlo. Eso es el principio de Relatividad, que data de Galileo.
              No obstante, si quieres describir ese efecto utilizando los conceptos de campo electrico o magnetico, el valor del campo electrico y magnetico depende del sistema de referencia. El campo electrico y el campo magnetico no son "Invariantes de Lorentz".

              Para ilustrar esto, considera un experimento en que una carga A, que tiene un cierto estado de movimiento con respecto a un detector B, produce en éste un cierto calentamiento (p ej, un aumento de su temperatura de 1 K).

              La afirmación "A provoca un calentamiento de B de 1K" es una afirmación independiente del sistema de referencia.

              La afirmación "A produce un campo electrico de 1 N/C, que a su vez genera un calentamiento de B de 1K" depende del sistema de referencia, ya que el campo depende del sistema de referencia, No obstante el calentamiento es de 1K.

              La afirmación "A produce fotones, que a su vez genera un calentamiento de B de 1K"
              depende del sistema de referencia, porque los fotones vienen de la cuantización del campo electrico.

              Comentario


              • #8
                Re: ¿Se mueven las cargas siguiendo geodésicas?

                Sí, sabía que el campo eléctrico y magnético dependen del sistema de referencia. Pero para mí "radiar" significa "emitir energía que se puede transmitir por el vacío", y si el efecto en el detector no depende del sistema de referencia, entonces me parece evidente que el concepto de radiar no depende del observador como decías en un mensaje anterior. Quiero decir que si la carga radia en un sistema también radiará en otro independientemente de las transformaciones que sufran los campos E y B.

                En el sistema no inercial no sé muy bien como se transformarían los campos eléctrico y mágnético, pero si en el sistema inercial el detector absorbe energía en forma de radiación electromagnética en cantidades discretas, parece claro que también la absorberá de forma discreta en el sistema no inercial. A esto me refería cuando hablaba de los fotones.

                Comentario


                • #9
                  Re: ¿Se mueven las cargas siguiendo geodésicas?

                  Escrito por Chusg Ver mensaje
                  Sí, sabía que el campo eléctrico y magnético dependen del sistema de referencia. Pero para mí "radiar" significa "emitir energía que se puede transmitir por el vacío", y si el efecto en el detector no depende del sistema de referencia, entonces me parece evidente que el concepto de radiar no depende del observador como decías en un mensaje anterior. Quiero decir que si la carga radia en un sistema también radiará en otro independientemente de las transformaciones que sufran los campos E y B.

                  En el sistema no inercial no sé muy bien como se transformarían los campos eléctrico y mágnético, pero si en el sistema inercial el detector absorbe energía en forma de radiación electromagnética en cantidades discretas, parece claro que también la absorberá de forma discreta en el sistema no inercial. A esto me refería cuando hablaba de los fotones.
                  Verás, usando tu definición de "radiar", el flujo de energia del campo electromagnetico
                  viene dado por el vector de Poynting . Una carga en reposo tiene vector de Poynting 0 en todo el espacio (B=0), pero si la vemos en movimiento (aunque sea uniforme), tiene el vector de Poynting no nulo.

                  ¿Quiere decir eso que una carga en reposo no radia, pero en movimiento uniforme si radia?

                  Comentario


                  • #10
                    Re: ¿Se mueven las cargas siguiendo geodésicas?

                    Uhm... Veo que este hilo se ha vuelto muy confuso y se ha desviado bastante del tema inicial.

                    La respuesta a la pregunta que da título al tema es muy sencilla: la ecuación del movimiento de una partícula es equivalente a la ecuación de las geodésicas si, y sólo si, esta partícula es libre. ¿Una carga puede ser libre? pues será libre sí y sólo si no hay ningún campo electromagnético (es decir, si es la única carga en el universo).

                    Ahora, hablar de fotones y ese tipo de cosas es muy peliagudo en relatividad general. Para hablar de fotones hay que cuantizar la teoría, y aún no sabemos de ninguna forma consistente de cuantizar una teoría con gravedad (y que esté aceptada por la comunidad).

                    La mayoría de comentarios que se han hecho en el hilo sobre este tema ni siquiera tiene que ver con gravitación, por lo que nos vale QED estándar, incluso electromagnetismo del de Maxwell en ocasiones.


                    Escrito por Chusg Ver mensaje
                    Sí, sabía que el campo eléctrico y magnético dependen del sistema de referencia. Pero para mí "radiar" significa "emitir energía que se puede transmitir por el vacío", y si el efecto en el detector no depende del sistema de referencia, entonces me parece evidente que el concepto de radiar no depende del observador como decías en un mensaje anterior. Quiero decir que si la carga radia en un sistema también radiará en otro independientemente de las transformaciones que sufran los campos E y B.

                    En el sistema no inercial no sé muy bien como se transformarían los campos eléctrico y mágnético, pero si en el sistema inercial el detector absorbe energía en forma de radiación electromagnética en cantidades discretas, parece claro que también la absorberá de forma discreta en el sistema no inercial. A esto me refería cuando hablaba de los fotones.

                    Escrito por carroza Ver mensaje
                    Verás, usando tu definición de "radiar", el flujo de energia del campo electromagnetico
                    viene dado por el vector de Poynting . Una carga en reposo tiene vector de Poynting 0 en todo el espacio (B=0), pero si la vemos en movimiento (aunque sea uniforme), tiene el vector de Poynting no nulo.

                    ¿Quiere decir eso que una carga en reposo no radia, pero en movimiento uniforme si radia?

                    Que la energía se mueva de sitio no es suficiente para decir que esta siendo radiada. Recordad el teorema de Poynting, la variación de energía en una región del espacio puede dos motivos: la variación del campo electromagnético (que tiene que ver con el vector S) y la salida o entrada de carga. En el caso de una carga en movimiento uniforme, la energía simplemente sigue a la carga, por decirlo a lo cutre. Un observador en el infinito no recibirá energía.

                    Un par de cálculos tontos para ver esto: en el ejemplo, tanto el campo magnético como el eléctrico van como , por lo tanto . La energía muy lejos de la partícula vendrá a ser



                    Es obvio que para obtener una energía finita en el infinito (uff que trabalenguas), el vector de Poynting debe decrecer, como mucho, de forma cuadrática, con lo que los campos pueden ser como mucho . Eso es lo que pasa en la solución esférica de la ecuación de ondas, sin ir más lejos
                    La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
                    @lwdFisica

                    Comentario


                    • #11
                      Re: ¿Se mueven las cargas siguiendo geodésicas?

                      Aunque se desvíe un poco del tema original del hilo, creo que el tema que veníamos comentando al final es bastante interesante y me parece que no ha sido aclarado del todo, o al menos yo no veo que se haya llegado a un consenso. Si lo creeis conveniente podeis separarlo en otro hilo para no mezclar las cosas.

                      Me refiero a lo de si la radiación de una carga depende del sistema de referencia. Evidentemente el hecho de tener un vector de Poynting no nulo no significa que la carga radie, creo que esto es lo que viene a decir pod en el mensaje anterior. Quizá el concepto de radiar podríamos expresarlo cualitativamente como la "emisión de energía que se puede transmitir por el vacío y propagarse hasta el infinito" o algo así.

                      Por otro lado, creo que estábamos de acuerdo en que el efecto producido en un detector por la radiación que emite una carga acelerada (es decir, la "consecuencia" que tene en el detector) existe independientemente del sistema de referencia que utilicemos para describir las cosas. Y este detector puede estar arbitrariamente alejado de la carga. Por tanto, en los dos sistemas de referencia la carga radia, incluso aunque en uno de ellos la carga esté en reposo. Es decir, la existencia de radiación no es algo relativo. ¿Hasta aquí estamos de acuerdo?.

                      En el caso de que estemos de acuerdo en que no es relativo, entonces ¿podríamos concluir que las cargas que emiten radiación son las que están aceleradas respecto a unos determinados sistemas de referencia? ¿sistemas inerciales? ¿los sistemas inerciales del electromagnetismo serían los sistemas inerciales de la mecánica?.

                      Comentario


                      • #12
                        Re: ¿Se mueven las cargas siguiendo geodésicas?

                        Escrito por Chusg Ver mensaje
                        Aunque se desvíe un poco del tema original del hilo, creo que el tema que veníamos comentando al final es bastante interesante y me parece que no ha sido aclarado del todo, o al menos yo no veo que se haya llegado a un consenso. Si lo creeis conveniente podeis separarlo en otro hilo para no mezclar las cosas.

                        Me refiero a lo de si la radiación de una carga depende del sistema de referencia. Evidentemente el hecho de tener un vector de Poynting no nulo no significa que la carga radie, creo que esto es lo que viene a decir pod en el mensaje anterior. Quizá el concepto de radiar podríamos expresarlo cualitativamente como la "emisión de energía que se puede transmitir por el vacío y propagarse hasta el infinito" o algo así.
                        Naturalmente la cantidad de energía radiada depende del sistema de referencia, efecto Doppler sin ir más lejos. Ahora bien, el hecho de haber o no radiación es otra cosa, y como dije en el mensaje anterior, tenemos radiación si



                        Escrito por Chusg Ver mensaje
                        Por otro lado, creo que estábamos de acuerdo en que el efecto producido en un detector por la radiación que emite una carga acelerada (es decir, la "consecuencia" que tene en el detector) existe independientemente del sistema de referencia que utilicemos para describir las cosas. Y este detector puede estar arbitrariamente alejado de la carga. Por tanto, en los dos sistemas de referencia la carga radia, incluso aunque en uno de ellos la carga esté en reposo. Es decir, la existencia de radiación no es algo relativo. ¿Hasta aquí estamos de acuerdo?.

                        En el caso de que estemos de acuerdo en que no es relativo, entonces ¿podríamos concluir que las cargas que emiten radiación son las que están aceleradas respecto a unos determinados sistemas de referencia? ¿sistemas inerciales? ¿los sistemas inerciales del electromagnetismo serían los sistemas inerciales de la mecánica?.
                        Todo eso es muy naive. En relatividad general no existen los sistemas de referencia inerciales; la teoría se puede aplicar a cualquier sistema de referencia. Los únicos observadores que tienen cierta ventaja son los que se encuentran en caída libre (es decir, los que no están sometidos a ninguna interacción que no sea gravitatoria). Estos observadores pueden, al menos localmente, aplicar las leyes de la relatividad especial y obtener resultados correctos; esto se llama principio de equivalencia débil.

                        Utilicemos eso: tenemos una carga acelerada solamente por el campo gravitatorio, y por lo tanto en caída libre. Para observarla, elegimos un observador completamente solidario, y por lo tanto también en caída libre. Este observador puede usar relatividad especial y aún así obtener el resultado correcto. Respecto a él, la carga no está acelerada, por lo tanto la carga no radia. Y, por lo tanto, debería poder radiar respecto ningún observador.

                        Ahora bien, uno puede extender el razonamiento a cualquier observador, utilizando el principio de equivalencia fuerte, que dice que uno puede aplicar las fórmulas de relatividad especial en cualquier sistema de referencia, siempre que tengamos cuidado de traducir las derivadas parciales ordinarias en derivadas covariantes. Bien, en relatividad especial, la potencia radiada por una carga en trayectoria viene dada por la fórmula de Liénard-Larnord,



                        donde obviamente . Para hacer las cosas bien, uno tiene que utilizar la cuadriaceleración, . Hacerlo es un coñazo, así que me voy a limitar a copiar el resultado del chuletario de electrodinámica que hay en la web. Tenemos, para las componentes espaciales



                        Podemos usar el principio de equivalencia fuerte para calcular la cuadri aceleración:



                        donde la última igualdad es una consecuencia de la ecuación de las geodésicas. Por lo tanto, volviendo a la ecuación anterior, implica . Y, según Liénard-Larnord, eso significa que la potencia radiada es nula. No hay radiación. Salvo error u omisión, Q.E.D.

                        Como hemos visto, la demostración utiliza la ecuación de las geodésicas. Es decir, la potencia radiada es cero si la carga sigue una geodésica. Y seguirá una geodésica si no hay ninguna otra interacción a parte de la gravitatoria. Por ejemplo, el campo electromagnético debe ser nulo.
                        La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
                        @lwdFisica

                        Comentario


                        • #13
                          Re: ¿Se mueven las cargas siguiendo geodésicas?

                          Si he entendido bien, la conclusión sería que una partícula cargada acelerada por un campo gravitatorio no radia, en ningún sistema de referencia. Sólo lo harían las que no siguen geodésicas, aceleradas por otro tipo de interacciones. ¿Podríamos decir entonces que las cargas que radian son las que tienen aceleración respecto a los sistemas de referencia que están "en caida libre"?.

                          Consideremos una carga acelerada uniformemente por medios electromagnéticos, ¿el principio de equivalencia implicaría que no debe radiar?. ¿No sería equivalente a una carga en caida libre, al menos "localmente"?. ¿O es que precisamente por ser sólo "localmente" no sigue una geodésica y por tanto sí radia?. ¿Tendría sentido que la emisión de radiación en un momento dado no dependiera sólo de las condiciones locales de la carga sino de su trayectoria "global"?

                          Yo no he estudiado formalmente relatividad general. Aunque creo que no es motivo para renunciar a intentar entender el asunto, gracias por los comentarios.

                          Comentario


                          • #14
                            Re: ¿Se mueven las cargas siguiendo geodésicas?

                            Escrito por Chusg Ver mensaje
                            Si he entendido bien, la conclusión sería que una partícula cargada acelerada por un campo gravitatorio no radia, en ningún sistema de referencia. Sólo lo harían las que no siguen geodésicas, aceleradas por otro tipo de interacciones. ¿Podríamos decir entonces que las cargas que radian son las que tienen aceleración respecto a los sistemas de referencia que están "en caida libre"?.

                            Consideremos una carga acelerada uniformemente por medios electromagnéticos, ¿el principio de equivalencia implicaría que no debe radiar?. ¿No sería equivalente a una carga en caida libre, al menos "localmente"?. ¿O es que precisamente por ser sólo "localmente" no sigue una geodésica y por tanto sí radia?. ¿Tendría sentido que la emisión de radiación en un momento dado no dependiera sólo de las condiciones locales de la carga sino de su trayectoria "global"?

                            Yo no he estudiado formalmente relatividad general. Aunque creo que no es motivo para renunciar a intentar entender el asunto, gracias por los comentarios.
                            Bueno hablas de una carga uniformemente acelerada, esto sólo es posible con un campo eléctrico uniforme. El sistema de referencia de esta carga no está en caída libre, precisamente por que hay una interacción que no es gravitatoria.

                            Para que lo veas más claro, hagamos el siguiente experimento mental. Consideramos una región del espacio con un campo eléctrico uniforme. Yo (pod) me sitúo en un sistema de referencia totalmente neutro y muy lejos de cualquier masa. Por lo tanto, al mi alrededor no hay ningún campo gravitatorio; soy un observador en caída libre y puedo (al menos localmente) usar la relatividad especial tranquilamente.

                            En un momento dado, Chusg, que le va la marcha, pasa cerca de mi (tan cerca que "localmente" tiene sentido) montado en una carga eléctrica. Yo, que puedo usar relatividad especial, calculo que está acelerado uniformemente y, por lo tanto, emite radiación.

                            Ahora bien, por el principio de equivalencia, una aceleración constante se traduce, en el sistema de referencia solidario, en un campo gravitatorio uniforme. Por lo tanto, Chusg (el sistema acelerado) ve a su alrededor un campo gravitatorio. Por definición, el campo gravitatorio en un sistema en caída libre debe ser cero. ¿Conclusión? El sistema de Chusg no es en caída libre. Lo siento, amigo, no puedes usar relatividad especial.

                            Todo esto se resume en una sola frase: el movimiento acelerado no es una geodésica del espacio-tiempo de Minkowski.
                            La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
                            @lwdFisica

                            Comentario


                            • #15
                              Re: La paradoja de los gemelos cargados

                              Por cierto, creo recordar que también había por ahí algún artículo (que no pasé del abstract porque el análisis superaba con mucho mi nivel) que sostenía que las cargas que caen en un campo gravitatorio no siguen geodésicas. Aunque no recuerdo exactamente donde lo ví.

                              De esto que voy a decir no estoy muy seguro, pero a ver que os parece: la carga sigue una geodésica si está sometida sólo a la interacción gravitatoria y no hay otras fuerzas sobre ella. Pero ¿podemos descartar a priori que esté sometida a una fuerza de "reacción radiativa"?. (Ya sabeis, lo de la autofuerza y ese rollo...). Para descartarlo a priori, tendríamos que aceptar a priori que no radia...¡pero eso es lo que queremos averiguar!

                              Buf, que lío.

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