1r ciclo Cinematica relativista

[[Beto]]

Hola, tengo unas pequeñas dudas con dos ejercicios, el primero es el siguiente:

Me piden probar que cuando una partícula se mueve perpendicularmente en un campo magnético $\vec B$, describirá una circunferencia cuyo radio vendría dado por $R=\dfrac{\sqrt{2E_oE_c+E_c^2}}{qcB}$.

No puede llegar a obtener esa expresión, cualquier ayuda me sería útil.

El otro problema es mas bien conceptual, digamos que tengo las coordenadas para un determinado evento $(x_o, x_1, x_2, x_3)$ y las coordenadas $(x'_o, x'_1, x'_2, x'_3)$, y me dicen que son simultaneos, entonces eso quiere decir que $x_o=x'_o$ ... ¿cierto?, es una duda algo tonta, pero quiero asegurarme

Gracias de antemano.

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Re: Cinematica relativista

Hola, tengo unas pequeñas dudas con dos ejercicios, el primero es el siguiente:

Me piden probar que cuando una partícula se mueve perpendicularmente en un campo magnético $\vec B$, describirá una circunferencia cuyo radio vendría dado por $R=\dfrac{\sqrt{2E_oE_c+E_c^2}}{qcB}$.

No puede llegar a obtener esa expresión, cualquier ayuda me sería útil.

Simplemente tienes que resolver las ecuaciones de Newton en su versión relativista. ¿Qué son $E_0$ y $E_c$? Supongo que son la energía en reposo ($m c^2$) y la energía cinética ($E = E_c + m c^2$). Si es así, creo que me sale bien.

El otro problema es mas bien conceptual, digamos que tengo las coordenadas para un determinado evento $(x_o, x_1, x_2, x_3)$ y las coordenadas $(x'_o, x'_1, x'_2, x'_3)$, y me dicen que son simultaneos, entonces eso quiere decir que $x_o=x'_o$ ... ¿cierto?, es una duda algo tonta, pero quiero asegurarme

Gracias de antemano.

Sí, aunque eso depende del sistema de referencia (lo que es simultaneo en un SR, no lo es en otro).

[[Beto]]

Re: Cinematica relativista

Con lo que me dices, se me ha ocurrido hacer el ejercicio así:

Empecé planteando la segunda ley de Newton para la partícula cargada, de la siguiente manera:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> qvB&=\frac{m\gamma v^2}{R}\\<br /> qB&=\frac{m\gamma v}{R}\\<br /> \Longrightarrow R&=\frac{p}{qB}<br /> \end{aligned}<br />$$

Luego como $E_o^2=E^2-(pc)^2$, y tomando en cuenta que $E=E_o+E_c$, se tiene que:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> E_o^2&=(E_o+E_c)^2-(pc)^2\\<br /> E_o^2&=E_o^2+E_c^2+2E_cE_o-(pc)^2\\<br /> \Longrightarrow p&=\frac{\sqrt{E_c^2+2E_cE_o^2}}{c}<br /> \end{aligned}<br />$$

Finalmente reemplazando:

$$<br /> R=\frac{\sqrt{E_c^2+2E_cE_o}}{qcB}<br />$$

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Re: Cinematica relativista

No estoy muy seguro que esta forma sea válida en relatividad. Las fórmulas se pueden conseguir del formulario de Electrodinámica clásica que hay en esta misma web (apartado de relatividad). Lo equivalente de la segunda ley de Newton en relatividad es de la forma

$$f^\mu = \frac{\dd p^\mu}{\dd\tau} = m \frac{\dd u^\mu}{\dd\tau}.$$

Lo equivalente a la fuerza de Lorentz es, poniendo c = 1,

$$f^\mu = q {F^\mu}_\nu u^\nu ,$$

donde $F_{\mu\nu}$ es el tensor de Faraday, que se relaciona con los campos "normales" tal que

$$F_{i0} = - F_{0i} = E_i , \qquad F_{ij} = \epsilon_{ijk} B^k .$$

Si elegimos el campo magnético en el eje OZ, y la velocidad en el plano OX, el tensor de Faraday es de la forma

$$<br /> (F_{\mu\nu}) =<br /> \begin{pmatrix}<br /> 0 & 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & B & 0 \\<br /> 0 &-B & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 & 0 <br /> \end{pmatrix} .$$

Juntándolo todo, nos quedan las siguientes cuatro ecuaciones,

$$\begin{aligned}<br /> \dot u^0 & = \dot u^3 = 0 , \\<br /> \dot u^1 & = +\frac{q B}{m} u^2 , \\<br /> \dot u^2 & = -\frac{q B}{m} u^1 , <br /> \end{aligned}$$

Las dos primeras nos dicen que la componente temporal y la última componente espacial de la cuadri-velocidad son constantes. Por condiciones iniciales, $u^3 = 0$. La componente temporal se tiene que obtener por otros medios.

Las dos ecuaciones diferenciales acopladas se pueden resolver derivando una de ellas y substituyendo. Te dejo los detalles como ejercicio, pero la solución será de la forma

$$\begin{aligned}<br /> u^1 & = A \sin \left( \frac{qB}{m} \tau + \varphi_0 \right) , \\<br /> u^2 & = A \cos \left( \frac{qB}{m} \tau + \varphi_0 \right) . <br /> \end{aligned}$$

Integrando otra vez para obtener las coordenadas espacio temporales,

$$\begin{aligned}<br /> x^1 & = - \frac{m A}{q B} \cos \left( \frac{qB}{m} \tau + \varphi_0 \right) , \\<br /> x^2 & = \frac{m A}{q B} \sin \left( \frac{qB}{m} \tau + \varphi_0 \right) . <br /> \end{aligned}$$

Por lo tanto, el radio será $m A / q B$. Ahora, tenemos que saber cuanto es A. Nos queda por forzar que se debe cumplir la ligadura $u_\mu u^\mu = -1$,

$$- (u^0)^2 + A^2 = -1 ,$$

de donde tenemos

$$u^0 = \sqrt{1+A^2} .$$

Podemos relacionar esto con la energía ya que $E = p^0 = m u^0$,

$$A = \sqrt{ \frac{E^2}{m^2} - 1}.$$

Juntándolo todo, el radio de la trayectoria será

$$R = \frac{m}{q B} \sqrt{ \frac{E^2}{m^2} - 1} .$$

Para ponerlo como te piden, hacemos $E = E_c + m$ (sin cuadrados) y $m = E_0$.