2o ciclo Cambios de coordenadas vs transformaciones pasivas

[pod]

Pero ahora veo que la confusión es que tú consideras una traslación como un cambio de sistema de referencia; mientras que yo lo considero el mismo (con otras coordenadas, sí; pero dentro de un sistema de referencia yo puedo usar las coordenadas que me de la gana, como si le pongo a cada punto un número real arbitrario). Cuando uno define un SR en relatividad, físicamente, lo que hace es colocar un observador con un reloj y una regla en cada punto del espacio (teóricamente; en la práctica, se ponen observadores únicamente en los puntos interesantes, claro); todos ellos en reposo relativo. Se hace así porque la velocidad de la luz es finita, así que la única forma de medir tiempos directamente de forma confiable es hacerlo de forma local, debemos tener un reloj en cada punto (no vale medir a distancia y tener en cuenta el tiempo que tarda la luz en llegar, eso es una medida indirecta ya que hace falta saber también la distancia). Las coordenadas se eligen poniendo números a cada uno de estos infinitos observadores. Así que, una traslación, se puede entender simplemente como cambiar el número asignado a cada observador. No es necesario añadir todo un SR y todo lo que comporta (añadir un observador más en cada punto del espacio tiempo). Lo mismo se puede decir con las rotaciones, si tomamos más dimensiones.

Pero vamos, que si uno decide llamar sistemas de referencia diferente a uno que simplemente esté trasladado, pues sí, hay que hacer la especificación. Dos sucesos simultáneos en un sistema de referencia, en general no serán simultáneos en otro que se mueva con respecto del primero.

Pero es que esa disticion que comentas, se puede hacer siempre no solo en el caso especifico de rotaciones y traslaciones; es adoptar el punto de vista pasivo o activo de la transformacion: un difeomorfismo entre de una variedad en si misma puede verse como un cambio de coordenadas (cambio de observador) o como una transformacion de los puntos. Una discusion muy interesante de esto la puedes encontrar en el Wald, no recuerdo si en el apendice C o en el capitulo de Spinores en espacios curvos.

Matemáticamente, sí. Pero físicamente, tiene menos sentido en el caso de los boosts. Un observador que se está moviendo, no puede usar mis infinitos observadores porque no cumplen el requisito, no están en reposo respecto a él.

[Nissan]

Cambios de coordenadas vs transformaciones pasivas

Solo una cosa, las transformaciones de Lorentz son las transformaciones que dejan invariante la metrica de Minkowski, por definicion, el grupo SO(3,1), o su recubridor. Puedes consultarlo en el libro Spinor Geometry, o en el arxiv Spinor Tools, o en el propio capitulo de spinores Lorentz del Wald. Esto es asi porque en cualquier problema minimamente complicado, las formulitas con las que aprendemos a hacer boost y tal y que si un SR se mueve a lo largo de un eje x o cosas asi, son totalmente inutiles; y es que de hecho constituyen una representacion concreta (vectorial) del grupo de Lorentz, nada m´´as. Pero hay mucho m´´as aparte de eso. Una rotacion espacial es una transformacion de Lorentz, y ademas importantisima!! es la que nos indica el spin de las particulas! (lo comento en mi post sobre spinores). Esto lo puedes consultar en el weinberg, tomo uno capitulo 2.

Recapitulando, si piensas en las transformaciones de Lorentz simplemente como transformaciones entre sistemas inerciales que se mueven a una velocidad dada, te estas perdiendo el 90% de la pelicula.

En cuanto a lo de que el punto de vista pasivo y activo es equivalente "matematicamente" pero no "fisicamente", es totalmente erroneo. Te remito de nuevo al wald, o al Saletan y Jose para mas referencias, pero no quiero entrar en esa discusion porque se nos hace eterno y no creo que lleguemos a ningun lado.

He sido honesto en todas las respuestas dandote referencias facilmente accesibles de todo lo que digo, a diferencia de ti. No obstante ahora pienso que las conversaciones contigo son infructuosas asi que abandono. Espero que en un futuro podamos tener conversaciones mas instructivas en otros hilos.

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Re: Cambios de coordenadas vs transformaciones pasivas

(Para el resto, ver el otro hilo separado)

En cuanto a lo de que el punto de vista pasivo y activo es equivalente "matematicamente" pero no "fisicamente", es totalmente erroneo. Te remito de nuevo al wald, o al Saletan y Jose para mas referencias,

Es que, de hecho, lo que estoy diciendo yo no es lo mismo que el punto de vista pasivo y activo. Vayamos a las definiciones de origen:

Transformación activa: afecta al sistema físico en sí. Por lo tanto, tiene sentido incluso si no tenemos coordenadas.

Transformación pasiva: es un simple cambio de coordenadas, no afecta al sistema Físico en sí.

(Ya me perdonarás que lo ponga de memoria y no lo copie del Wald, es que me lo guardo en el despacho de la facultad y hoy estoy en casa.)

Suponiendo que aceptamos estas definiciones, en ningún momento estamos hablando de una transformación que actúe sobre el sistema a observar. Por lo tanto, ninguna de estas transformaciones es activa. Esa no es la discusión.

La discusión es: una transformación pasiva, ¿siempre comporta un cambio de sistema de referencia? No es una pregunta trivial, ya que un sistema de referencia es un concepto físico, que viene definido de la forma que ya hemos comentado (observadores en reposo relativo en cada punto, etc).

Dicho de otra forma, un mismo sistema de referencia, ¿puede usar diferentes sistemas de coordenadas y seguir siendo el mismo sistema de referencia? La respuesta es sí. La forma de justificarlo, es sencilla. Un sistema de coordenadas implica asignar a cada observador unas coordenadas. Yo puedo asignarlas de cualquier manera que me de la gana, así que en el mismo sistema de referencia puedo tener diferentes sistemas de coordenadas y sigue siendo el mismo sistema de referencia. Es una transformación pasiva que no implica cambio de sistema de referencia (repito, pasiva porque no hemos tocado el sistema a observar). Ejemplo son las rotaciones y las traslaciones.

Eso no quiere decir que yo no quiera, si me da la gana, crear otro sistema de referencia trasladado y rotado respecto del primero, pero en reposo. Pero si lo hago, todos mis observadores estarán en reposo con los del primer sistema de referencia. Ergo, será un sistema de referencia equivalente, a todas luces lo podemos considerar como el mismo.

Ahora bien, hay cambios pasivos que si implican forzosamente la creación de sistema de referencia. Por ejemplo, si el sistema cambia de velocidad (ojo: esto también es un cambio pasivo, no tocamos el sistema, sólo el observador). Los observadores de este sistema de referencia estarán en reposo entre si; pero no estarán en reposo relativo con respecto a los observadores del sistema original, por lo tanto no son equivalentes. No hay más remedio que admitir que son sistemas de referencia diferentes.

[Nissan]

Re: Cambios de coordenadas vs transformaciones pasivas

(Para el resto, ver el otro hilo separado)



Es que, de hecho, lo que estoy diciendo yo no es lo mismo que el punto de vista pasivo y activo. Vayamos a las definiciones de origen:

Transformación activa: afecta al sistema físico en sí. Por lo tanto, tiene sentido incluso si no tenemos coordenadas.

Transformación pasiva: es un simple cambio de coordenadas, no afecta al sistema Físico en sí.

(Ya me perdonarás que lo ponga de memoria y no lo copie del Wald, es que me lo guardo en el despacho de la facultad y hoy estoy en casa.)

Suponiendo que aceptamos estas definiciones, en ningún momento estamos hablando de una transformación que actúe sobre el sistema a observar. Por lo tanto, ninguna de estas transformaciones es activa. Esa no es la discusión.

La discusión es: una transformación pasiva, ¿siempre comporta un cambio de sistema de referencia? No es una pregunta trivial, ya que un sistema de referencia es un concepto físico, que viene definido de la forma que ya hemos comentado (observadores en reposo relativo en cada punto, etc).

Dicho de otra forma, un mismo sistema de referencia, ¿puede usar diferentes sistemas de coordenadas y seguir siendo el mismo sistema de referencia? La respuesta es sí. La forma de justificarlo, es sencilla. Un sistema de coordenadas implica asignar a cada observador unas coordenadas. Yo puedo asignarlas de cualquier manera que me de la gana, así que en el mismo sistema de referencia puedo tener diferentes sistemas de coordenadas y sigue siendo el mismo sistema de referencia. Es una transformación pasiva que no implica cambio de sistema de referencia (repito, pasiva porque no hemos tocado el sistema a observar). Ejemplo son las rotaciones y las traslaciones.

Eso no quiere decir que yo no quiera, si me da la gana, crear otro sistema de referencia trasladado y rotado respecto del primero, pero en reposo. Pero si lo hago, todos mis observadores estarán en reposo con los del primer sistema de referencia. Ergo, será un sistema de referencia equivalente, a todas luces lo podemos considerar como el mismo.

Ahora bien, hay cambios pasivos que si implican forzosamente la creación de sistema de referencia. Por ejemplo, si el sistema cambia de velocidad (ojo: esto también es un cambio pasivo, no tocamos el sistema, sólo el observador). Los observadores de este sistema de referencia estarán en reposo entre si; pero no estarán en reposo relativo con respecto a los observadores del sistema original, por lo tanto no son equivalentes. No hay más remedio que admitir que son sistemas de referencia diferentes.

Es que si hay un cambio de coordenadas hay un cambio de sistema de referencia. Se que tu estas pensando en R^3 con tres ejes perpendiculares y en utilizar las reglas y relojes como te de la gana, y que el observador ("la personita" que lo hace) es la misma. Yo (y hasta donde yo conozco, la literatura en fisica teorica) entiende por cambio de coordenadas un cambio de referencia. Si yo tengo un sistema de referencia y lo roto, es otro sistema de referencia diferente, y existen unas reglas de transformacion de uno a otro. Tu puedes considerar que es algo bastante trivial y que basicamente se puede considerar como el mismo, pero es a la hora de pasar a contextos mas generales cuando adquiere valor la distincion que comento.

Esto se puede ver en el contexto de la RG. Dada una variedad dimensional, con el tensor metrico definido, consideremos una carta. ¿Como escogemos un observador inercial? efectuando un cambio de coordenadas para que la metrica sea la de minkowsky en el punto del espaciotiempo requerido.

Por cierto, esa defindicio de transformacion pasiva y activa no la habia visto jamas (de hecho no me parece ni aceptable), y por supuesto no se parece en nada a la que da Wald, que como es logico, lo define en base a la actuacion de difeomorfismos de la variedad en si misma.

[pod]

Re: Cambios de coordenadas vs transformaciones pasivas

Es que si hay un cambio de coordenadas hay un cambio de sistema de referencia. Se que tu estas pensando en R^3 con tres ejes perpendiculares y en utilizar las reglas y relojes como te de la gana, y que el observador ("la personita" que lo hace) es la misma.

Te diré lo mismo que me dijo a mi el jefe de estudios cuando, en tercero de carrera, le fui a preguntar que optativas me eran necesarias para orientarme a la física teórica: "Te recomiendo que te matricules a Instrumentación física. Aunque uno sea teórico, es importante recordar en todo momento que cuando uno escribe una x, en realidad está escribiendo algo que se mide con una regla (y cuando lo decía, cogió un papel y escribió una x ). Nunca hay que dejar de lado que uno intenta describir la realidad. Eso es Física".

Por cierto, él era Físico teórico, y dudo que haya tocado un instrumento de laboratorio desde que terminó la carrera.

Ya sé (o por lo menos, intuyo) que tú eres de los que sólo ve la matemática del asunto, y hasta le parece ridículo hablar en términos "mundanos" (como "personita" u "observador". Pero todo lo que hacemos en Física al final se acaba traduciendo en algo que se mide con aparato. Cualquier concepto que utilizamos se debe relacionar con la realidad. Sino, ¿para qué?

Aunque puede que no te guste usar los términos así, es bastante cierto que al crear un sistema de referencia, tenemos libertad al colocar las coordenadas. Y, por lo tanto, cambiarlo no te obliga a cambiar de sistema de referencia Físico.

También es obvio que, si quiero cambiarlo, puedo. Serán equivalentes, pero puedo crear otro. A partir de ahí, solo nos queda de nuevo la discusión lingüística.

entiende por cambio de coordenadas un cambio de referencia.

Entonces, ¿pasar de cartesianas a coordenadas esféricas también es cambiar de sistema de referencia?

y hasta donde yo conozco, la literatura en fisica teorica

Este, con todo mi respeto y mil disculpas, pero es un comentario vacío. El conjunto de papers de física teórica que se basan en translaciones y rotaciones únicamente debe ser de medida nula, así que esta distinción no es relevante para ellos.

Esto se puede ver en el contexto de la RG. Dada una variedad dimensional, con el tensor metrico definido, consideremos una carta. ¿Como escogemos un observador inercial? efectuando un cambio de coordenadas para que la metrica sea la de minkowsky en el punto del espaciotiempo requerido.

En la general, todo esto cambia bastante, es obvio. Por ejemplo, la definición de sistema de referencia que di ya no vale; no hay ninguna garantía que los infinitos observadores situados en cada punto del espacio continúen en reposo entre sí, lo cual era una condición. Uno sólo puede tener sistemas de referencia así en entornos locales.

[Nissan]

Re: Cambios de coordenadas vs transformaciones pasivas

...Ya sé (o por lo menos, intuyo) que tú eres de los que sólo ve la matemática del asunto...

No es la primera vez que haces afirmaciones sobre lo que se o no se (aludiendo a que solo me se "la parte matematica" y no veo la fisica). Creo que te podrias guardar esos comentarios comentarios para ti solo, ya que no me conoces en absoluto; yo tambien podria hacer comentarios sobre lo que no sabes (y creeme, los tengo) pero no los digo porque no creo que sea ni remotamente apropiado decirlos, y porque no te conozco y puedo estar equivocado.

Este, con todo mi respeto y mil disculpas, pero es un comentario vacío. El conjunto de papers de física teórica que se basan en translaciones y rotaciones únicamente debe ser de medida nula, así que esta distinción no es relevante para ellos.

Me referia a lo que se refiere en la literatura actual por cambios de coordenadas en el sentido amplio de fibrados. Como tu dices, el caso de rotaciones y traslaciones es trivial.

En la general, todo esto cambia bastante, es obvio. Por ejemplo, la definición de sistema de referencia que di ya no vale; no hay ninguna garantía que los infinitos observadores situados en cada punto del espacio continúen en reposo entre sí, lo cual era una condición. Uno sólo puede tener sistemas de referencia así en entornos locales.

Yo estaba tomando la discusion, y quiza ese es el motivo del desacuerdo, basandome en cambios de coordenadas generales y su interpretacion en Fibrados, que es el caso interesante en la fisica actual teorica, y es, donde como dije la interpretacion de cambio de coordenadas --> cambio de observador es en general adecuada. Evidentemente el caso de R^3, los ejes perpendiculares, las reglas y todas esas cosas ya nos las sabemos, y las podemos razonar muy intuitivamente.

[pod]

Re: Cambios de coordenadas vs transformaciones pasivas

Pero, entonces, ¿si cambio a coordenadas polares estoy cambiando de sistema de referencia?

[Nissan]

Re: Cambios de coordenadas vs transformaciones pasivas

Pero, entonces, ¿si cambio a coordenadas polares estoy cambiando de sistema de referencia?

Evidentemente! Estas cambiando (notaciones habituales y en 3 dimensiones) de un sistema de referencia dado por $e_x$, $e_y$, $e_z$ (vectores unitarios asociados a los ejes cartesianos), a un sistema de referencia dado por $e_r$, $e_{\theta}$, $e_{\phi}$ que definen el nuevo sistema de referencia, y que representado en funcion de los ejes cartesianos depende del punto.

De nuevo, estas pensando en el espacio $R^2$ con los ejes perpendiculares y que si pasas a coordenadas polares en realidad es el mismo sistema de referencia porque estas tomando el "radio" y el angulo sobre el eje x (o y) pero sigue ahi el sistema de referencia cartesiano igualito...

Pero evidentemente (referencias, por ejemplo el Goldstein o el Saletan) existe un cambio de referencia, que es el que te he puesto arriba. Y cuando se cambia a polares, realmente, el plano ya no es x,y; sino r theta, con una interpretacion totalmente diferente.

[Nissan]

Re: Cambios de coordenadas vs transformaciones pasivas

A ver, lo voy a explicar en general porque quiza se ve mejor que en el ejemplo trivial que me has preguntado. Primero una aclaracion: con el sistema de referencia cartesiano, utilizas los vectores unitarios que he escrito, y dices que un punto es el (3,0,0) porque esta a 3 veces el vector$e_x$ de ti y 0 en las otras direcciones (y,z). En cambio, (3,0,0) en el sistema de referencia de coordenadas esfericas, es un punto q esta a 3 veces el vector $e_r$ de ti , y 0 en las otras direcciones ($\theta$,$\phi$).

Dada una variedad $M$ y un entorno cubierto por dos cartas $U_1$ y $U_2$, de coordenadas asciadas x e y, en general [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es distinto de $\partial_{y^{\mu}}$ y por tanto si hago un cambio de coordenadas entonces habra un cambio de referencia. (Lo puedes ver, por ejemplo, integrando los campos vectoriales de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y $\partial_{y^{\mu}}$ y comparando)

Cual es la confusion en general en R^n? que como es una variedad trivial, puedes "mantener" ambos sistemas de referencia a la vez, y parece que siempre que te imaginas R^3 es con los tres ejes cartesianos, y que cambiar a esfericas es solo coger el radio al punto y el angulo con los ejes. Pero no solo tienes que hacer eso, tienes que cambiar los vectores de la base, cambiando pues, de sistema de referencia a uno que ni siquiera es constante en R^3! y para que lo veas ya del todo, ni siquiera esta definido globalmente! Como puede ser que sean el mismo sistema de referencia si uno esta definido en todo R^3 y el otro no?

[pod]

Re: Cambios de coordenadas vs transformaciones pasivas

A mi, de pequeño, me enseñaron que esas e's se llaman "base". Así que, según mi profesor de instituto (se llamaba Aniceto el pobre ), esto se llama cambio de base.

Y, por favor, si no te gusta que te diga lo que tú piensas; tampoco digas lo que pienso yo. Yo hablaré de cambio sistema de referencia siempre que represente pasar a un observador que está en una situación físicamente no equivalente. Y eso puede ser debido, entre otras cosas, a que están en movimiento relativo (Galileo y RE) o porque están en lugares diferentes y el espacio no es homogéneo (RG).

Así que, para mi, es igual evidente que cambiar a polares no es cambiar de observador. Y si no nos ponemos de acuerdo en lo que es evidente, señal de que toca "ponernos de acuerdo en no estar de acuerdo" (agree to disagree, que dicen en otros lares).

[Nissan]

Re: Cambios de coordenadas vs transformaciones pasivas

Lo primero: es diferente hacer juicios sobre mi formacion en fisica o matematicas (con la intencion de desacreditar lo que digo), que intentar averiguar que estas pensando en este problema en concreto para poder ponernos deacuerdo (sin hacer ningun juicio sobre tu formacion). A parte de que eso de "situacion fisicamente equivalente" es bastante ambiguo y desde luego esa definicion no se maneja en la literatura (empezando por el Goldstein, el Saletan, el Wald, los Weinberg etc etc), si no que se maneja la que he puesto yo, has introducido un cambio (espero que no a proposito):

Así que, para mi, es igual evidente que cambiar a polares no es cambiar de observador

Pero lo que tu me has preguntado es:

Pero, entonces, ¿si cambio a coordenadas polares estoy cambiando de sistema de referencia?

Yo no he mencionado en ningun momento observador alguno! (y desde luego, no es lo mismo!). Aunque muchas veces cambiar uno es cambiar otro. Por ejemplo, en el espaciotiempo se Schwarzschild, el sistema de referencia usual esta centrado en la masa, y el observador (coordenado, el que utiliza ese sistema de referencia) se corresponde naturalmente con uno en el infinito. Si ahora yo cambio el sistema de referencia a uno arbitrario, en general el observador sera diferente (puede ser uno que este orbitando o algo asi), pero si utilizo como cambio de coordenadas uno dado por un difeomorfismo isometria, entonces he cambiado el sistema de referencia pero no el observador.

[Nissan]

Re: Cambios de coordenadas vs transformaciones pasivas

Una cosa es el sistema de referencia y otra el observador. En terminos fisicos como a tit e gusta: el sistema de referencia es lo que utiliza el observador para etiquetar los puntos del espaciotiempo (por ejemplo), mientras que el observador es el que "realiza las medidas". Si yo tengo un sistema de referencia cartesiano y realizo una rotacion del mismo, el sistema de referencia cambia (a uno rotado, de hecho existe una matriz de transformacion de uno a otro, asi que no pueden ser el mismo a menos que sea la identidad), pero resulta natural el asociarles el mismo observador a ambos. Si ahora le doy una patada y lo pongo en movimiento, he hecho un cambio de sistema de referencia y un cambio de observador, de manera natural, a uno solidario con el sistema de referencia. (De nuevo restringiendonos a R^3, lo cual no me gusta mucho, porque no es ni de lejos el escenario mas general; veo el ejemplo del espaciotiempo de Schwarzschild mas apropiado, pero quiza menos accesible y por ello pongo este).