1r ciclo Cosmología: Trabajar bajo presión

[Entro]

Para empezar con este punto veamos un hecho curioso:

Si multiplicamos la densidad de materia por la velocidad de la luz al cuadrado obtendremos dimensiones de presión... (esto es fácil de comprobar, partiendo de un resultado relativista).

La densidad se define como $\rho=\dfrac{M}{V}$.

Si multiplicamos la densidad por la velocidad de la luz al cuadrado tendremos: $\rho c^2=\dfrac{Mc^2}{V}$.

Sabemos que en realitividad (para partículas en reposo) tenemos $E=Mc^2$.

Por lo tanto tenemos: $\rho c^2=\dfrac{E}{V}$.

La energía es Fuerza por Longitud, el volumen es Longitud al cubo, por tanto el cociente es fuerza divida por longitud al cuadrado... eso es fuerza por unidad de área que es la presión.

Hasta ahora hemos tomado una materia (que técnicamente se denomina polvo) que no produce presión y sufre una expansión adiabática (no hay transmisión de calor en el proceso o la variación de entropía es nula). La primera ley de la termodinámica nos dice:

$dE=\delta Q- \delta W=TdS-PdV=0$

Esto es consistente con la ecuación de conservación:

$\dot{\rho}+3H\rho=0$

Si multiplicamos esta ecuación (ambos miembros) por $a^3dt$ tendremos:

$a^3dt(\dfrac{d\rho}{dt}+3\rho\dfrac{da}{dt}\dfrac{1}{a})=0$

Lo que queda:

$$a^3d\rho+3\rho a^2da=0$$

Que no es más que la definición de: $d(\rho a^3)=0$

Si multiplicamos por la velocidad de la luz al cuadrado tendremos: $c^2 d(\rho a^3)= d(c^2\rho a^3)=0$

Como $\rho a^3$ tiene que corresponder (ser proporcional a) la masa M del sistema, $c^2\rho a^3$ tiene que corresponder (ser proporcional a) la energía E del sistema. Por tanto:

$c^2 d(\rho a^3)\propto dE/c^2=0$

que es consistente con el primer principio de la termo para un sistema de polvo.

¿Qué pasa si la presión no es nula?

$dE=-pdV$

$dE/c^2=-p dV/c^2\propto -p d(a^3)/c^2$

En un caso de expansión adiabática de un sistema con presión tenemos que tener una ecuación análoga a la (1):

$a^3d\rho + 3\left(\rho+\dfrac{p}{c^2}\right)a^2da=0$

O, sin considerar el $a^3dt$

$$\dfrac{d\rho}{dt}+3\left(\rho+\dfrac{p}{c^2}\right)\dfrac{\dot{a}}{a}=0$$

.

Por lo tanto la ecuación:

$\dfrac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4}{3}\pi G\rho$

Ahora quedará, considerando presión:

$\dfrac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4}{3}\pi G\left(\rho+3p/c^2\right)$

Para que todo esto sea consistente (y por razones que no vamos a entrar aquí pero que son usuales en consideraciones termodinámicas) necesitamos una relación entre la densidad y la presion, lo que se conoce como ecuación de estado. Nosotros trabajaremos con sistemas que cumplan:

$\dfrac{p}{\rho c^2}=w=constante$

Entonces podemos clasificar los sistemas del siguiente modo:

1.- $w=0$ Significa que la presión es nula y tenemos un sistema de polvo.
2.- $w=1/3$ significa que tenemos un medio donde domina la presión de radiación, ya que la radiación electromagnética satisface que la presión es un tercio de la energía electromagnética: $p=\rho c^2/3$



Este post es continuación de este otro: Cosmología

[Jose D. Escobedo]

Re: Cosmología: Trabajar bajo presión

Hasta ahora hemos tomado una materia (que técnicamente se denomina polvo) que no produce presión y sufre una expansión adiabática (no hay transmisión de calor en el proceso o la variación de entropía es nula). La primera ley de la termodinámica nos dice:

$dE=\delta Q- \delta W=TdS-PdV=0$





Este post es continuación de este otro: Cosmología

Tenia entendido que en termodinamica usualmente en la expasion adiabatica $\Delta Q = 0$ y no que: $\Delta E = 0$

Precisamente uilizando la expancion adiabatica se calcula "The fluid equation" sin tener que utilizar Relatividad General.

En el libro que utilce de texto como intro a cosmologia, la deducion se hace mas simple.

$\dot E + p \dot V=0$...(1) que es la expansion adiabatica.

$\dst V(a) = \frac{4 \pi}{3} (ra)^3 \Rightarrow$

$\dst \dot V = \frac{4 \pi}{3} r^3 3 a^2 \dot a = V (3 \frac{\dot a }{a})$...(2)
considerando una esfera de "comoving" radio expandiendose a lo largo de la expancion del universo (teniendo encuenta que el factor de escala es $a$)

$E=V \varepsilon$ donde E es la energia interna del gas o fluido ( cold matter, hot matter, etc...), V es el volumen y $\varepsilon$ es "the energy density" $\Rightarrow$

$\dot E = V \dot \varepsilon + \dot V \varepsilon$...(3)

Finalmente de (1), (2) y (3) se obtinene:

$\dst \dot \varepsilon + 3 \frac{\dot a}{a} ( \varepsilon + p) =0$...(4)

la cual es equivalente a tu expresion "(2)"

nota: mi libro de texto utilizo una esfera como el volumen expandiendoce, pero en mi opinion es evidente que se puede utilizar otro tipo de volumen, como por ejemplo un cubo, un cono o un cilindro.

[Entro]

Re: Cosmología: Trabajar bajo presión

No produce presión P=0
Proceso adiabático $\delta S =0$

Creo que eso implica que $dE =0$

Tu derivación efectivamente es paralela... básicamente es un cambio de notación...

[Jose D. Escobedo]

Re: Cosmología: Trabajar bajo presión

No produce presión P=0
Proceso adiabático $\delta S =0$

Creo que eso implica que $dE =0$

Tu derivación efectivamente es paralela... básicamente es un cambio de notación...

Disculpa, Entro parece que ya entendi tu argumentacion. Primero se considera la expansio adiabatica del universo sin presion y luego se toma la presion como uno de los actores principales de tu cuento.

Pregunta, la expresion $\dot \rho + 3H \rho =0$ fue calculada de:

$\rho \propto a^{-3} \rightarrow \dot \rho \propto - 3 a^{-4} \dot a \Rightarrow$

$\dst \dot \rho \propto -3 a^{-3} (\frac{\dot a}{a})$ ? o fue obtenido de otra manera.