Primaria Duda sobre operador derivada \partial^{\mu}

[M_Odes]

Tengo una inquietud:

si $\vec{\phi}$ es un campo vectorial es decir, $\vec{\phi}(\vec{r},t)=\left ( \phi_{1},\phi_{2},\phi_{3} \right )$ entonces puedo decir que

$$\partial^{\mu}\vec{\phi} =\frac{\partial \vec{\phi}}{\partial t} - \vec{\nabla} \cdot \vec{\phi}$$

?
y que

$$\partial_{\mu}\vec{\phi} =\frac{\partial \vec{\phi}}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \vec{\phi}$$

que tal decir que?

$$\partial^{\mu}\vec{\phi} \cdot \partial_{\mu}\vec{\phi} =\frac{\partial^{2} \vec{\phi}}{\partial t^{2}} - \left ( \vec{\nabla} \cdot \vec{\phi} \right )^{2}$$

agradecería mucho su ayuda, es que no tengo muy claro el uso de $\partial^{\mu}$ y $\partial_{\mu}$ operando sobre cosas que no son cuadrivectores

[pod]

Re: Duda sobre operador derivada \partial^{\mu}

Tal y como lo has puesto, sin contraer ningún índice, yo diría que tendrías que hacer lo siguiente:

$$\partial^\mu \vec\phi = \Big(\partial^\mu \phi_1,\ \partial^\mu \phi_2,\ \partial^\mu \phi_3 \Big)<br /> = \begin{pmatrix}<br /> \partial^1 \phi_1 & \partial^1 \phi_2 & \partial^1 \phi_3 \\<br /> \partial^2 \phi_1 & \partial^2 \phi_2 & \partial^2 \phi_3 \\<br /> \partial^3 \phi_1 & \partial^3 \phi_2 & \partial^3 \phi_3 <br /> \end{pmatrix} .$$

Otra cosa sería que tuvieras

$$\partial^i \phi_i = \vec\nabla \cdot \vec\phi .$$

Recuerda que los subíndices latinos solo recorren la parte espacial, y para ellos normalmente se toma la métrica (+, +, +) (incluso si para los índices griegos usas la otra convención).

[M_Odes]

Re: Duda sobre operador derivada \partial^{\mu}

Tal y como lo has puesto, sin contraer ningún índice, yo diría que tendrías que hacer lo siguiente:

$$\partial^\mu \vec\phi = \Big(\partial^\mu \phi_1,\ \partial^\mu \phi_2,\ \partial^\mu \phi_3 \Big)<br /> = \begin{pmatrix}<br /> \partial^1 \phi_1 & \partial^1 \phi_2 & \partial^1 \phi_3 \\<br /> \partial^2 \phi_1 & \partial^2 \phi_2 & \partial^2 \phi_3 \\<br /> \partial^3 \phi_1 & \partial^3 \phi_2 & \partial^3 \phi_3 <br /> \end{pmatrix} .$$

Otra cosa sería que tuvieras

$$\partial^i \phi_i = \vec\nabla \cdot \vec\phi .$$

Recuerda que los subíndices latinos solo recorren la parte espacial, y para ellos normalmente se toma la métrica (+, +, +) (incluso si para los índices griegos usas la otra convención).

es curioso, tenía asignada la solución de un problema para hoy y no la había hecho anoche, hoy la hize pero no necesite esta parte del cálculo ya que al tratar otros entes matemáticos llegue a las conclusiones que se me pedía verificar.

Sin embargo al consultar un profesor me explico que para lo que me solicitaban manipular la forma correcta para expresar estas ecuaciones es así:

$$\partial^{\mu}\vec{\phi}=\partial^{\mu}\phi_{1}+\partial^{\mu}\phi_{2}+\partial^{\mu}\phi_{3}$$

Muchas Gracias!

[pod]

Re: Duda sobre operador derivada \partial^{\mu}

Tiene una notación un poco rara. Yo creo que la mayoría de la gente no le entendería