Secundaria reloj de rayos de luz horizontales

[javier m]

es común la demostración de la formula de la dilatación del tiempo($\Delta t=\gamma \Delta t'$), usando relojes que se mueven horizontalmente y sus rayos verticales.

así un observador dentro de la capsula observaría



y para uno que esté afuera de él.



cuando el rayo parte de la parte inferior y regresa a ella ha transcurrido una una unidad de tiempo

bueno, ya conocen esos ejemplos.

pero si el rayo del reloj (la capsula) se mueve paralelo al movimiento del reloj, entonces para el observador (O') que está en el reloj se veria así:



y el tiempo en ir y venir es $\Delta t'=\Delta t'_{ida}+\Delta t'_{vuelta}=\dfrac{2x}{c}$

y para el que está afuera (O) el viaje de luz de ida sería



el reloj se mueve a una velocidad $v$ con respecto al observador O.

así que la luz alcanza a la pared de la derecha

$c\Delta t_{ida}=x+v\Delta t_{ida}$

$\Delta t_{ida}=\dfrac{x}{c-v}$

y la de vuelta seria

$c\Delta t_{vuelta}=x-v\Delta t_{vuelta}$

$\Delta t_{vuelta}=\dfrac{x}{c+v}$


$\Delta t=\Delta t_{ida}+\Delta t_{vuelta}=\dfrac{x}{c-v}+\dfrac{x}{c+v}=\dfrac{(c+v)x+(c-v)x}{c^2-v^2}=\dfrac{2cx}{c^2-v^2}$

$$\dfrac{\Delta t'}{\Delta t}=\dfrac{\dfrac{2x}{c}}{\dfrac{2cx}{c^2-v^2}}=\dfrac{c^2-v^2}{c^2}=1-(\dfrac{v}{c})^2=\dfrac{1}{\gamma^2 }$$

$$\Delta t=\gamma^2\Delta t'$$

lo que no concuerda con la formula real $\Delta t=\gamma\Delta t'$

el error creo que debe ser por la contraccion de longitud, o eso es lo que pienso,pero sí es así como se deberia considerar para hacerlo de forma que dé la ecuación correcta

ashh, que camello hacer escribir todo eso

[guibix]

Re: reloj de rayos de luz horizontales

el error creo que debe ser por la contraccion de longitud, o eso es lo que pienso,pero sí es así como se deberia considerar para hacerlo de forma que dé la ecuación correcta

Diría que es así, la fórmula estándard es para un punto dado. Pero si quieres añadir un objeto con dimensiones, esas dimensiones también estarán afectadas por el movimiento, pero sólo en la dirección del movimiento.

Por eso en el primer ejemplo con el reloj perpendicular al movimiento, te dá un resultado correcto, porqué no hay deformación en esa dirección.

En el sugundo ejemplo, para $o'$ el reloj está en reposo, por lo que la longitud es $x$.

Pero para $o$ la longitud del reloj és $x`=\dfrac{x}{\gamma}$

Entonces
$\Delta t=\Delta t_{ida}+\Delta t_{vuelta}=\dfrac{x}{\gamma(c-v)}+\dfrac{x}{\gamma(c+v)}=\dfrac{(c+v)x+(c-v)x}{\gamma(c^2-v^2)}=\dfrac{2cx}{\gamma(c^2-v^2)}$

por lo tanto:
$\dfrac{\Delta t'}{\Delta t}=\dfrac{\dfrac{2x}{c}}{\dfrac{2cx}{\gamma(c^2-v^2)}}=\dfrac{\gamma(c^2-v^2)}{c^2}=\gamma(1-(\dfrac{v}{c})^2)=\dfrac{\gamma}{\gamma^2}=\dfrac{1}{\gamma}$

Y aquí está el $\gamma$ que te faltaba (¿o sobraba?)

Creo que es la solución correcta, pero a ver si alguien más lo confirma, amplia o desmiente.

Salud!

[javier m]

Re: reloj de rayos de luz horizontales

gracias ; )