Divulgación Aceleración relativista

[guibix]

En algún lugar del foro de cuyo nombre no puedo acordarme, había una demostración de la aceleración relativista en función del tiempo dónde a=f(t)

Empezaba con:

$F=\gamma ma$

y acababa con a=f(t). Algo parecido a esto (me lo estoy inventando, pero se parece):

$a=\dfrac{Fmct}{\sqrt{m^2F^2+t^2c^2}}$

Yo no consigo que la variable $v$ de $\gamma$ se "fusione" con la acceleración para tener una sola variable.

El ejemplo no usaba derivadas para resolverlo, pero me he vuelto loco buscándolo por el foro (demostraciones, Relatividad y cosmología, Blogs)y nada.

Si alguien recuerda dónde está, se lo agredecería si me lo dice.

Saludos!

[pod]

Re: Aceleración relativista

$F = m \gamma a$ es incorrecto en relatividad (especial).

El cálculo más similar que recuerdo del estilo que pides está en el artículo de la FAQ ¿se puede viajar a la velocidad de la luz?, pero sí que hay derivadas.

Además, ese cálculo sólo sirve si la fuerza es paralela a la velocidad. La verdad es que la aceleración es un objeto bastante rarito en relatividad.

[guibix]

Re: Aceleración relativista

$F = m \gamma a$ es incorrecto en relatividad (especial).

El cálculo más similar que recuerdo del estilo que pides está en el artículo de la FAQ ¿se puede viajar a la velocidad de la luz?, pero sí que hay derivadas.

Además, ese cálculo sólo sirve si la fuerza es paralela a la velocidad. La verdad es que la aceleración es un objeto bastante rarito en relatividad.

Ostras gracias Pod, claro que no podía juntarlo, era la velocidad lo que se aislaba. Y sí era este artículo. Mil gracias!!

[guibix]

Re: Aceleración relativista

Bueno, he estado jugando con la ecuación para encontrar el desplazamiento y la aceleración para practicar derivadas e integrales y me han surgido nuevas dudas.

Disculpad si la notación no es la más correcta o si cometo algún error garrafal, pero es que aún estoy empezando con derivadas e integrales y lo que sé lo he aprendido solito.


Partiendo de la función:

$v=\dfrac{Fct}{\sqrt{c^2m^2+F^2t^2}}$

para integrarlo he usado la forma de la derivada de la raiz:

$y=\sqrt[n]{u}\Rightarrow y'=\dfrac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$

Preparo la función para integrarla

Si
$u=c^2m^2+F^2t^2\Rightarrow u'=2F^2t$,

entonces

$v=\dfrac{Fct}{\sqrt{u}}\cdot\dfrac{2F}{2F}=\dfrac{2F^2ct}{2F\sqrt{u}}=\dfrac{u'c}{2F\sqrt{u}}$

Ahora podemos integrar para encontrar x:

$x=\int \dfrac{u'c}{2F\sqrt{u}}+k=\dfrac{c}{F}\int \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}+k=\dfrac{c}{F}\sqrt{u}+k$

$x=\dfrac{c}{F}\sqrt{c^2m^2+F^2t^2}+k$

como en $t=0\neq x$, la constante k será la que consiga $t=0=x$

$x=\dfrac{c}{F}\sqrt{c^2m^2+F^2t^2}+\dfrac{mc^2}{F}=\dfrac{c}{F}(\sqrt{c^2m^2+F^2t^2}+mc)$

$x=\dfrac{c}{F}(\sqrt{c^2m^2+F^2t^2}+mc)+x_0$

Creo que está bien, pero quiero asegurarme. Aunqué le faltaría $v_0$ para estar completo.

Mi duda, a parte de si es correcto el cálculo, es que si pongo la función en excel, no tiene suficiente rango de decimales para dar una solución refinada y no encuentro una opción para aumentarlo.

¿Que programa puedo usar para representar funciones de este tipo con precisión?


Curiosamente, tengo más problemas para derivar la función que para integrarla.

Como el proceso es muy largo, pondré el resultado final:

$v'=a=\dfrac{cF(c^2m^2+F(F-1)t^2))}{\sqrt{(c^2m^2+F^2t^2)^3}}$

Aquí ya tengo algunos problemas:

¿se puede simplificar?

¿Porque no cumple con $a=\dfrac{F}{m\gamma}$ ?

En cambio, por error encontré $a=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{m^2}{F^2}+\dfrac{t^2}{c^2}}}$ que sí cumple con $a=\dfrac{F}{m\gamma}$ , en teoría no está bien porque la encontré haciendo una chapuza inperdonable, pero dá. ¿cómo puede ser eso?

Saludos.

[pod]

Re: Aceleración relativista

$x=\dfrac{c}{F}(\sqrt{c^2m^2+F^2t^2}+mc)+x_0$

Esta solución no cumple $x(0) = x_0$. Para mi que lo que hay dentro del paréntesis debería ser un signo negativo.

Creo que está bien, pero quiero asegurarme. Aunqué le faltaría $v_0$ para estar completo.

Mi duda, a parte de si es correcto el cálculo, es que si pongo la función en excel, no tiene suficiente rango de decimales para dar una solución refinada y no encuentro una opción para aumentarlo.

Excel no es un programa científico. Usa mathematica, gnuplot, maxima o cualquiera que realmente sirva para ello.

¿Porque no cumple con $a=\dfrac{F}{m\gamma}$ ?

Porque no hay ninguna ley Física que cumpla esa relación. Si miras el artículo, verás que lo que se debe cumplir en este caso (sólo en este caso) es $F = m \gamma^3 a$. El cubo es importante.

[guibix]

Re: Aceleración relativista

Esta solución no cumple $x(0) = x_0$. Para mi que lo que hay dentro del paréntesis debería ser un signo negativo.

Creo que está bien, pero quiero asegurarme. Aunqué le faltaría $v_0$ para estar completo.

Sí, Tienes razón, error de transcripción, y ya estoy haciéndolo para que incluya $v_0$

(sólo en este caso) es $F = m \gamma^3 a$. El cubo es importante.

Oh, es verdad, como empezabas comentando lo de $F=m\gamma a$ pensaba que todo salía de aqui, pero ahora veo que no.

[pod]

Re: Aceleración relativista

Oh, es verdad, como empezabas comentando lo de $F=m\gamma a$ pensaba que todo salía de aqui, pero ahora veo que no.

La única vez que he mencionado esa ecuación es:

$F = m \gamma a$ es incorrecto en relatividad (especial).

Lo cual no debería invitarte a utilizarla.

[guibix]

Re: Aceleración relativista

Lo cual no debería invitarte a utilizarla.

Ya entiendo, lo que pasa es que cuando lo leí interpreté que lo decias porqué era una aproximación inexacta, no porqué no sea válida.

Gracias de todos modos, ahora ya sé un poco más.

[guibix]

Re: Aceleración relativista

En fín, he estado intentando poner $v_0$ para tener la equación de movimiento completa buncando la función de t respecto a v:

$t=\dfrac{c}{F\sqrt{\dfrac{1}{v^2}-\dfrac{1}{m^2}}}$


El resultado es:

$v=\dfrac{Fc(t+\dfrac{c}{F\sqrt{\dfrac{1}{v_0^2}-\dfrac{1}{m^2}}})}{\sqrt{c^2m^2+F^2(t+\dfrac{c}{F\sqrt{\dfrac{1}{v_0^2}-\dfrac{1}{m^2}}})^2}}$

No encuentro el modo de juntar las ni las $v_0$ ni ningun otro elemento sin hacer un carro enorme de polinomios.

Si hago la derivada y la integral me sale un auténtico infierno polinómico, por lo que desisto de encontrar un equación simple para el desplazamiento y la aceleración.

En fín, fué bonito mientras duró jeje.

salud!

[guibix]

Re: Aceleración relativista

Hola de nuevo,

Al volverlo a revisar, he encontrado una manera de simplificarlo más. He partido de la equación:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero esta vez he cambiado $\dfrac{F}{m}=a$, siendo $a$ la aceleración constante newtoniana y quedando

$t=\dfrac{v}{a}\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{a\sqrt{\dfrac{1}{v^2}-\dfrac{1}{c^2}}}=a^{-1}\left(v^{-2}-c^{-2}\right)^{-\frac{1}{2}}$

A partir de aquí, he aislado $v$, he integrado y hecho las dos primeras derivadas para encontrar $x$, $a_r$ y $\frac{da_r}{dt}$ respectivamente, siendo $a_r$ la aceleración relativista. No sé si hay una manera de diferenciar mejor $a$ y $a_r$, pero yo lo he hecho así.

Como ecuaciones de movimiento rectilíneo uniformemente "empujado" (ya que lo constante son la fuerza y la masa no la aceleración) y partiendo de $v_0=0$ me queda:



$x=x_0-c+c^2\sqrt{\dfrac{c^2}{a^2}+\Delta t^{2}}$



$v=\dfrac{1}{\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{(a\Delta t)^2}}$



$a_{r}=\dfrac{1}{a^2\left(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{\Delta t^2}{c^2}}\right)^3}$



$\dfrac{da_r}{dt}=-\dfrac{3}{(ac)^2\Delta t^4\dfrac{1}{\left(\sqrt{\dfrac{1}{c^2} +\dfrac{1}{ (a\Delta t)^2}}\right)^5}}$



Para hacerlo más compacto lo he reducido a potencias:


$x=x_0-c+c^2\left(c^2a^{-2}+\Delta t^{2}\right)^\frac{1}{2}$

$v=\left(c^{-2}+(a\Delta t)^{-2}\right)^{-\frac{1}{2}}$

$a_{r}=a^{-2}\left(a^{-2}+\Delta t^2c^{-2}\right)^{-\frac{3}{2}}$

$\dfrac{da_r}{dt}=- 3(ac)^{-2}t^{-4}\left(c^{-2} + (at)^{-2}\right)^{-\frac{5}{2}}$

Para dejarlo acabado y añadir $v_0$, he substituido $t$ por $t+a^{-1}\left(v_0^{-2}-c^{-2}\right)^{-\frac{1}{2}}$ que es el tiempo que habría pasado para una $v_0\geqslant 0$, quedando:

$x=x_0-c+c^2\left(c^2a^{-2}+\left(\Delta t+a^{-1}\left(v_{0}^{-2}-c^{-2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right)^{2}\right)^\frac{1}{2}$

$v=\left(c^{-2}+a^{-2}\left(\Delta t+a^{-1}(v_{0}^{-2}-c^{-2})^{-\frac{1}{2}}\right)^{-2}\right)^{-\frac{1}{2}}$

$a_{r}=a^{-2}\left(a^{-2}+\left(\Delta t+a^{-1}(v_{0}^{-2}-c^{-2})^{-\frac{1}{2}}\right)^2c^{-2}\right)^{-\frac{3}{2}}$

$\dfrac{da_r}{dt}=$ $- 3(ac)^{-2}\left(\Delta t+a^{-1}(v_{0}^{-2}-c^{-2})^{-\frac{1}{2}}\right)^{-4}\left (c^{-2} + \left ( a\left(\Delta t+a^{-1}(v_0^{-2}-c^{-2})^{-\frac{1}{2}}\right)\right )^{-2}\right )^{-\frac{5}{2}}$.

En principio lo he comprobado y es correcto, pero no sé si el planteamiento y la notación son los más apropiados y tampoco he podido simplificarlo más.

Aún así, estoy bastante satisfecho del resultado. No sé si podría interesarle a alguien, pero aquí está.

Y si alguien me ayuda a pulirlo, entonces mejor que mejor. Faltaría la relación entre $a_r$ y $v$; entre $a_r$ y $\Delta x$; y entre $v$ y $\Delta x$


Gracias y saludos!

[pod]

Re: Aceleración relativista

Hola de nuevo,

Al volverlo a revisar, he encontrado una manera de simplificarlo más. He partido de la equación:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

¿Y de dónde sacas esto?

Según esto, $F =m\gamma v / t$, lo cual no me parece muy correcto.

[guibix]

Re: Aceleración relativista

¿Y de dónde sacas esto?

Según esto, $F =m\gamma v / t$, lo cual no me parece muy correcto.

Lo he sacado del apartado 5 de tu artículo ¿se puede viajar a la velocidad de la luz?

Siendo gamma adimensional y pasándolo a unidades, queda $N =kg.m.s^{-1}.s^{-1}\Rightarrow kg.m.s^{-2}=kg.m.s^{-2}$

¿Dónde está el problema?

Saludos

[pod]

Re: Aceleración relativista

Lo he sacado del apartado 5 de tu artículo ¿se puede viajar a la velocidad de la luz?

Siendo gamma adimensional y pasándolo a unidades, queda $N =kg.m.s^{-1}.s^{-1}\Rightarrow kg.m.s^{-2}=kg.m.s^{-2}$

¿Dónde está el problema?

Saludos

Ah, ok. Está bien.

[guibix]

Re: Aceleración relativista

Buenas, he detectado algunos errores de transcripción y de cálculo.
Reescribo las fórmulas y esta vez creo que no me dejo nada.

Al volverlo a revisar, he encontrado una manera de simplificarlo más.

$t=\dfrac{v}{a}\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}=v\gamma a^{-1}$


Para $v_0=0$, las ecuaciones de movimiento son:


$x=x_0-\dfrac{c^2}{a}+c\sqrt{\dfrac{c^2}{a^2}+\Delta t^{2}}$



$v=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{(a\Delta t)^2}}}$



$a_{r}=\dfrac{1}{a^2\left(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{\Delta t^2}{c^2}}\right)^3}$



[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]



Reducido a potencias queda:


$x=x_0-c^2a^{-1}+c\left(c^2a^{-2}+\Delta t^{2}\right)^\frac{1}{2}$

$v=\left(c^{-2}+(a\Delta t)^{-2}\right)^{-\frac{1}{2}}$

$a_{r}=a^{-2}\left(a^{-2}+\Delta t^2c^{-2}\right)^{-\frac{3}{2}}$

$\dfrac{da_r}{dt}=- 3(ac)^{-2}\Delta t^{-4}\left(c^{-2} + (a\Delta t)^{-2}\right)^{-\frac{5}{2}}$

Y para $v_0>0$ he usado el término $\gamma_0=\left(1-\dfrac{v_0^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}$
Y después de algunos arreglos he podido simplificarlo a:

$x=x_0-c^2\gamma_0a^{-1}+c\left(c^2a^{-2}+(v_0\gamma_0a^{-1}+\Delta t)^{2}\right)^\frac{1}{2}$

$v=\left(c^{-2}+a^{-2}\left(v_0\gamma_0a^{-1}+\Delta t\right)^{-2}\right)^{-\frac{1}{2}}$

$a_{r}=a^{-2}\left(a^{-2}+\left(v_0\gamma_0a^{-1}+\Delta t\right)^2c^{-2}\right)^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{da_r}{dt}=- 3(ac)^{-2}\left(v_0\gamma_0a^{-1}+\Delta t\right)^{-4}\left (c^{-2} + \left ( v_0\gamma_0+a\Delta t\right )^{-2}\right )^{-\frac{5}{2}}$


Bueno ahora sí que creo que está acabado (espero jeje)

Saluuud!!