1r ciclo Aclaración sobre transformaciones de Lorentz.

[lindtaylor]

Buenas, me gustaría aclarar una duda que tengo sobre las transformaciones de Lorentz.

Sea $S$ un sistema inercial, $S'$ otro sistema inercial que se mueve con velocidad $v$ con respecto a $S$ ($S'$ tiene los ejes paralelos a $S$ etc).

Si tengo una regla en $S$ con un extremo (coordenada) en $x_a$ y su otro extremo en $x_b$, su longitud "si me paro en $S$" que mido es $x_b-x_a.$

Si me paro en $S'$, veo que un extremo tiene su coordenada en $x_a'$ y el otro en $x_b'$, y veo una longitud de $x_b'-x_a'.$

Según Lorentz se tiene:

$x_b'-x_a'=\gamma(x_b-x_a)-\beta \gamma c(t_b-t_a)$

¿esta ecuación es suponiendo que me paro en $S$?.

" Si me paro en$S'$", ¿esta ecuación sigue siendo válida? ¿o debo cambiar los primas por no primas, y cambiar el signo de $\beta$?

Gracias de antemano, esperaré alguna respuesta para seguir con una dudas-continuación de estas.

[guibix]

Re: Aclaración sobre transformaciones de Lorentz.

$x_b'-x_a'=\gamma(x_b-x_a)-\beta \gamma c(t_b-t_a)$

¿esta ecuación es suponiendo que me paro en $S$?.

Creo que es para $S'$, porqué $x_b'-x_a'>x_b-x_a$ cuando $t_b-t_a=0$. Pero es para encontrar las coordenadas en función de un tiempo. No veo mucho sentido a $t_b-t_a$, diría que es simplemente un $\Delta t$. También me parece que si $\beta=\dfrac{v}{c}$, entonces $\beta c=v$. Si consideramos la longitud como una variación de x, entonces te queda

$\Delta x'=\gamma(\Delta x-v\Delta t)$

Pero si quieres saber solamente la longitud y no las coordenadas, basta con:

$\Delta x'=\gamma\Delta x$

Eso para $S'$, y para $S$

$\Delta x'=\dfrac{\Delta x}{\gamma}$

" Si me paro en$S'$", ¿esta ecuación sigue siendo válida? ¿o debo cambiar los primas por no primas, y cambiar el signo de $\beta$?

Eso no lo tengo muy claro ahora y tendría que comprobarlo, pero me parece que se cambia todo, incluso las t por t', a ver si alguien lo sabe de rajatabla y lo aclara.

Saludos.

[Diamond]

Re: Aclaración sobre transformaciones de Lorentz.

Hola!

Vamos a ver, esas trasformaciones son válidas SIEMPRE. Lo que pasa es que a ti te va a interesar o la x o la x' según el sistema de referencia donde estés, pero ya te digo, según S' el resultado va a ser el que te dan las transformaciones de Lorentz. Ahora bien, si S mira con cariño la varilla que estás midiento (es decir, esta quieta respecto a ella), la variación temporal entre sucesos es nula (son simultáneos), y por tanto la expresión se te queda de la forma
${L'=\frac{L}{\gamma}}$

Si quisieras saber la expresión de L en S' simplemente debes invertir la trasformación y cambiar el signo de beta (aquí teniendo en cuenta que la variación de x' ya no es 0 porque te mueves )

Un saludo!

[pod]

Re: Aclaración sobre transformaciones de Lorentz.

Buenas, me gustaría aclarar una duda que tengo sobre las transformaciones de Lorentz.

Sea $S$ un sistema inercial, $S'$ otro sistema inercial que se mueve con velocidad $v$ con respecto a $S$ ($S'$ tiene los ejes paralelos a $S$ etc).

Si tengo una regla en $S$ con un extremo (coordenada) en $x_a$ y su otro extremo en $x_b$, su longitud "si me paro en $S$" que mido es $x_b-x_a.$

Si me paro en $S'$, veo que un extremo tiene su coordenada en $x_a'$ y el otro en $x_b'$, y veo una longitud de $x_b'-x_a'.$

Según Lorentz se tiene:

$x_b'-x_a'=\gamma(x_b-x_a)-\beta \gamma c(t_b-t_a)$

¿esta ecuación es suponiendo que me paro en $S$?.

" Si me paro en$S'$", ¿esta ecuación sigue siendo válida? ¿o debo cambiar los primas por no primas, y cambiar el signo de $\beta$?

Gracias de antemano, esperaré alguna respuesta para seguir con una dudas-continuación de estas.

En esto hay un pequeño truco. Si quieres medir la longitud de algo, puedes haciendo restando las coordenadas de sus extremos en un mismo instante de tiempo. No sirve de nada medir las posiciones en tiempos diferentes.

Ahora bien, si en S $(t_a, x_a)$ y $(t_b, x_b)$ son simultáneos ($t_a = t_b$), al aplicar Lorentz tendrás $(t'_a, x'_a)$ y $(t'_b, x'_b)$, te saldrán eventos no simultáneos, $t'_a \neq t'_b$. Pero para saber la longitud, nos interesa obtener $t'_a = t'_b$, lo cual implica elegir los puntos iniciales no simultáneos, $t_a \neq t_b$, obteniendo

$$x_a - x_b = \gamma(x'_a - x'_b) = \gamma \ell' .$$

Pero si A y B no son simultaneos, esto significa que $x_a - x_b$ no es la longitud de la regla en el sistema S, $x_a - x_b \neq \ell$. Así que el cálculo no serviría de nada... excepto que la regla esté en reposo en dicho sistema S, en cuyo caso los extremos siempre estarán en los puntos dados independientemente de que el tiempo sea el mismo o no, por eso es reposo. Por eso, sólo en ese caso, $x_a - x_b = \ell_0$, lo que nos da la famosa ecuación de contracción de longitudes:

$$\ell' = \ell/\gamma.$$

Así que sí, tu ecuación es correcta, y puedes intercambiar "primas y no-primas" simplemente cambiando el signo de la velocidad. Pero tienes que tener en cuenta que esa ecuación no relaciona la longitud del objeto a no ser que en uno de los sistemas de referencia el objeto esté en reposo. En cualquier otro caso, es una relación entre coordenadas correcta, pero que no representa la longitud.