1r ciclo sobre el tensor de einstein

[alejandrito29]

Leí en un texto que el tensor de einstein entrega ecuaciones de movimiento de orden no mayor a 2, tengo claro que las derivadas en función del tiempo son a lo mas de 2do orden, como se ve en $\ddot{x} + \Gamma^v_{su} \dot{x}^s \dot{x}^u=0$

Mi duda es como llegar a aquellas ecuaciones partiendo del tensor de Einstein...

Conozco un camino que es variar el tensor de energía momentum para una partícula en movimiento $T^{uv} = \frac{m}{\sqrt{g}}\int dt \frac{dx^u}{dt}\frac{dx^v}{dt} \delta^4(x^u- x(t) )$

otro camino es poner la métrica en la longitud de una linea, pero, no se me ocurre como justificar aquel argumento que el tensor de einstein entrega ecuaciones de movimiento de orden no mayor a 2

[pod]

Re: sobre el tensor de einstein

El tensor de Einstein depende del tensor de Riemman. El tensor de Riemman tiene derivadas primeras de los símbolos de Christoffeld, que a su vez tienen derivadas de la métrica. Por lo tanto, a lo sumo, el tensor de Einstein tendrá derivadas segundas de la métrica.

Esto es todo, no hace falta hacer una derivada variacional. Porque el tensor de Einstein sale explícitamente en la ecuación del movimiento,

$$G_{\mu\nu}= \kappa T_{\mu\nu}.$$

La ecuación de la geodésica que pones está aquí dentro (aunque no es trivial de sacar, creo que lo puedes encontrar en la mayoría de libros). Esta es la ecuación del movimiento, así que no tienes nada más, ya tienes ahí las diez ecuaciones.

Cuando tienes que hacer derivadas variacionales es cuando partes de la acción. La derivada variacional del término de Hilbert-Einstein de la acción da lugar a (algo proporcional a) el tensor de Einstein. La derivada variacional del resto de la acción da lugar al tensor de energía impulso.