1r ciclo Problema de relatividad pequeño, duda grande

[guibix]

Buenas gente,

Resolviendo un problema simple se me generó una duda qué aún no he resuelto. El problema va así:

Un objeto en reposo y en el vacío sin campos gravitatorios, proyecta un haz de fotones unidireccional a una potencia propia constante P.

¿Cual es la fuerza local que sufre el objeto debido al empuje de los fotones?

La respuesta creo que es simple:

Como la energía de los fotones respecto a su momento lineal es $E=pc$, entonces:

$$\frac{dE}{dt}=\frac{dp}{dt}c$$

$$P=Fc$$

$$\boxed{F=\frac{P}{c}}$$

Hasta aquí no hay problema. El tema es que estudiando las ecuaciones de movimiento acelerado para relatividad, un objeto que sufre una fuerza constante en la dirección del movimiento, responde la ecuación:

$$F=ma\gamma^3,$$

Tenemos que en reposo, $\gamma=1$, por lo que $F=ma\gamma^3=ma$, como para el sistema acelerado $\gamma$ siempre es 1, $a$ es constante para él. Llamemos a esa aceleración propia constante $b$ y a la fuerza propia constante como $F'$, entonces:

$F=ma\gamma^3=mb=F'$

Tenemos que tanto la fuerza observada como la fuerza propia son iguales y las dos constantes.

Pues bien, volviendo al problema, resulta que si $P=Fc$, la potencia observada del rayo debería ser constante, pero el período de los fotones se divide en función de $\gamma$, por lo tanto, tanto la energía como el momento observados también deberían disminuir, así como la fuerza y la potencia observadas.

Lo de $F=F'$ lo tengo bastante más que comprobado, pero lo de $P=Fc$ tampoco parece incorrecto.

En resumen, si la potencia es localmente constante, la fuerza local también y si lo es la fuerza local, también lo es la observada, pero no puede serlo porqué el período de los fotones baja... ¡Vaya lío!

¿Dónde está el error en mi razonamiento?

A ver si alguna alma caritativa puede ayudarme a dormir tranquilo

Saludos y gracias.

[pod]

Re: Problema de relatividad pequeño, duda grande

Como ye te he dicho alguna que otra ocasión, trabajar con fuerzas en relatividad especial no es agradable, es una cantidad mal definida ya que no sigue leyes de transformación sencillas al cambiar de sistema de referencia.

Luego, cuando derivas respecto a t... ¿esa t a qué sistema de referencia corresponde? ¿Al sistema comóbil? ¿Al sistema laboratorio? Tienes que ser consistente en el sistema de referencia que usas.

La fuerza sobre el cuerpo que emite los fotones se obtiene derivando su momento, no el momento de los fotones. De hecho, el momento del fotón jamás puede cambiar con el tiempo. La variación del momento del cuerpo vendrá dada por el momento de cada fotón multiplicada por el ritmo de emisión de fotones (es decir, la derivada del número de fotones). Si estás en el sistema laboratorio, cada nuevo fotón tendrá un momento ligeramente distinto al anterior.

Por otra parte, no te olvides que un cuerpo no puede emitir fotones y quedarse tan tranquilo. La energía de los fotones debe venir de algún sitio.Por ejemplo la des-excitación de un átomo (si queremos que el rayo sea continuo, será necesario una fuente de energía que los vaya excitando de forma continua).

[guibix]

Re: Problema de relatividad pequeño, duda grande

Como ye te he dicho alguna que otra ocasión, trabajar con fuerzas en relatividad especial no es agradable, es una cantidad mal definida ya que no sigue leyes de transformación sencillas al cambiar de sistema de referencia.

Quizás sea por eso por lo que siento una cierta debilidad por este concepto, llamadme masoca. Siento que siempre te comas el pato de mis "aventurillas", Pod. Gracias por tener tanta paciencia conmigo.

Por otra parte, no te olvides que un cuerpo no puede emitir fotones y quedarse tan tranquilo. La energía de los fotones debe venir de algún sitio.Por ejemplo la des-excitación de un átomo (si queremos que el rayo sea continuo, será necesario una fuente de energía que los vaya excitando de forma continua).

Sí, claro está, ya lo había pensado. Lo he omitido para simplificar el problema, pero me parece que esto no influye en el razonamiento. Imaginemos que tiene una cierta cantidad de energía potencial acumulada en forma de masa y que esa masa se pierde al transformarse en luz. Da igual si se pierde masa, la fuerza creada por la luz no depende de la masa que tenga que empujar.

Luego, cuando derivas respecto a t... ¿esa t a qué sistema de referencia corresponde? ¿Al sistema comóbil? ¿Al sistema laboratorio? Tienes que ser consistente en el sistema de referencia que usas.

La fuerza sobre el cuerpo que emite los fotones se obtiene derivando su momento, no el momento de los fotones. De hecho, el momento del fotón jamás puede cambiar con el tiempo. La variación del momento del cuerpo vendrá dada por el momento de cada fotón multiplicada por el ritmo de emisión de fotones (es decir, la derivada del número de fotones). Si estás en el sistema laboratorio, cada nuevo fotón tendrá un momento ligeramente distinto al anterior.

Sí, es verdad, tendría que haberlo matizado mejor.

Lo que no entiendo es que si lo miro desde el SR comóbil $S'$, la fuerza es constante y la potencia también porqué todos los fotones que salen del objeto tienen el mismo momento, la misma energía y surgen al mismo ritmo y por conservación del momento lineal $\vec{p}_{fotones}=-\vec{p}_{objeto}\Rightarrow p_{fotones}=p_{objeto}$. En este sentido $P'=F'c$ tiene que ser cierto, al igual que $F'=mb$. Eso desde $S'$.

Desde el laboratorio $S$, como bien dices, cada fotón observado en cada instante será de menor momento que el anterior, entonces para el observador en reposo, la potencia y la fuerza tienen que disminuir.

Esto también parece casar con el hecho de que si la aceleración propia $b$ del objeto es constante, en el laboratorio se observa menor aceleración al aumentar la velocidad: $b=a\gamma^3$.

Pero si desarrollamos esta ecuación (como bien sabe Pod que he hecho ), se llega a que desde $S$, el momento lineal del objeto respecto al tiempo (de $S$) es $p=\gamma_0v_0+bt$ y con $v_0=0$ queda $p=mbt$. Por lo que en todo instante, $F=ma\gamma^3=mb=F'$, al menos desde $S$.

¿En qué quedamos pués, es o no es F=F'?

[pod]

Re: Problema de relatividad pequeño, duda grande

Lo que no entiendo es que si lo miro desde el SR comóbil $S'$, la fuerza es constante y la potencia también porqué todos los fotones que salen del objeto tienen el mismo momento, la misma energía y surgen al mismo ritmo y por conservación del momento lineal $\vec{p}_{fotones}=-\vec{p}_{objeto}\Rightarrow p_{fotones}=p_{objeto}$. En este sentido $P'=F'c$ tiene que ser cierto, al igual que $F'=mb$. Eso desde $S'$.

Lo que intentaba decirte en el mensaje anterior, creo que no me expresé bien, es que esto es incorrecto. Básicamente, te estás olvidando de la conservación de la energía.

La energía que forma el fotón sale de algún lado. Dependiendo del mecanismo concreto que dé lugar a los fotones, esa energía puede proceder de la masa del objeto o de otra fuente de energía. Para no entrar la interminable discusión sobre si es masa o no, vamos a hablar de energía (recuerda que no hay ninguna ley de conservación de la masa, independientemente de la definición que usemos; las únicas leyes de conservación son momento y energía). Sabiendo que la energía total relativista es $E = m \gamma c^2$ tenemos todo el derecho del mundo de reescribir la ley de Newton tal que así

$$F = \frac{\dd}{\dd t} ( m \gamma v ) = \frac{1}{c^2} \ \frac{\dd}{\dd t} (E v) .$$

A causa de que emite fotones, que tienen que salir de alguna parte, esa E no es constante ni siquiera en el sistema comóbil. En consecuencia, la aceleración propia no será será constante.

Si todo esto te parece demasiado complicado, en efecto tienes razón. Todo esto no se resuelve utilizando métodos tridimensionales como los que andamos usando. Se hace utilizando el espacio de Minkowsky, en cuatro dimensiones, donde la conservación del cuadri-momento codifica en una sola pieza la conservación de la energía y del momento; donde tenemos el concepto de cuadri-fuerza que sí es un objeto de comportamiento conocido bajo transformaciones de Lorentz, etc.

[guibix]

Re: Problema de relatividad pequeño, duda grande

Gracias Pod, ya lo voy pillando.

Sólo una duda: ¿El cuadrimomento, se trata como si los objetos tuvieran un vector velocidad $R^4$ constante igual a c que al acelerar gira, verdad?

[pod]

Re: Problema de relatividad pequeño, duda grande

Gracias Pod, ya lo voy pillando.

Sólo una duda: ¿El cuadrimomento, se trata como si los objetos tuvieran un vector velocidad $R^4$ constante igual a c que al acelerar gira, verdad?

En $R^{3,1}$.