Secundaria La 4-aceleración relativística.

[Oriol Frigola Manzano]

Hola,

En un ejercicio me pide encontar una equación que dé la velocidad $v$ de un "cohete" dado un tiempo $t$ con aceleración $a$.
En el solucionario aparece la siguiente:

$v=at{(1+a^2t^2)}^{-1/2}$

Mi duda es como se deriva esa equacion de los 4-vectores de velocidad.
Alguien podria mostrarme el processo de obtención de la formula paso a paso?

Gracias!

Oriol

[guibix]

Re: La 4-aceleración relativística.

Buenas Oriol,

Precisamente estoy haciendo un artículo sobre esto. No está publicado ni mucho menos terminado, pero puedes verlo por ser colaborador del foro. Siento que los demás aún no puedan verlo

Aceleración en (Link eliminado, ver más abajo)

Si hay algún problema con publicar éste link, pido disculpas. Avisadme y lo quito de inmediato.

Saludos.

[pod]

Re: La 4-aceleración relativística.

En el formulario de relatividad especial que hay en esta misma web (lo encontrarás aquí: http://www.lawebdefisica.com/rama/relatividad.php) tienes todas las fórmulas que necesitas.

La cuadri-aceleración es la derivada de la cuadri-velocidad con respecto del tiempo propio. O, lo que es lo mismo, la derivada segunda de la cuadri-posición con respecto del tiempo propio. Normalmente se denota por $b^\mu = (b^0,\ \vec b)$ y se puede demostrar que, en general, se cumple

$$b^0 = \gamma^4 \frac{\vec u \cdot \vec a}{c}\ , \qquad \vec b = \gamma^2 \vec a + \gamma^4 \left( \frac{\vec u\cdot\vec a}{c^2} \right) \vec u .$$

Si estás en un problema unidimensional, todos los vectores se simplifican (ten cuidado únicamente con el signo de los productos escalares). Ten en cuenta que, por definición, $\vec b = \frac {\dd \vec u}{\vec \tau} = \gamma \frac{\dd\vec u}{\dd t}$, igual que $\vec u = \frac {\dd \vec x}{\vec \tau} = \gamma \frac{\dd\vec x}{\dd t} = \gamma \vec v$.

[Oriol Frigola Manzano]

Re: La 4-aceleración relativística.

Gracias,

No consigo abrirlo, aparece un mensage de la web que me dice que no tengo permisos para eso...

Saludos!

Oriol

[guibix]

Re: La 4-aceleración relativística.

Ok

Edito el mensaje anterior y pego algo en otro mensaje. Saludos.

- - - Actualizado - - -

Tu caso es la de un objeto con una aceleración localmente constante, vista desde un SRI. Esa $a$ es una constante, pero no es la aceleración observada. Además el movimiento es paralelo a la aceleración y con la velocidad inicial igual a 0.

Pego algún trozo del artículo, aunque advierto que no está corregido y puede contener errores. Y pido disculpas si no hago lo correcto al publicarlo:

...

Para empezar, partimos de la definición de fuerza como la derivada del momento lineal respecto del tiempo: $F=\dd p/\dd t$. Como el momento para la TRE es $p=\gamma mv$, con $\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}$, tenemos que

$$F=\frac{\dd}{\dd t}(\gamma mv),\qquad \gamma = \dfrac1{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$$

Como $m$ la tratamos como la masa en reposo, es una constante y la podemos sacar como producto. También aplicamos la regla de la cadena para solucionar el producto de funciones:

$$\begin{aligned}<br /> F & = m\left (v\frac{\dd\gamma}{\dd t}+\gamma\frac{\dd v}{\dd t}\right),\\<br /> \\<br /> & = m\left (v\frac{\dd \gamma}{\dd t}+\gamma a\right ).<br /> \end{aligned}$$

Para derivar $\gamma$ respecto al tiempo, primero tenemos que arreglarlo un poco:

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd \gamma}{\dd t} & = \frac{\dd \gamma}{\dd t}\frac{a}{a}=a\frac{\dd \gamma}{\dd v},\\<br /> \\<br /> & = \frac{v}{c^2}a\gamma^3,<br /> \end{aligned}$$

substituimos el resultado en la ecuación de fuerza (0.2) y sacamos factor común de $a$:

$$\begin{aligned}<br /> F & = ma\left (\frac{v^2}{c^2}\gamma^3+\gamma\right),\\<br /> \\<br /> & = ma\gamma\left (\frac{v^2}{c^2}\gamma^2+1\right ),<br /> \end{aligned}$$

$$\boxed{F=ma\gamma^3.}$$

Si consideramos $F$ y $m$ como constantes, podemos definir la aceleración propia "constante" como $b=\frac F m$

Substituimos la expresión en la ecuación de fuerza (1) y aislamos la aceleración:

$$a=\frac{b}{\gamma^3}.$$

Para facilitarnos el trabajo y desde ahora en adelante, cambiaremos las unidades en que expresamos las diferentes magnitudes (excepto el tiempo), con tal de que queden expresadas en unidades naturales $c=G=1$. De esa manera todas las magnitudes se tratan con las mismas unidades $L=T=M$. Vayamos cambiando las variables a medida que las necesitemos. Por ahora, diremos que $v=\beta c$, que $a=Ac$ y que $b=\alpha c$:

Realizando los cambios un la última expresión (1.1), tenemos que

$$A=\frac{\alpha}{\gamma^3}=\alpha(1-\beta^2)^{3/2}.$$

Como $A$ depende de $\beta$, tenemos que plantear una integral para encontrar la dependencia de $\beta$ con el tiempo:

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd \beta}{\dd t} & =\alpha(1-\beta^2)^{3/2},\\<br /> \\<br /> \alpha\int_{0}^{t} \dd t & =\int_{\beta_0}^{\beta}(1-\beta)^{-3/2} \dd \beta,\\<br /> \\<br /> \alpha t & =\gamma \beta -\gamma_0\beta_0,\\<br /> \\<br /> \gamma \beta & = \gamma_0\beta_0+\alpha t.<br /> \end{aligned}$$

Esto ya se parece más a la versión clásica de MRUA $v=v_0+b t$, pero con los $\gamma$. Substituimos $\gamma$ en el resultado de 1.3 por su definición y resolvemos para $\beta$ quedando

$$\beta=\frac{\gamma_0\beta_0+\alpha t}{\sqrt{1+(\gamma_0\beta_0+\alpha t)^2}}.$$

Al comparar las dos ecuaciones anteriores (1.2 y 1.3), podemos ver a simple vista que $\gamma$ en función del tiempo es:

$$\gamma(t)= \sqrt{1+ (\gamma_0\beta_0+\alpha t)^2},$$

además, como es de esperar, la función cumple con

$$\gamma(t=0)= \sqrt{1+ (\gamma_0\beta_0)^2}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_0^2}}=\gamma_0.$$

Ya que estamos, y para llegar un poco más allá, aunque más que nada sea por curiosidad, derivemos gamma respecto del tiempo:

$$\frac{\dd \gamma}{\dd t}=\frac{\dd}{\dd t}\sqrt{1+ (\gamma_0\beta_0+\alpha t)^2}=\alpha\frac{\gamma_0\beta_0+\alpha t}{\sqrt{1+(\gamma_0\beta_0+\alpha t)^2}},$$

que si lo miramos con detenimiento, resulta ser

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Hecho este inciso sobre gamma, volvamos a la velocidad. Con $\gamma (t)$ definido, podemos compactar la ecuación 1.4 de la manera siguiente:

$$\boxed{\beta=\frac{\gamma_0\beta_0+\alpha t}{\gamma}}\,\Leftrightarrow \, \boxed{v=\frac{\gamma_0 v_0+bt}{\gamma}}$$

...

Fíjate que aunque está expresado de diferente manera, el resultado es el mismo. La fórmula 1.4 es la misma que la tuya.

Espero que te sirva.

Saludos.